1、九江市 2020 年第三次高考模拟统一考试 数 学 试 题（文科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第卷（选择题 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小
2、题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.复数 1 i 2i z 的虚部为(D) A. 3 i 5 B. 3 5 C. 3 i 5 D. 3 5 解: 1 i( 1 i)(2i)1 3i = 2i(2i)(2i)5 z ，z的虚部为 3 5 ，故选 D. 2.若集合 2 |log3Axx， 2 |280Bx xx，则AB （C） A. |8x x B. | 24xx C. |28xx D. |04xx 解: | 08Axx， | 24Bxx ， | 28ABxx ，故选 C. 3.若直线(1)10xay与直线210axy 互相垂直，则实数a (B) A. 3 2 B. 2 3 C.
3、1 D.2 解:由两直线互相垂直可知2(1)0aa，解得 2 3 a ，故选 B. 4.抛物线 2 yax上一点 1 1 (, ) 4 8 P 到其准线的距离为(B) A. 3 4 B. 1 4 C. 1 8 D. 3 8 解:易知2a ，抛物线 2 2yx，即 2 1 2 xy，准线 1 : 8 l y ，则点P到l的距离为 1 4 ，故选 B. 5.若 3 sin() 63 ，则 sin(2 ) 6 的值为(B) A. 1 3 B. 1 3 C. 2 2 3 D. 2 2 3 解: 2 1 sin(2 )cos(2)1 2sin () 6363 ，故选 B. 6.下图是九江市 2019 年
4、 4 月至 2020 年 3 月每月最低气温与最高气温（）的折线统计图： 已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数0.83r ，则下列结论错误的是（D） A.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B.月温差（月最高气温-月最低气温）的最大值出现在 10 月 C.9-12 月的月温差相对于 5-8 月，波动性更大 D.每月最高气温与最低气温的平均值在前 6 个月逐月增加 解:每月最高气温与最低气温的平均值在前 5 个月逐月增加，第 6 个月开始减少，故选 D. 7.2019 年 11 月 26 日，联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为“国际数学日” (昵称:day）
5、，2020 年 3 月 14 日是第一个“国际数学日”.圆周率是圆 的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数.有 许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式 2 1111 149166 ，即为正整数平 方的倒数相加等.小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T值与 2 非常 近似，则、中分别填入的可以是(B) A. 2 1 S i ，1ii B. 2 1 SS i ，1ii C. 2 1 SS i ，2ii D. 2 1 (1) SS i ，1ii 解：依题意中输出的 2 22322 11111 66() 12342021 TS，故选 B. 8.函数( )ecos x f xx的图像大
6、致是(B) 解:函数( )f x为偶函数，当0x 时，( )esin1 sin0 x fxxx ，( )f x在(0,)上单调递增， 又由指数函数增长趋势，故选 B. 9.在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字 1,2,3,4.现每次有放 B O y x A O x y C y x O D x O y 开始 是 否 结束 输出T 0,1Si 2020i 6TS C A B S 回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在第 3 次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每 1 组中有 3 个数字，分别表示每次摸
7、球的结果，经随 机模拟产生了以下 18 组随机数： 131 432 123 233 234 122 332 141 312 241 122 214 431 241 141 433 223 442 由此可以估计恰好在第 3 次停止摸球的概率为(D) A. 1 6 B. 1 3 C. 5 18 D. 2 9 解:在 18 组随机数中，代表“恰好在第 3 次停止摸球”的随机数是 432，234，214，442,共 4 组，则恰好 在第 3 次停止摸球的概率为 42 189 P ，故选 D. 10.已知函数( )yf x对任意Rx，都有2 ( )3 ()5sin2cos2f xfxxx，将曲线( )y
