1、第13讲二次函数的综合应用重难点重难点 二次函数的实际应用二次函数的实际应用【例】【例】(福州六校联考福州六校联考)随着随着5G技术的发展，人们对各类技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满产品的使用充满期待某公司计划在某地区销售一款期待某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化设该产品在第价格将随销售周期的变化而变化设该产品在第x(x为正整数为正整数)个销售周期每个销售周期每台的销售价格为台的销售价格为y元，元，y与与x之间满足如图所示的一次函数关系之间满足如图所示的一次函数关系(1)求求y与与x之间的关系式；之
2、间的关系式；二次函数实际应用的常见类型二次函数实际应用的常见类型1销售利润问题：销售利润问题：(1)根据实际问题中的数量关系根据实际问题中的数量关系“总利润总售价总总利润总售价总成本成本”或或“总利润每件商品所获利润销售数量总利润每件商品所获利润销售数量”列出二次函数解析式，列出二次函数解析式，应用配方法得到顶点式；应用配方法得到顶点式；(2)依据实际问题，找出自变量的取值范围；依据实际问题，找出自变量的取值范围；(3)在自在自变量的取值范围内，根据二次函数的最值或增减性确定最大值或最小值变量的取值范围内，根据二次函数的最值或增减性确定最大值或最小值2几何面积问题：设一边长为几何面积问题：设一
3、边长为x，结合题意用含，结合题意用含x的代数式表示出另一边，的代数式表示出另一边，利用面积公式得出利用面积公式得出S与与x的函数关系式，化为顶点式即可求出面积最大值，注的函数关系式，化为顶点式即可求出面积最大值，注意自变量意自变量x的取值范围的取值范围3抛物线型问题：根据物体运动的轨迹与抛物线相同，选择合适的原点，抛物线型问题：根据物体运动的轨迹与抛物线相同，选择合适的原点，建立平面直角坐标系，把实际问题中的数据转化为点的坐标，利用待定系数建立平面直角坐标系，把实际问题中的数据转化为点的坐标，利用待定系数法求解析式法求解析式失分点失分点二次函数的实际应用题求最值时不能忽略自变量的取值范围和生活
4、实际二次函数的实际应用题求最值时不能忽略自变量的取值范围和生活实际若函数图象的对称轴在自变量的取值范围内，则顶点的纵坐标即为最值；若函数图象的对称轴在自变量的取值范围内，则顶点的纵坐标即为最值；若函数图象的对称轴不在自变量的取值范围内，那么最值为自变量两端点若函数图象的对称轴不在自变量的取值范围内，那么最值为自变量两端点的函数值，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值，从而求解出的函数值，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值，从而求解出最值最值1(2020辽阳辽阳)超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元在销售过程中发元在销售过程中发现，每天销售量现
5、，每天销售量y(瓶瓶)与每瓶售价与每瓶售价x(元元)之间满足一次函数关系之间满足一次函数关系(其中其中10 x15，且且x为整数为整数)，当每瓶洗手液的售价是，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗瓶；当每瓶洗手液的售价是手液的售价是14元时，每天销售量为元时，每天销售量为80瓶瓶(1)求求y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？为多少元时，超市销售该品牌洗手
6、液每天销售利润最大，最大利润是多少元？2为结合创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长为结合创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80 m，宽，宽60 m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示阴影区域为绿化区的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示阴影区域为绿化区(四块四块绿化区为全等的直角三角形绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于宽度不小于36 m，不大于，不大于44 m.预计活动区造价预计活动区造价60元元/m2，绿化区造价，绿化区造价50元元/m2.设绿化区域较长直角边为设绿化区域较长
