1、 三角函数模型的简单应用（第1课时）的课例与评析一、教学预设1教学标准（1）通过对温度变化曲线的探究，学生学会由图象求解析式的方法，体会不同的三角函数模型在解决具体问题中的不同作用；（2）通过借助几何画板，帮助学生分析问题中的数量关系，引导学生从图的特点发现各个量之间的关系，体验将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型的过程，学生会用三角函数的知识和方法解决简单实际问题；（3）通过对例题中辅助元素的修改和整合，渗透问题的人文气息和数学的文化价值，激发学生的学习兴趣，学生能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2标准解析（1）内容解
2、析：本节内容是在前面学习了三角函数的概念、性质与图象之后，专门设置了三角函数模型的应用，其目的是为了加强用三角函数模型来刻画周期变化规律的实际问题，以提高学生解决实际问题的能力.根据教材的安排，本节内容的4个例题共分两个课时，本节课是第一课时，考虑到例1是围绕根据图象建立三角函数解析式，例3是将实际问题抽象出三角函数的模型问题，为系统展示三角函数的应用广泛性和真实性，选择了例1和例3作为示例.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：用三角函数模型刻画温度随时间变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题；对房屋采光与楼间距的关系的探究，将实际问题抽象为三角函数的模型问题.（2）学情诊断：
3、本节课是三角函数的应用，数学问题的载体都是具有实际意义与生活背景的，本节课的两个问题是具有一定的广泛性和真实性的，如何引导学生从生活中的实际来抽出三角函数的模型，以及对应的数量关系是本节课成败的关键所在.在问题1的探究中，学生已掌握了三角函数的概念与性质，理解的图象及变换，因此在求解析式中对A、的求解应该不是问题，但是对，b的求解就容易出错，因为的值不唯一，b的变化是针对于整体图象的移动，有别于前面的图象平移，所以在处理此问题一定要重点引导，加以区别强调；为了体现数学的实用性，即由图象求得解析式后，解析式有什么用，在这里我拓展了第三小题“求出十一月份的近似温度”.在问题2的探究中，其实际问题的
4、背景比较复杂，需要学生具备一定的综合性知识以及理解水平，在“太阳高度角”的理解可能比较费劲，这样我借助几何画板来展示形成过程，就可以迎刃而解了.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.（3）教学对策：首先是本节课选用“青岛宜居”为认知背景，围绕宜居的两个基本要素“自然气候”与“人居环境”，创设有效的情景来牵引出教材的例1“温度曲线”与例3“日照采光系数”这两个例题，使得导入过程清新而自然，让学生在不知不觉中感受从现实生活中发现周期变化的规律的全过程；其次是对教材进行“再加工”，在保留了教材中的基本模型的基础上，对辅助元素进行修改，将地点改
5、为青岛，将一天温度改为全年平均气温，使得数据更加真实合理，并采用“青岛为何宜居”为线索，引出“宜人的自然气候与和谐的人居环境”这两大成因，使得建模过程切实而自然，让学生在强烈的人文气息的氛围中体验实际问题抽象为三角函数模型问题的全过程，感知数学的文化价值；第三是借助几何画板突破地理知识（如“太阳高度角”、南北回归线的纬度数等），并利用计算机链接网络、计算器处理数据，突出三角函数的工具作用，使得信息技术与教学内容的整合过程适切而自然，让学生在真实的数学背景中，体会三角函数是描述周期变化现象的一种重要函数模型. （3）教学流程：问题引路探源启思分层设问合情探究互动分享二、教学简录【投影显示】200
6、9年7月8日，中国城市竞争力研究会在香港发布了2009年度中国十佳宜居城市排行榜. 在对国内289个城市进行调查、研究、评价后，结果青岛市排名第一位. 师：下面让我们一起走进美丽的青岛（展示图片）.青岛为什么能被评为“最佳”呢？尽管原因有很多，但主要的有两个：一是宜人的气候环境；二是和谐的人文环境.1宜人的气候环境得天独厚的地理位置造就了宜人的自然气候【投影显示】青岛位于山东半岛南端，黄海之滨，是一座独具特色的海滨城市，她位于北纬35，属北温带季风气候. 受海洋环境影响，青岛四季分明，降水适中，夏无酷暑，冬无严寒，气候非常宜人.问题1：据资料显示，青岛从2月份到8月份的平均温度如下图所示.（1