8、f x向左平 移 4 个单位长度后得到曲线( )yg x，则曲线( )yg x的一条对称轴方程为(C) A. 8 x B. 4 x C. 8 x D. 4 x 解： 由 2 ( )3 ()5sin2cos2 2 ()3 ( )5sin2cos2 f xfxxx fxf xxx ，2+3， 得5 ( )5sin 25cos2f xxx ， 即 ( )sin2cos22sin(2) 4 f xxxx，则 ( )2sin(2) 4 g xx，令 2,Z 42 xkk，则 对称轴方程为 ,Z 82 k xk，故选 C. 11.已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (,0a b)的左、 右焦点为
9、 12 ,F F， 直线:1l yx与双曲线C相交于, A B两点， 12 AF F， 12 BF F的重心分别为,G H，若以GH为直径的圆过原点，则 22 11 ab （A） A.2 B.2 C. 1 2 D. 1 2 解:设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy，由 222222 1yx b xa ya b ，消去y得 2222222 ()20baxa xaa b， 2 12 22 2a xx ba ， 222 12 22 aa b x x ba ，由于 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，可知 11 (,) 33 xy G， 22 (,) 33 xy H， 由题意可得0O
10、G OH ， 1212 0x xy y， 1212 2()10x xxx ， 2222 2222 2 210 aa ba baba ， 即 2222 2baa b， 22 11 2 ab ，故选 A. 12.如图所示，三棱锥SABC中，ABC与SBC都是边长为1的正三角形， 3 2 SA ，若,S A B C四 点都在球O的表面上，则球O的表面积为（A） A. 7 3 B.13 3 C. 4 3 D.3 解:取线段BC的中点D，连接,AD SD，ABC与SBC都是边长为1的 F E C A B S D O 正三角形，ADBC，SDBC， 3 2 ADSD，又 3 2 SA ， 222 1 co
11、s 22 ADSDSA ADS ADSD ， 2 3 ADS，易知BC 平面ADS， 分别取线段,AD SD的三等分点,E F（中心） ，在平面ADS内，过点,E F分别作 直线垂直于,AD SD，两条直线的交点即球心O，连接OA，则球O半径|ROA. 易知 13 36 DEAD， 23 33 AEAD，连接OD，在Rt ODE中， 3 ODE， 1 3 2 OEDE， 222 7 12 OAOEAE，故球O的表面积为 2 7 4 3 R ，故 选 A. 第卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题，
12、学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量(2,1)a ，( 1, )bx ，若()/()abab ，则实数x的值为 1 2 . 解:依题意/ab ，有21x， 1 2 x . 14.若实数, x y满足约束条件 30 240 2 xy xy x ，则 y x 的取值范围是 1 7 , 2 2 . 解:作出可行域， y x 的几何意义为:点( , )x y与原点O所确定直线的斜率. 当直线过(2,1)A时， min 1 ( ) 2 y x ；过 2 7 (, ) 3 3 B时， max 7 ( ) 2 y x ，即 y x 的 取值范围是
13、 1 7 , 2 2 . 15.如图所示，正方形ABCD的四个顶点在函数 1 logayx， 2 2logayx， 3 log3 a yx(1a )的图像上，则a 2 . 解:设 11 (,2log) a B xx， 11 ( ,log3) a C xx ， 22 (,log) a A xx， 22 (,2log) a D xx， 则 21 log2log aa xx， 2 21 xx，又 21 2loglog3 aa xx， 2 11 2loglog3 aa xx，即 1 xa， 2 2 xa，ABCD为正方形， 2 2aa，解得2a. 16.在等腰ABC中，AB，点D在线段AC上，且2CD
