1、理科数学 第 1页（共 4 页）汉中市汉中市 20232023 届高三年级教学质量第二次检测考试届高三年级教学质量第二次检测考试数学（理科）数学（理科）（命题学校（命题学校:西乡一中）西乡一中）本试卷共本试卷共 2323 小题，共小题，共 150150 分，共分，共 4 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题
2、目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第第卷（选择题卷（选择题共共 6060 分）分）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.设全集为R，集合|3Axx，|15Bxx，则AB R（）A.(3,0)B.(3,1C.(3,1)D.()3,32.已知复数2i()
3、zmmmmR为纯虚数，则复数2imi在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若1sin3，且2，则sin2的值为（）A2 29B4 29C2 29D4 294.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为 1 的线段 AB，作一个等边三角形 ABC，然后以点 B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段 CB 的延长线于点 D（第一段圆弧），再以点 C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段 AC 的延长线于点 E，再以点 A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧以此
4、类推，当得到的“蚊香”恰好有 11 段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A.14B.18C.30D.445.设R，则“1”是“直线311xy与直线12xy平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知点,A B在圆22:16O xy上，且|4AB，P为圆O上任意一点，则AB BP 的最小值（）A.0B.12C.18D.24理科数学 第 2页（共 4 页）7.定义在R上的函数()yf x满足以下三个条件：对于任意的xR，都有(1)(1)f xf x；函数(1)yf x的图象关于y轴对称；对于任意的12,10 x x，都有1212()()()0f xf xx
5、x；则32f、(2)f、(3)f的大小关系是（）A.3(2)(3)2fffB.3(3)(2)2fffC.3(3)(2)2fffD.3(3)(2)2fff8.如图，在正方体1111ABCDABC D中，点P在线段1BC上运动，则下列叙述不正确的结论是（）A.直线1BD 平面11AC DB.三棱锥11PAC D的体积为定值C.异面直线AP与1AD所成角的取值范围是45,90D.直线1C P与平面11AC D所成角的正弦值的最大值为639.已知函数()sin()(0,0,0)2f xAxA满足下列两个条件：函数()12yf x是奇函数；12max|()()|2f xf x，且12min|3xx若函数
6、()f x在(,4t上存在最小值，则实数t的最小值为（）A4B3C512D1210.已知函数()f x的定域为R，图象恒过点(0,2)，对任意12,x xR，当12xx时，都有 12121fxfxxx，则不等式ln e22ln e2xxf的解集为（）A(,ln2)B(ln 2,ln3)C(ln3,2ln 2)D(2ln 2,)11.已知双曲线12222byax0,0ba左，右焦点分别为21,FF，以O为圆心，OF1为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y轴左侧交于BA,两点，且ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A2B2C.13D23 12.设12,x x分别是函数 xf xxa和 log
7、1ag xxx的零点（其中1a），则124xx的取值范围是（）A4,B4,C5,D5,理科数学 第 3页（共 4 页）第第卷（非选择题卷（非选择题共共 9090 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.13.已知向量(2,1)a，(3,1)b ，且kba与a垂直，则k _14.在ABC中，4AB，3BC，6B,D在线段AB上，若ADC与BDC的面积之比为3:1，则CD _.15.已知23612xaxx的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为_.16.已知O为坐标原点，抛物线E的方程为24xy，直线l与E
8、交于,A B两点，若OAOB，则AOB面积的最小值为_.三、三、解答题解答题：共共 7070 分分.解答题写出文字说明解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤.第第 17172121 题是必考题题是必考题，每每个考生都必须作答个考生都必须作答.第第 2222、2323 题是选考题，考生根据要求作答题是选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分.17.（本小题满分 12 分）“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占 80%.现从参与调查的关注生
9、态文明建设的人员中随机选出 200 人，并将这 200 人按年龄（单位：岁）分组：第 1 组15，25），第 2 组25，35），第 3 组35，45），第 4 组45，55），第 5 组55，65，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这 200 人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；（2）现在要从年龄在第 1，2 组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，求抽取的 3 人中至少 1 人的年龄在第 1 组中的概率；（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出 3