7、）由图指出，青岛市从2月份到8月份的最高温度是多少？最低温度又是多少？（月份）（摄氏度）【问题探究】生：最高温度28摄氏度，最低温度4摄氏度.师：好的，那么这条曲线好像似曾相识，它是我们以前学过哪个函数图象的一部分？生：三角函数的图象.师：对，所以今天我们来学习“三角函数模型的简单应用”.（2）若青岛全年每月的平均温度符合函数，请写出一个具体的函数解析式.（学生求解过程略）【问题拓展】你能否推算出青岛十一月份的平均温度？（学生推算过程略）师：青岛十一月份的平均温度为16摄氏度，由此看来青岛的气候确实宜人. 但是，一个城市的发展能不能光靠天然的气候呢？生：当然不能，还需要很多其他的东西，如人文环
8、境等方面师：很好，俗话说三分天注定，七分靠打拼. 一个城市的发展更重要的是依赖人为的建设. 在这一点上，我们来看看青岛是怎样做的？【评析】激活教材例题，融入生活实际的背景资料，抽象出数学问题，体现了本节课的主题思想. 第（1）问，通过观察，让学生学会看图、识图，利用图来解决问题；第（2）问，主要体现让学生通过数形结合的思想掌握A、b、的求法；“问题拓展”既让学生掌握了已知函数式求值的方法，又引导学生学会如何利用所求的函数解决实际问题.2和谐的人文环境人性化的管理理念打造出舒适的人居环境作为沿海城市，青岛城市建设的管理是非常严格的. 例如在青岛市建筑规划管理办法中规定：在盖新楼时，所盖新楼的第一
9、层的正午的太阳光全年不得被前面的楼房遮挡，用来保证新旧楼的采光与通风.问题2：依照上述管理办法规定，如果要在青岛地区的一幢高为的楼房北面盖一栋新楼，为保证所盖新楼的第一层的正午的太阳光全年不被前面的楼房遮挡，你知道这两楼之间的间距不应小于多少吗？【评析】从不同的生活背景资料中抽象出不同的问题，用不同的问题来构建不同的数学模型，更加体现数学知识应用的广泛性.【问题探究】师：两楼间距与大楼的影长有何关系？ 生：间距要不小于影长.师：一栋楼房正午的影长是由什么来决定？ 生：楼高和太阳高度角.师：某地正午太阳高度角是否恒定？它与哪些元素有关系，有什么样的关系？请看相关资料.【评析】通过问题串的方式推进
10、，使学生感受到数学的逻辑推理过程.相关资料：地球表面某地正午太阳高度角为（太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角），为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是. 其中当地的夏半年取正值，冬半年取负值. 【评析】实际问题解决有时候是需要综合应用多学科知识的，这更有利于培养学生的综合素质，锻炼学生分析、解决问题能力.师：你能否解释该关系式的来历？若大于为定值时，当变化时，是怎么变化的？影长又是怎样变化的呢？链接1：几何画板太阳高度角【评析】多媒体的运用，不仅辅助了教学，激活了课堂，而且突出了重点，突破了难点，提高了学习效益.师：太阳直射纬度在什么时候或位置最小，其度数是
11、多少？青岛的正午太阳高度角的最小值为多少？（青岛的纬度为北纬35）生：.链接2：科学计算器【评析】现场演示计算机中的科学计算器，既锻炼了学生的动手能力，又让学生掌握了新技能.生：影长MC=. 即在青岛盖楼时，两楼的间距不得小于楼高1.6倍.链接3：网页链接2003年12月青岛市人大委员会通过的青岛市建筑规划管理办法【评析】理论联系实际，网页的链接，使得结果更加真实，让学生感受到成功的情感体验.师：青岛的日照系数与我们的答案完全吻合，看来青岛管理办法的制定是科学的、合理的；从另一个侧面也展示出数学的魅力，看来数学知识无处不在呀！下面再来看看我们身边的事情：问题3：2009年10月30日，央视今日
12、观察播报武汉市12层大楼违规建到20层被强拆事件后，社会各界对此争论不休，据武汉市江岸区规划局介绍，湖北省供销运输总公司所盖大楼的对面是一座6层高的幼儿园，按照日照采光分析计算，这栋经济房只能建12层高，而开发商擅自违规加盖至20层，因此必须强行拆除. 根据以上信息及今天所学，试探究（注：武汉所在纬度为北纬30，假设每层楼高为3米）：（1）武汉市的正午太阳高度角的最小值是多少？（2）估计幼儿园与所建大楼的间距.（学生的探究过程略）【评析】围绕 “武汉拆楼”这一热门事件提出相关问题，让学生进一步实现学以致用.师：通过以上问题的探究，我们可以看出数学与生活是息息相关的. 在解决实际问题时，常常需要