7、直角边为x m(1)求工程总造价求工程总造价y与与x的函数关系式，写出的函数关系式，写出x的取值范围；的取值范围；(2)如果业主委员会投资如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由数的所有工程方案；若不能，请说明理由(2)由题意得由题意得20 x2200 x288000284000，x210 x2000，设，设mx210 x200(x5)2225，令，令m0，解得，解得x20或或x10，当当m0时，时，x10或或x20，20 x22.所有工程方案如下：较长直角边为所有工程方案如下：较长直角边为
8、20 m，短直角边为，短直角边为10 m，出口宽度为，出口宽度为40 m；较长直角边为较长直角边为21 m，短直角边为，短直角边为11 m，出口宽度为，出口宽度为38 m；较长直角边为较长直角边为22 m，短直角边为，短直角边为12 m，出口宽度为，出口宽度为36 m.综上能完成全部工程综上能完成全部工程专项突破二次函数与代数结合常见设问专项突破二次函数与代数结合常见设问设问设问1用参数表示点坐标、关系式用参数表示点坐标、关系式(1)已知抛物线已知抛物线ymx2mx2m(m0)的顶点为的顶点为A，求，求A的坐标的坐标(用含用含m的代的代数式表示数式表示).(2)已知抛物线已知抛物线yax2bx
9、c(a0)，若抛物线与，若抛物线与x轴的唯一公共点为轴的唯一公共点为(2，0)，求，求a，c满足的关系式满足的关系式设问设问2抛物线与直线交点问题抛物线与直线交点问题(1)已知抛物线已知抛物线ymx22mxm1和直线和直线ymxm1，且，且m0.试说明试说明抛物线与直线有两个交点抛物线与直线有两个交点解：方法一：由解：方法一：由ymx22mxm1和和ymxm1可得可得mx22mxm1mxm1，mx2mx0，mx(x1)0，m0，x10，x21.抛物线与直线有两个交点抛物线与直线有两个交点方法二：由题意得方法二：由题意得mx2mx0，判别式，判别式m2，m0，m20，抛物抛物线与直线有两个交点线
10、与直线有两个交点(2)已知抛物线已知抛物线yax2bx与直线与直线yx只有一个公共点，且向右平移只有一个公共点，且向右平移1个单位个单位长度后，刚好过点长度后，刚好过点(3，0).求此抛物线的解析式求此抛物线的解析式设问设问3恒成立问题恒成立问题已知抛物线已知抛物线y2ax2ax3(a1)，不论，不论a取何值，抛物线总经过第三象限取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点内的一个定点C，求出点，求出点C的坐标的坐标设问设问4解析式问题解析式问题(2)已知抛物线已知抛物线yax2bxc(b0)与与x轴只有一个交点轴只有一个交点A.过定点过定点(0，1)的直线的直线与抛物线交于与抛物线交于B，C两点
11、，且两点，且ABC为等腰直角三角形求抛物线的解析式为等腰直角三角形求抛物线的解析式解：由题意得抛物线开口向上，解：由题意得抛物线开口向上，a0，b0，对称轴在对称轴在y轴左侧，等腰轴左侧，等腰直角三角形的顶点只能为直角三角形的顶点只能为A(1，0)，c1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)22x22x1.设问设问5定直线问题定直线问题(2)(2020宜宾节选宜宾节选)如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2，1)在二在二次函数的图象上，过点次函数的图象上，过点F(0，1)作作x轴的平行线交二次函数的图象于轴的平行线交二次函数的图象于M，N两点
12、两点(1)求二次函数的表达式；求二次函数的表达式；(2)在二次函数的图象上是否存在一点在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点，使得以点E为圆心的圆过点为圆心的圆过点F和点和点N，且与直线且与直线y1相切若存在，求出点相切若存在，求出点E的坐标，并求的坐标，并求 E的半径；若不存在，的半径；若不存在，说明理由说明理由(3)由由P(1，0)，Q(0，2)得直线得直线PQ的函数解析式为的函数解析式为y2x2.把把y2x2代入代入yax2(am)xm，得，得ax2(am2)xm20，(am2)2 4a(m2)a2(m2)2 2a(m2)(am2)2，2m0，0m22，当当a2时，时，am20，始终
13、为正，即抛物线始终为正，即抛物线yax2bxc与直线与直线PQ始终都有两个公共点始终都有两个公共点二次函数的实际应用二次函数的实际应用(2018.23，10分分)类型一几何面积问题类型一几何面积问题1(2018福建福建23题题10分分)如图，在足够大的空地上有一段长为如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中，其中ADMN.已知矩形菜园已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏米木栏(1)若若a20，所围成的矩形菜园的面积为，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求