10、人，设这 3 人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量 X 的分布列及期望.18.（本小题满分 12 分）如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，1ADABBC，2CD，E 为CD中点，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置（P平面 ABCD）（1）求证：AEPB；（2）若把ADE折起到当PAEABCE平面平面时，求二面角APEC的余弦值理科数学 第 4页（共 4 页）19.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前n项和为11nSa，.从:24nnaa；1(1)nnSnan n；12nnaa中选出一个能确定 na的条件，补充到横线处，并解答下面问题.（1）求数列 na的通项公式；（2）
11、设数列14(1)nnnnnba a，求数列 nb的前100项和100T.20.（本小题满分 12 分）已知过点1,e的椭圆E：222210 xyabab的焦距为 2，其中e为椭圆E的离心率(1)求E的标准方程；(2)设O为坐标原点，直线l与E交于,A C两点，以OA，OC为邻边作平行四边形OABC，且点B恰好在E上，试问：平行四边形OABC的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由21.（本小题满分 12 分）已知函数()esinxf xxmx的图象在点(0,(0)f处的切线与直线10y 平行（1）求实数m的值，并求函数()f x的单调区间；（2）若不等式2()10f xax 对
12、任意0,)x恒成立，求实数a的取值范围（二（二）选考题选考题：共共 1010 分分.考生从考生从 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分.作答时用作答时用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为212222xtyt，(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2221 sin.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)
13、设1,2P，直线l与曲线C交于,A B两点，求11PAPB.23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设 1f xx，（1）求 2f x 的解集；（2）设(1)()g xf xf x的最小值为a,若(,),xyza x y zR求1xyuxyz的最小值.理科数学 第1页（共 5 页）汉中市汉中市 20232023 届高三年级教学质量第二次检测考试届高三年级教学质量第二次检测考试 理科数学参考答案理科数学参考答案 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
14、 A B D A D D C C B A D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.57 14.1 15.-640 16.16 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.第第 1721 题是必考题，第题是必考题，第 22、23 题是选考题，考生根据情况作答题是选考题，考生根据情况作答.（一）必考题：每小题一）必考题：每小题 12 分，共分，共 60 分分.17.解：(1)由小矩形面积和等于 1 可得：(0.01 0.0150.03 0.01)101+=a，a0.035 平均年龄(20 0.01 30 0.01540 0.03
15、5 50 0.03060 0.010)1041.5+=2 分(2)第 1 组总人数为 2000.011020，第 2 组总人数为 2000.0151030故用分层抽样后，第 1 组抽取205250=人，第 2 组抽取305350=人 再从这 5 人中抽取 3 人，设至少 1 人的年龄在第 1 组中的事件为A，其概率为()3335C91C10P A=6 分(3)由题意可知X服从二项分布XB（3，45）311(0)()5125=P X，()21341121C55125P X=，()22341482C55125P X=，3464(3)()5125P X=.10 分X的分布列为：X 0 1 2 3 P
16、 1125121254812564125X的数学期望12()5E Xnp=12 分18.解：（1）连接BD，设AE的中点为O，ABCE，12ABCECD=，2 分四边形ABCE为平行四边形，AEBCADDE=，ADE，ABE为等边三角形，ODAE，OBAE，折叠后OPAE，OBAE，又OPOBO=，理科数学 第2页（共 5 页）AE 平面POB，又PB 平面POB，AEPB 6 分（2）若AEABCE平面P平面，即PO 平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则30,0,2P，1,0,02E，31,02C，13,0,22PE=，13,022EC=，设平
17、面PCE的一个法向量为()1,nx y z=，则1100n PEn EC=，即 1302213022xzxy=+=，令3x=得()13,1,1n=，8 分又OB 平面PAE，230,02OBn=为平面PAE的一个法向量，10 分 设平面PAE与平面CPE夹角为，则12121215coscos,55n nn nn n=，由图观察知，二面角APEC是钝角，二面角APEC的余弦值为55 12 分19.选作条件 因为22nnaa+=，11a=，数列奇数项确定，但2a未知，故数列偶数项不确定，因此数列 na不确定，不能选选作条件，1(1)nnSnan n+=+，故122Sa=，则23a=当121(1)n