14、DA，若 2 tan 5 ABD，则tan A 2 . O A B C D x y x y O 2 3 3 A C B 2 解:设DAx，则2CDx，ABD， 在ADB中，由正弦定理得 sinsin BDAD A ，即 sinsin BDx A ， 在CDB中，由正弦定理得 sinsin() BDCD CB ，即 2 sin2sin() BDx AA ， 即 4 cos sinsin() BDxA AA ， 4 cos sinsin() xxA A ，sin()4cossinAA， sincoscossin4cossinAAA，sincos5cossinAA，tan5tanA， 2 tan 5
15、 ， tan2A. 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 n a是等差数列， n b是等比数列，且 11 1ab， 22 ab， 33 1ab. ()求 n a和 n b的通项公式； ()记1 ( 1) 1( 1) nn nnn cab ，求数列 n c的前2n项和 2n S. 解:()设数列 n a的公差为d，数列 n b的公比为q(0q )， 由 22 33 1 ab ab ，得 2 1 121 dq dq 2 分 解得 2 1 q d 4 分 1(1) 1 n ann ， 11 1 22 nn n
16、b 6 分 () 2, 2, n n n a n c b n 为奇数 为偶数 7 分 记 13521n Scccc 奇 ， 2462n Scccc 偶 ，则数列 n c的前2n项和 2n SSS 奇偶， 2 121 13521 ()(121) 2()222 22 n n aannn Saaaan 奇 9 分 242 2(14 )4 2()2(41) 1 43 n n n Sbbb 偶 11 分 2 2 4 (41)2 3 n n Sn12 分 18.(本小题满分 12 分) 第 24 届冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 22 日在北京市和河北省张家口市联合举行，这是中国历史上
17、 第一次举办冬季奥运会.为了宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某校高三年级举办了冬奥会 知识竞赛（总分 100 分） ，并随机抽取了n名中学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知前三 C B D A 45 b 55 0.045 65 0.020 75 a 85 95 频率 组距 分数/分 组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同. ()求实数,a b的值，并估计这n名中学生的成绩平均值x； (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ()已知抽取的n名中学生中，男女生人数相等，男生喜欢 花样滑冰的人数占男生人数的 1 4 ，女生喜欢花样滑冰项的人 数占女生人数的 1 2 ,
18、且有95%的把握认为中学生喜欢花样滑冰 与性别有关，求n的最小值. 参考数据及公式如下: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd. 解:()由题意可知: 0.0452 20.035 ab ab 2 分 解得 0.005 0.025 a b 3 分 各组频率依次为0.05,0.25,0.45,0.2,0.05， =0.05 50 0.25 60 0.45 70 0.2 80 0.05 9069.5x(分)6 分 ()设男生人数为x，依题意可得列联表如下: 喜欢花样滑冰 不喜欢花样滑冰 合计 男生 1 4 x 3 4 x x 女生 1 2 x 1 2
19、 x x 合计 3 4 x 5 4 x 2x 8 分 2 2 1131 2 () 2 4242 3.841 35 15 44 xxxxx Kx x xxx ，29x10 分 又4xk， + Nk ，且各组的频数为正整数，故 min 40x， min 80n12 分 19.(本小题满分 12 分) 已知正ABC边长为 3，点,M N分别是,AB AC边上的点，1ANBM，如图 1 所示.将AMN 沿MN折起到PMN的位置，使线段PC长为5， 连接PB，如图 2 所示. ()求证:平面PMN 平面BCNM； ()求点N到平面BMP的距离. 解:()依题意得， 在AMN中，2AM ， 2 0 ()P
20、 Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 B P M 图 2 C N 图 1 A B N M C 1AN ， 3 A ，由余弦定理得 222 2122 1 cos3 3 MN ，即3MN 1 分 222 MNANAM，ANMN，即PNMN2 分 在图 2PNC中，1PN ，2NC ，5PC ， 222 PCPNNC，PNNC3 分 又MNNCN，,MN NC 平面BCNM，PN平面BCNM4 分 又PN 平面PMN，平面PMN 平面BCNM5 分 ()连接BN，由()可知PNBN， 在BNC中， 222 2cos7 3 BNBCNCBC NC，7