14、所利用旧墙平方米，求所利用旧墙AD的长；的长；(2)求矩形菜园求矩形菜园ABCD面积的最大值面积的最大值类型二销售利润问题类型二销售利润问题2(2016泉州泉州)某进口专营店销售一种某进口专营店销售一种“特产特产”，其成本价是，其成本价是20元元/千克，根千克，根据以往的销售情况描出销量据以往的销售情况描出销量y(千克千克/天天)与售价与售价x(元元/千克千克)的关系，如图所示的关系，如图所示(1)试求出试求出y与与x之间的一个函数关系式；之间的一个函数关系式；(2)利用利用(1)的结论：的结论：求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润；求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售
15、利润；进口产品检验、运输等过程需耗时进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该天，该“特产特产”最长的保存期为一个最长的保存期为一个月月(30天天)，若售价不低于，若售价不低于30元元/千克，则一次进货最多只能进多少千克？千克，则一次进货最多只能进多少千克？s(2)根据题意得根据题意得W利润利润(x20)(2x112)2x2152x22402(x38)2648.当当x38时，即每千克售价为时，即每千克售价为38元时，每天可以获得最大利元时，每天可以获得最大利润润由题意知由题意知x30，销量，销量y与售价与售价x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y2x112，0y52，一天最多的销售量为一天最多的
16、销售量为52千克，千克，一次最多可进货为一次最多可进货为52(305)1300(千克千克).答：一次进货最多只能进答：一次进货最多只能进1300千克千克命题点命题点2 二次函数综合题二次函数综合题(近近4年年25题必考，题必考，14分分)3(2019福建福建25题题14分分)已知抛物线已知抛物线yax2bxc(b0)与与x轴只有一个公轴只有一个公共点共点(1)若抛物线与若抛物线与x轴的公共点坐标为轴的公共点坐标为(2，0)，求，求a，c满足的关系式；满足的关系式；(2)设设A为抛物线上的一个定点，直线为抛物线上的一个定点，直线l：ykx1k与抛物线交于点与抛物线交于点B，C，直线直线BD垂直于
17、直线垂直于直线y1，垂足为点，垂足为点D.当当k0时，直线时，直线l与抛物线的一个交点与抛物线的一个交点在在y轴上，且轴上，且ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形求点求点A的坐标和抛物线的解析式；的坐标和抛物线的解析式；证明：对于每个给定的实数证明：对于每个给定的实数k，都有，都有A，C，D三点共线三点共线4(2020福建福建25题题14分分)已知直线已知直线l1：y2x10交交y轴于点轴于点A，交，交x轴于点轴于点B，二次函数的图象过，二次函数的图象过A，B两点，交两点，交x轴于另一点轴于另一点C，BC4，且对于该二次，且对于该二次函数图象上的任意两点函数图象上的任意两点P1(x1，y1)
18、，P2(x2，y2)，当，当x1x25时，总有时，总有y1y2.(1)求二次函数的表达式；求二次函数的表达式；(2)若直线若直线l2：ymxn(n10)，求证：当，求证：当m2时，时，l2l1；(3)E为线段为线段BC上不与端点重合的点，直线上不与端点重合的点，直线l3：y2xq过点过点C且交直线且交直线AE于点于点F，求，求ABE与与CEF面积之和的最小值面积之和的最小值解：解：(1)由题意得由题意得A(0，10)，B(5，0).BC4，点点C(9，0)或点或点C(1，0)，点点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当，当x1x25时，总有时，总有y1y2，当当x5时，时，y随随x的的增大而增大若抛物线过点增大而增大若抛物线过点C(9，0)时，则当时，则当5x7时，时，y随随x的增大而减少，的增大而减少，不合题意舍去，若抛物线过点不合题意舍去，若抛物线过点C(1，0)时，则当时，则当x3时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大，符合题意，设二次函数的表达式为符合题意，设二次函数的表达式为ya(x1)(x5)，代入点，代入点A(0，10)，解得，解得a2，二次函数的表达式为二次函数的表达式为y2(x1)(x5)2x212x10；