18、nnSnan n=时，（）2 分11(1)2nnnnnaSSnanan+=，所以12nnaa+=4 分又因为212aa=对任意正整数，12nnaa+=，所以 na是以 1 位首项，2 为公差的等差数列，21nan=6 分选作条件 12nnaa+=所以 na是以 1 位首项，2 为公差的等差数列，3 分 又因为11a=，所以 21nan=6 分（2）由（1）知，等差数列 na的通项公式21nan=，于是 111()(1)()21421nnnnnba annn+=+，8 分理科数学 第3页（共 5 页）所以100123100Tbbbb=+1001111111200(1)(3355712110099
19、2T=+=）（）（）12 分20.解：（1）设椭圆E的焦距为2c，则11,cceaa=，由题意可得222221111aabab+=+解得2221ab=故E的标准方程为2212xy+=4 分（2）平行四边形OABC的面积为定值62，理由如下：由（1）可得：2,1ab=，则有：当直线l的斜率不存在时，设()()1111,A x yC xy，若OABC为平行四边形，则点B为长轴顶点，不妨设()2,0B，可得122112212xxy=+=解得112232xy=故平行四边形OABC的面积13622222S=；6 分当直线l的斜率存在时，设()()()1122:0,l ykxm mA x yB xy=+，
20、联立方程2212ykxmxy=+=消去 y 得()2221 24220kxkmxm+=7 分 则()()()2222222121222422164 1 2228 210,1 21 2kmmk mkmkmxxx xkk=+=+=+可得()21212122242221 21 2k mmyykxmkxmk xxmmkk+=+=+=+=+()()1122,Cx yyAxOO=，若OABC为平行四边形，则()12122242,1 21 2kmmOBOAOCxxyykk=+=+=+点2242,1 21 2kmmBkk+在椭圆上，则222242121212kmmkk+=+整理可得2241 2mk=+，满足(
21、)2228 21240kmm=+=，则212122241,1 22kmkmxxx xkmm+=+，可得2222224161141 222kmmkACkkmm+=+=+10 分理科数学 第4页（共 5 页）点O到直线:0l kxym+=的距离21mdk=+11 分故平行四边形OABC的面积22161622221mkSACdmk+=+综上所述：平行四边形OABC的面积为定值62.12 分21.解：函数()esinxf xxmx=+的定义域为R，()ecosxfxxm=+，因为函数()esinxf xxmx=+的图象在点(0,(0)f处的切线与直线10y+=平行，所以(0)0f=，故0ecos020
22、mm+=，解得2m=，2 分所以()esin2xf xxx=+，所以()e2cos=+xfxx 当0 x 时，e1x，又cos1x，则ecos2xx+，故()0fx，所以()f x在(0，上单调递减 3 分设()()(0)h xfx x=，则()esinxh xx=，当0 x 时，e1sinxx，()0h x，()h x是增函数，即()fx在()0+，上单调递增，所以()(0)0fxf=，因此()f x在()0+，上单调递增，所以()f x的单调递增区间是(0,)+，单调递减区间是(,0)6 分(2)不等式2()10f xax 可化为2e2sin10 xxxax+，设2()e2sin1xg x
23、xxax=+，由已知可得()0g x 在0,)+上恒成立，(0)0g=满足题意 7 分因为()e2cos2xg xxax=+，令()()e2cos2xq xg xxax=+，则()esin2xq xxa=，令()()esin2xs xq xxa=，则()ecos1 cos0 xs xxx=，所以()s x即()q x在0,)+上是增函数，()(0)1 2q xqa=，当12a 时，()(0)1 20q xqa=，8 分函数()q x即()g x在0,)+上单调递增，所以()(0)0g xg=，()g x在0,)+上单调递增，所以()(0)0g xg=恒成立，原不等式恒成立；9 分当12a 时，
24、则(0)1 20qa=，又(ln(22)2 sin(ln(22)0qaa+=+，所以存在0(0,ln(22)xa+，使得()00q x=，00 xx时，()0q x，()q x即()g x在()00,x上单调递减，0 xx时，()0q x，()q x即()g x在()0,x+上单调递增，10 分又(0)0g=，所以00 xx时，()0gx，从而()g x在()00,x上单调递减，于是当()00,xx时，()(0)0g xg=，不合题意 综上，实数a的取值范围是1,2 12 分（二）选考题：共 10 分.考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.理科数学 第5页（共
25、5 页）22.解：直线l的参数方程为212222xtyt=+=+(t为参数)，消去t得，直线l的普通方程为10 xy+=；2 分由 2221 sin=+得，222sin2+=，将 222sinxyy=+=，代入得，曲线 C的直角坐标方程为2212xy+=.5 分（2）将直线l的参数方程212222xtyt=+=+代入曲线22:12xCy+=，6 分整理得 2310 2140tt+=，2(10 2)4 3 140=，7 分记,A B两点对应的参数分别为12,t t，则 121 210 214,33ttt t+=，8 分 故120,0tt，故 121 2115 27PAPBttPAPBPA PBt t+=.10 分23.解：（1）（1）由题知 1221213xxx ,4 分 原不等式的解集|13xx 5 分（2）由()(1)()|1|(1)|1g xf xf xxxxx=+=+=，所以()1g x 最小值为，即y+1xz+=6 分11xyxyzxyxyzxyzxyxyzz+=+=+1 23,zzxyzxyzxyxy+=+=当且仅当时取等号 所以1xyuxyz+=+的最小值为 3，此时12xyz+=10 分