21、BN， 在PBN中， 222 8PBPNNB，2 2PB6 分 在PBM中， 222 3 cos 24 MBMPPB PMB MB MP ， 7 sin 4 PMB， 17 sin 24 PBM SMB MPPMB 8 分 又 1113 sin 33234 BMNBAN SSABAN ，设点N到平面BMP的距离为d， 由 N BMPP BMN VV ，可知 11 33 BMPBMN SdSPN 10 分 则 21 7 BMN BMP SPN d S .点N到平面BMP的距离为 21 7 12 分 20.(本小题满分 12 分) 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1 x
22、y E ab (0ab) 的离心率为 6 3 ，A为椭圆E上位于第一象限上的点，B为椭圆E的上 顶点，直线AB与x轴相交于点C，ACAO，BOC的面积为6. ()求椭圆E的标准方程； ()若直线l与椭圆E有且只有一个公共点， 设椭圆E的两焦点到直线l的距离分别是 12 ,d d， 试问： 12 d d 是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由. 解:() 6 3 c e a ， 6 2 ac， 22 2 2 bacc1 分 由ACAO，可知A为BC的中点， 31 (,) 22 Aab2 分 1 36 2 BOC Sab ，即4 3ab 3 分 62 4 3 22 cc，即2 2c，2 3a
23、 ，2b4 分 B P M C N y B x C O A 椭圆E的标准方程为 22 1 124 xy 5 分 ()当直线l的斜率不存在时，:2 3l x 或:2 3l x ， 12 (2 32 2)(2 32 2)4dd 6 分 当直线l的斜率存在时，设: l ykxm， 联立方程组 22 1 124 xy ykxm ，消去y整理得 222 (1 3)63120kxkmxm7 分 直线l与椭圆E有且只有一个公共点， 2232 364 (1 3) (312)0k mkm ， 即 22 124mk9 分 222 12 22 22 2 22 2 844 4 11 11 mkmk mkk dd kk
24、 kk 11 分 故 12 dd为定值412 分 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 2 ( )exf xax(0,Rxa). ()若( )f x在定义域内单调递增，求a的取值范围； ()若( )f x存在极大值点 0 x，证明: 0 ()f xa. 解:法一:()( )f x在定义域内单调递增, ( )e20 x fxax在(0,)恒成立，即 e 2 x a x 在(0,)恒成立1 分 令 e ( ) 2 x g x x ，(0,)x， 则 2 e (1) ( ) 2 x x g x x ， 当 (0,1)x时，( )0g x； 当(1,)x时，( )0g x； ( )g x在(0,1
25、)上单调递减，(1,)上单调递增3 分 min e ( )(1) 2 g xg4 分 min e ( ) 2 ag x，a的取值范围是 e (, 2 5 分 法二:()( )f x在定义域内单调递增,( )e20 x fxax在(0,)恒成立， 1.当0a 时，( )0fx恒成立，( )f x在(0,)单调递增1 分 2.当0a 时，令( )e2 x h xax，(0,)x，则( )e21 2 x h xaa ， 当1 20a时，即 1 0 2 a时，有( )0h x恒成立，( )h x在(0,)上单调递增， ( )(0)10h xh ，即( )0fx，( )f x在(0,)单调递增3 分 当
26、1 20a时，即 1 2 a 时，令( )0h x，有ln2xa， 当(0,ln 2 )xa时，( )0h x；当(ln2 ,)xa时，( )0h x； ( )h x在(0,ln 2 )a上单调递减，(ln2 ,)a 上单调递增, min ( )(ln2 )22 ln2h xhaaaa， 当22 ln20aaa，即 1e 22 a时，( )0h x ，即( )0fx，( )f x在(0,)单调递增4 分 综上所述，实数a的取值范围是 e (, 2 5 分 ()( )f x存在极大值点，( )e2 x fxax至少存在一个零点，由()知， e 2 a 6 分 法一:即函数 e ( ) 2 x g
27、 x x 的图像与直线ya至少存在一个交点， 由()法一知，( )g x在(0,1)上单调递减，(1,)上单调递增， e (1) 2 ga， 取 1 1 (0,1) 2 x a ， 1 2 1 ( )e a g xaa，( )g x在(0,1)上存在一个零点 1 t7 分 由()知，当1a 时，( )f x在(0,)上单调递增，( )(0)1f xf，即 2 e1 x x， 2 exx， 取 2 2(1,)xa， 2 2 22 2 22 e () 222 x xx g xa xx , ( )g x在(1,)上存在一个零点 2 t8 分 即( )f x在 1 (0, )t上单调递增，在 12 (
