1、数学试题 第1页（共8页）数学试题 第2页（共8页）数学试题 第3页（共8页）数学试题 第4页（共8页）数学试题 第5页（共8页）2023 年高三二模参考答案 数数 学学 本试卷 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1选 D 2选 C 3选 B 4选 B 5选 A 6选 D 7选 B 8选 C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9【答案】
2、选 BCD 10【答案】选 ABC 11【答案】选 BD 12【答案】选 ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13【答案】212 14【答案】2 3 15【答案】20 16【答案】313 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知等差数列na的前n项和为nS，若11a=，且123,a a S成等比数列（1）求数列na的通项公式；（2）设141nnbS=，求数列 nb的前n项和nT【解析】（1）设数列na的公差为d，由123,a a S成等比数列，得2132=a Sa即23 3(1)dd+=+，解得2d
3、=或-1，当1d=时20a=不合题意，所以2d=，即21nan=；（5 分）（2）由（1）得2nSn=所以21111412 2121nbnnn=+所以1111111111=21335212+122+121nnTnnnn=+=+（10 分）18（12 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且23AB ACBA BCCA CB（1）求bc；（2）已知4B，2a，求ABC的面积【解析】（1）由题设得2cos3coscosbcAacBabC，由余弦定理，22222222223222bcaacbabcbcacabbcacab，整理得223bc，所以3bc （6 分）（2）由（1）知3
4、bc，由余弦定理得22(3)422cos4ccc，解得1022c，故ABC的面积为12512 sin2422cc （12 分）19（12 分）大气污染物2.5PM（大气中直径小于或等于 2.5m的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康 为了研究2.5PM的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了 24 个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点 24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中2.5PM的平均浓度（单位：3g/m），得到的数据如下表：城市编号 汽车流量 2.5PM浓度 城市编号 汽车流量 2.5
5、PM浓度 1 1.30 66 11 1.82 135 2 1.44 76 12 1.43 99 3 0.78 21 13 0.92 35 4 1.65 170 14 1.44 58 数学试题 第6页（共8页）5 1.75 156 15 1.10 29 6 1.75 120 16 1.84 140 7 1.20 72 17 1.11 43 8 1.51 120 18 1.65 69 9 1.20 100 19 1.53 87 10 1.47 129 20 0.91 45 （1）根据上表，若 24h内过往的汽车流量大于等于 1500 辆属于车流量大，2.5PM大于等于 753g/m属于空气污染请结
6、合表中的数据，依据小概率值0.05=的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？（2）设2.5PM浓度为y，汽车流量为x根据这些数据建立2.5PM浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到 0.01）附：22()()()()()n adbcab cd ac bd=+，20127.8iix=，2011770iiy=，202140.537iix=，2021193694iiy=，2012680.48iiix y=在经验回归方程ybxa=+中，121()()()niiiniixxyybxxaybx=【解析】（1）由题知，列二联表，如下图 222()20(7 84 1)5
7、.693.841()()()()11 9 8 12n adbcab cd ac bd =+，依据小概率值0.05=的独立性检验，可以认为车流量大小与空气污染有关联 （5 分）（2）由题知，20112022221127.81770()()202680.48202020116.1927.840.53720()()20niiiiiiniiiixx yyx yxybxxxnx=，177027.8116.1973.002020ayb x=，故2.5PM浓度关于汽车流量的经验回归方程为116.1973.00yx=（12 分）20（12 分）如图，已知四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，底面ABC
8、D是直角梯形，ADBC，90DAB=，4ABBC=，5PAPC=（1）求证：PBAC；（2）若平面PBD 平面PBC，且PAD中，AD边上的高为 3，求AD的长 0.100 0.050 0.010 x 2.706 3.841 6.635 汽车流量大于等于 1500 辆 汽车流量小于 1500 辆 合计 2.5PM大于等于 75 7 4 11 2.5PM小于 75 1 8 9 合计 8 12 20 数学试题 第7页（共8页）【解析】（1）设线段AC中点为E，连接BE，PE，由ABBC=及PAPC=得BEAC且PEAC，又BEPEE=，所以AC 平面PBE，又PB 平面PBE，所以PBAC （5
9、分）（2）过点P作PO垂直直线AD于点O，则3PO=，因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，POAD及PO平面PAD，所以PO平面ABCD，连接OC，由5PAPC=，3PO=，易知4OAOC=，所以四边形ABCO是菱形，因为90DAB=，所以四边形ABCO是正方形，且,OA OC OP两两互相垂直，以O为空间直角坐标系原点，分别以OC，OA，OP方向为x轴正半轴，y轴正半轴，z轴正半轴，建立如图空间直角坐标系 设ODa=，则(0,0,3)P，(0,0)Da，(4,4,0)B，(4,0,0)C，即()0,3PDa=，()4,4,3PB=，()0,4,0BC=，()4,0,3
10、PC=，设平面PBD的法向量为()111,mx y z=，则0m PD=，0m PB=，得1144axy=，113azy=；不妨取11y=，则4,1,43aam=，同理可得平面PBC的一个法向量41,0,3n=，由平面PBD 平面PBC得0m n=，所以3625a=，即366442525AD=（12 分）21（12 分）已知双曲线2222:1(00)xyCabab，的焦距为2 3，离心率62e（1）求双曲线C的方程；（2）设,P Q为双曲线C上异于点M(2,)a b的两动点，记直线,MP MQ的斜率分别为12,kk，若12122kkk k，求证：直线PQ过定点【解析】（1）由题意知22 3c，
11、62ca，222cab，解得2,1ab，所以双曲线C的方程为2212xy （4 分）（2）由题意可知直线PQ斜率存在，设其方程为ykxm，与2212xy联立，得222(1 2)4220kxkmxm，设11(,)P x y，22(,)Q xy，数学试题 第8页（共8页）则2121222422,1212kmmxxx xkk，（6 分）由12122kkk k得12121212111122222yyyyxxxx，即1212121212(1)(2)(2)(1)2(1)(1)(2)(2)(2)(2)yxxyyyxxxx，即121212(1)(2)(2)(1)2(1)(1)kxmxxkxmkxmkxm，即2
12、21 212121 2122(1)()2()4(1)22(1)()2(1)kx xmxxk xxmk x xk mxxm，将2121222422,1212kmmxxx xkk代入上式并整理得22210mkkm，（9 分）即(1)(1 2)0mmk，故1m或1 2mk 当1m时，直线PQ方程为1ykx过定点(0,1)；当1 2mk时，直线PQ方程为(2)1yk x过点M与题意矛盾 综上，直线PQ过定点(0,1)（12 分）22（12 分）已知函数1()2lnf xxx=+（1）求函数()()g xf xx=的零点；（2）证明：对于任意的正实数k，存在00 x，当0(,)xx+时，恒有()kxf
13、x 【解析】（1）由题，1()2lng xxxx=+，定义域为(0,)+，因为22121()1(1)0g xxxx=+=，所以函数()g x在区间(0,)+上单调递减 （3 分）又(1)0g=，故函数()g x的零点为1 （5 分）（2）由（1）可知1x时，()0g x，即12ln(1)xxxx，因此1ln2ln(1)xxxx xx=，进而4ln2ln22(1)xxxx x=注意到，当0k 时，12kxx等价于232()xk，442kxx等价于48()xk，于是，对于任意的正实数k，取243024max(),(),1xkk=，则当0(,)xx+时，有 41142ln()22kkk xxxxxf xxx=+=，即证 （12 分）