13、将其转化为数学问题，通过数学问题的解来得到实际问题的解，这就是“数学建模”的思想. 到这里，我们这节课已接近尾声了，最后请大家来谈一谈通过本节课的学习，你有哪些收获或感想？【课堂总结】数学知识，地理知识，人文知识，其他综合知识等等.【评析】通过课堂的整理、总结与反思，让学生回味“建模”的过程，收获数学、地理、人文等各科知识，使学生的思想得到了升华.【研究课题】根据你所掌握的地理知识，结合今天所学，利用相关资源，写一篇关于当地某小区的住户正午能否享受太阳照射的“阳光”报告.【评析】设计开放性的研究性课题，使学生的探究性学习延伸到课外.三、教学反思数学源于生活，应用于生活.本课的设计思路是：以“情
14、景探究建构”的教学模式为指导，通过“宜居”这一生活话题搭建平台，并从中提炼数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践. 在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，为增强学生学习兴趣，在设计之初精心安排“青岛”这一背景，围绕“自然环境”与“人文环境”引出两个数学问题，让学生探究问题的过程中既学习到数学知识，又培养了他们的人文素养，提高了综合素质；在思维拓展中，围绕当地房屋建设以及“武汉拆楼”事件提出相关问题，让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；在课后反馈中，设计到一道开放性的研究性课题，
15、旨在引导学生全方位，多角度的思考问题，诱发学生创造性的想象和推理，以上种种正好体现出新课程的新理念.成功之处：在本节课教学中，一是问题情境的创设与生成是一大亮点，做到凸显实际、实用、实效和针对性强，达到内容和情境的和谐统一，真正展现出了“清水出芙蓉，天然去雕饰”的意境；二是对教材的加工、改造和策划成功，做到了既贴近学生的最近发展区，又有效地达成了本节课的教学标准. 改进之处：由于本节课教学预设特别充分，因此实际生成容受到到学生对象的制约，特别是因借班上课，学生配合不够积极，教学节奏不够理想，过程展开不够充分，课堂结尾显得有些仓促. 四、教学点评教材的底蕴就像沙子下的泉水，掘得越深，就越甘美爽口
16、. 课本是课堂教学的蓝本，教师就是要将教材这个“原著”创编为教学“演出”的“剧本”. 关键是既要做到尊重教材，挖掘利用教材资源，根据教学标准的需要，结合学生实际，对教材内容进行二次加工，时刻注意立足教材，回望教材，做到“一切从教材中来，一切又回到教材中去”；又充分彰显教师的教学机智和个性特色，使课堂呈现出情趣盎然的勃勃生机，以体现“境在书外，但根在书里”的特点. “三角函数模型的简单应用”的一课的教学设计与教学活动就是一个很好的例证.1设计新颖，活用教材，“巧扣柴扉门会开”本节课以“数学建模”为中心，以教材的“两个例题”为基础，以教学设计的“三条线”（即情境线青岛气候环境与人文素材；知识线三角
17、函数的应用；思想线建立函数模型的思想）为流程，创造性地使用教材. 选用“青岛宜居”为背景明线，从学生熟悉的生活情境出发设计数学问题，让学生体验到数学原来是多么贴近生活，多么丰富多彩，用强烈的、丰富的、感性的材料，创设出使学生跃跃欲试、寻根问底的情境；把抽象的知识主线具体化，引导学生主动建构数学知识的同时，多处对学生进行数学文化的熏陶；将建立函数模型的思想暗线穿插于课堂始终，培养了学生理论联系实际，学以致用的意识，提高了学生解决实际问题的能力. 2遵循认知规律，情境一线串珠，“一路楼台直到山”本节课将课本两个例题中的“某地”人性化为“青岛”背景，教学组织从“自然气候”到“人文环境”，从“青岛宜居
18、”到“武汉拆楼”，从生活常识到数学规律，问题引路探源启思分层设问合理探究人文关怀网页链接互动分享的教学流程，自然流畅，不同情境之间由一条主线次第连接，前牵后挂，服务于同一个课堂教学主体，有梯度，有层次，呈现“一路楼台直到山”的意境. 这样的教学过程不再只是忠实地执行课程计划的过程，而是师生共同开发课程，丰富教材的过程，这样的师生关系，正是“课标”中所积极倡导的教学境界“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者”. 预设思路决定出路，生成细节决定成败，让我们像该课例一样去创造性地使用教材，在平常的教学中多一些创造意识和创造精神，这样我们的数学课堂教学一定会更加有效，更加精彩.