28、 , )t t上单调递减，在 2 ( ,)t 上单调递增9 分 01 (0,1)xt，且 1 1 e 2 t a t ，即 0 0 e2 x ax10 分 0 222 00 000000 2 ()e2(2)() 2 x xx f xaxaxaxaxxaa ，即 0 ()f xa12 分 法二：由()法二知，( )h x在(0,ln(2 )a上单调递减，在(ln(2 ),)a 上单调递增， (ln(2 )22 ln(2 )2 (1ln(2 )0haaaaaa， (0)10h ，(1)e 20ha ，1(0,ln(2 )a，( )h x在(0,ln(2 )a上存在一个零点 1 t7 分 由()知，
29、当1a 时，( )f x在(0,)上单调递增，( )(0)1f xf，即 2 e1 x x， 2 exx， 22 e(2 ) a a，22ln(2 )ln(2 )aaa， 取 2 2(ln(2 ),)xaa， 2222 (2 )e4(2 )40 a haaaa， ( )h x在(ln(2 ),)a 上存在一个零点 2 t8 分 即( )f x在 1 (0, )t上单调递增，在 12 ( , )t t上单调递减，在 2 ( ,)t 上单调递增9 分 01 (0,1)xt，且 1 1 e2 t at，即 0 0 e2 x ax10 分 0 222 00 000000 2 ()e2(2)() 2 x
30、 xx f xaxaxaxaxxaa ，即 0 ()f xa12 分 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 11 () 2 1 xt t yt t (t为参数)，以原点O为极点，x轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系. ()写出曲线C的普通方程和极坐标方程； (),M N为曲线C上两点，若OMON，求MN的最小值. 解:()由 11 () 2 1 xt t yt t ，得 22 2 22 2 1 (2 )2 1 2 xt t yt t 1 分 两式相减得
31、22 44xy，即曲线C的普通方程为 2 2 1 4 y x 3 分 由cosx，siny，得 222 4cossin4， 2 22 4 4cossin 故曲线C的极坐标方程为 2 2 4 5cos1 5 分 ()设,M N所对应的极径分别为 12 ,，则 2 1 2 4 5cos1 ， 2 2 2 4 5sin1 6 分 22 12 2222 4412 5cos15sin1(5cos1)(5sin1) 7 分 依题意得 2 2 5cos10 5sin10 ，即 2 14 cos 55 ， 2222 (5cos1)(5sin1)2 (5cos1)(5sin1)，即 22 32 (5cos1)(
32、5sin1)， 22 9 0(5cos1)(5sin1) 4 ，当且仅当 22 5cos15sin1 ，即 2 tan1时，取等号 9 分 22 12 16 3 ，即 22 12 min 4 3 3 MN10 分 23.(本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 定义区间 12 ( ,)x x( 21 xx)的长度为 21 xx，已知不等式| |1| 1xmxx (Rm)的解集区间长度 为 1. ()求m的值； ()若,Ra b，0ab ，abm，求 22 ba ab 的最小值及此时, a b的值. 解:()由| |1| 1xmxx ，得1 | |1| 0xxmx ，10x 1 分 当10
33、x 时，即1x时，| 1xm2 分 1 11 x mxm 3 分 又原不等式的解集区间长度为 1. 原不等式的解集为(1,1)m，其中02m4 分 1 1 1m ，即1m5 分 ()由()可知1a b ，又0ab，,0a b6 分 法一: 223322222 ()()()31 3 baabab aabbaabbabab abababababab 7 分 12a bab ， 1 4 ab 8 分 22 1 ba ab ，即 22 min ()1 ba ab 9 分 当且仅当 1 ab ab ，即 1 2 ab时取等号10 分 法二 : 22 22 bb aab aa ， 22 22 aa bba bb 7 分 22 ()()22 ba abba ab 8 分 22 1 ba ab ab ，即 22 min ()1 ba ab 9 分 当且仅当 1 ab ab ，即 1 2 ab时取等号10 分 命题人：刘凯 审稿人：龙中华、王锋、孙善惠、易华、李高飞、江民杰、陈劲、林健航
