1、上海市2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1已知点的极坐标为，则它的直角坐标为_.2在等差数列中，如果前5项的和为，那么等于_3曲线的焦距为_4已知，直线，若，则与之间的距离为_.5正四棱柱的高是底面边长的倍，则其体对角线与侧棱所成的角的大小为_6已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为_72022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为_米（精确到整数）8复数，则_9已知，当a
2、b取得最小值时，曲线上的点到直线的距离的取值范围是_二、单选题10已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（）ABCD12如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线的距离与到直线的距离相等，则动点P的轨迹是（）A线段B圆弧C双曲线的一部分D抛物线的一部分13如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方
3、体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（）ABCD2三、解答题14如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点已知，.(1)求圆柱的体积；(2)求证：15已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求m的值.16在棱长为的正方体中，EF分别是与AB的中点.(1)求与截面所成角的大小；(2)求点B到截面的距离.17如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且
4、距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.（1）求道路M-N-P的曲线方程；（2）现要在M-N_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？18已知椭圆的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且，为等边三角形.（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点
5、O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段为直径的圆的方程；（3）已知是过点A的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于P，Q两点，直线与椭圆C交于另一点R，求面积最大值时，直线的方程.试卷第3页，共4页参考答案：1【解析】利用直角坐标与极坐标之间的转换关系可求得点的直角坐标.【详解】由题意可得，点的横坐标为，点的纵坐标为.因此，点的直角坐标为.故答案为：.24【分析】利用等差数列前项和公式和等差中项求解即可.【详解】因为等差数列前5项的和，所以，所以故答案为：43【分析】将曲线方程化为普通方程，求出的值，即可得出该曲线的焦距.【详解】由可得，所以，曲线的
6、普通方程为，该曲线为椭圆，且，则，因此，曲线的焦距为.故答案为：.4【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解即可.【详解】由得，解得，则直线，即与之间的距离为故答案为：5【分析】由于正四棱柱的四条侧棱互相平行，先找到体对角线与侧棱所成的角，解三角形即得解.【详解】如图所示， 设，所以.由于正四棱柱的四条侧棱互相平行，所以体对角线与侧棱所成的角为.在直角三角形中，因为为锐角，所以.故答案为: .6【分析】根据已知条件求得，由此求得实轴长.【详解】由于，双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线与轴夹角小于，由得，实轴长故答案为：728【分析】根据球体的表面积公式，结合题意，直接求解即可.
7、【详解】设主降落伞展开后所在球体的半径为，由题可得，解得，故完全展开后伞口的直径约为米.故答案为：.81【分析】根据复数的乘法，求得，进而求得其模.【详解】,故故答案为：19【分析】利用基本不等式求得的最小值及当取得最小值时的值,再代入,分的正负判断方程的种类再画图分析即可.【详解】由题有,因为,故,当且仅当时取,因为,解得.故曲线方程为.故方程为： ,画出图像有故为双曲线与的渐近线方程.易得曲线上的点到直线的距离.最大值时设椭圆上的点.此时 ,当时取最大值为.点到直线的距离的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用以及圆锥曲线的综合问题,需要画图再化成参数方程的形式求点到线
8、的距离最值问题,属于中等题型.10B【分析】以正方体为例，举例可说明充分性不成立，根据线面垂直的性质定理可说明必要性成立.即可得出答案.【详解】如图，正方体中.，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件；若，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件.所以，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.11A【分析】由题可得，然后利用离心率公式即得.【详解】由题可得，即椭圆为，.故选：A.12D【分析】由线垂直平面，分析出就是点到直线的距离，则动点满足抛物线定义，问题解决【详解】解：几何体是正方体，侧面，的长为P到直线的距离，又P到直线的距离与到直线的距离相等，的长等于P到直线
9、的距离，由抛物线的定义知，动点P的轨迹是抛物线的一部分.故选：D【点睛】本题考查抛物线定义及线面垂直的性质，属于中档题13D【解析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N到底面B的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值.【详解】由题意知，水的体积为，如图所示，设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于由题意知，水的体积为，即，在平面内，过点作交于，则四边形是平行四边形，且又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为,在直角三角形中，.故选：D.【点睛】本题考查了利用
10、定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.14(1)(2)证明见解析【分析】（1）计算出圆柱的底面半径，再利用柱体的体积公式可求得该圆柱的体积；（2）推导出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立.【详解】（1）解：设圆柱的底面半径为，因为，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，且，则，由勾股定理可得，所以，因此，该圆柱的体积为.（2）证明：因为平面，平面，所以，又因为，、平面，所以，平面.因为平面，所以，.15(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系
11、，求得，在利用弦长公式列出方程，即可求解.【详解】（1）双曲线离心率为，实轴长为2，解得，所求双曲线C的方程为；（2）设,联立，解得16(1)(2)【分析】（1）采用建系法，求出平面的法向量，设直线与平面所成角的大小为，利用即可求解，我们也可以构造如图所示的线面角，再利用解直角三角形求出角的大小.（2）求出，设与与法向量所成夹角为，利用即可求解；我们也可以利用等积法求出此距离.【详解】（1）法一：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成角的大小为，则，即.法2：如图，连接，取的中点为，连接，则，而，故、为等腰三角形，故，而又，故平面，而平面，
12、故平面平面.过作，交于，因为平面，平面平面，故平面，故为与截面所成角.在中，而，故，故.（2）法1：设与法向量所成夹角为，则点B到截面的距离，故点B到截面的距离为.法2：如图连接，设到平面的距离为，由（1）可得的面积为，而，所以，故.17（1） MN段， NP段，；（2）.【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案；（2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标.【详解】（1）根据题意，线路
13、段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，其方程为，又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，其方程为，故道路曲线方程为段：，段：.（2）当点在线路上，设，又由，则，由（1）可得，则，可得当时，有最小值，且，当点在线路上，设，又由，则，由（1）可得，则，可得当时，有最小值，且，因为，所以有最小值为，此时，则，则点的坐标为，此时到的距离最小.18（1）（2）（3）【分析】（1）由题意可得，由，的关系，可得的值，进而得椭圆方程；（2）设，即有，运用向量的数量积的坐标表示，可得，求出的方程，代入椭圆方程，可得
14、的坐标，求得的中点坐标和半径，进而可得圆的方程；（3）设，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和弦长公式，再由三角形的面积公式，运用配方和二次函数的最值得求法，即可得到所求直线的方程.【详解】（1）由题意可得，即，又为等边三角形，可得，所以，所以，椭圆的方程为：.（2）设，即有，由题意得，即为，解得，代入椭圆方程可得，解得，即有，所以直线方程为：，将其代入椭圆方程得：，由，解得点坐标为，则中点为，所以圆的半径为，即以线段为直径的圆的方程为：.（3）设，代入椭圆方程可得，解得，则，由题意可得直线的方程为，代入圆的方程中，由弦长公式可得，则的面积为令，即有，所以所以当，即有，此时，有最大值，即有直线的方程为.答案第11页，共12页
