1、难点 25 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参 数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代 数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确 地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结 果的完整. 难点磁场 ()若椭圆 2 2 2 2 b y a x =1(ab0)与直线 l：x+y=1 在第一象限内有两个不同的交 点，求 a、b 所满足的条件，并画出点 P(a,b)的存在区域. 案例探究 例 1已知圆 k 过定点 A(a,0)(
2、a0),圆心 k 在抛物线 C：y2=2ax 上运动，MN 为圆 k 在 y 轴上截得的弦. (1)试问 MN 的长是否随圆心 k 的运动而变化？ (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线 C 的准线与圆 k 有怎样的位置关系？ 命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属 级题目. 知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识. 错解分析：在判断 d 与 R 的关系时，x0的范围是学生容易忽略的. 技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断 d=x0+ 2 a 与 R=ax 2 0 的大小. 解：(1)设圆心 k(
3、x0,y0),且 y02=2ax0, 圆 k 的半径 R=|AK|= 22 0 2 0 2 0 )(axyax |MN|=2 2 0 22 0 2 0 2 2xaxxR=2a(定值) 弦 MN 的长不随圆心 k 的运动而变化. (2)设 M(0,y1)、N(0,y2)在圆 k：(xx0)2+(yy0)2=x02+a2中， 令 x=0，得 y22y0y+y02a2=0 y1y2=y02a2 |OA|是|OM|与|ON|的等差中项. |OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1y2|=2a |y1|+|y2|=|y1y2| y1y20，因此 y02a20,即 2a
4、x0a20. 0x0 2 a . 圆心 k 到抛物线准线距离 d=x0+ 2 a a,而圆 k 半径 R= 22 0 axa. 且上两式不能同时取等号，故圆 k 必与准线相交. 例 2如图，已知椭圆 1 22 m y m x =1(2m5),过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆 及其准线的交点从左到右的顺序为 A、B、C、D，设 f(m)=|AB|CD| (1)求 f(m)的解析式； (2)求 f(m)的最值. 命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆 锥曲线与代数间的科间综合.属级题目. 知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函
5、数的最值. 错解分析：在第(1)问中，要注意验证当 2m5 时，直线与椭圆恒有交点. 技巧与方法：第(1)问中，若注意到 xA,xD为一对相反数，则可迅速将|AB|CD|化简.第 (2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法. 解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为 a、b、c，则 a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1 椭圆的焦点为 F1(1,0),F2(1,0). 故直线的方程为 y=x+1,又椭圆的准线方程为 x= c a 2 ,即 x=m. A(m,m+1),D(m,m+1) 考虑方程组 1 1 1 22 m y m x xy ,消去 y 得：(m1)x2+m(x+1)2=m(
6、m1) 整理得：(2m1)x2+2mx+2mm2=0 =4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)2 2m5,0 恒成立，xB+xC= 12 2 m m . 又A、B、C、D 都在直线 y=x+1 上 |AB|=|xBxA|=2=(xBxA)2,|CD|=2(xDxC) |AB|CD|=2|xBxA+xDxC|=2|(xB+xC)(xA+xD)| 又xA=m,xD=m,xA+xD=0 |AB|CD|=|xB+xC|2=| m m 21 2 |2= m m 2 22 (2m5) 故 f(m)= m m 2 22 ，m2,5. (2)由 f(m)= m m 2 22 ，可知 f(m)= m 1
7、2 22 又 2 2 1 2 m 1 2 5 1 f(m) 3 24 , 9 210 故 f(m)的最大值为 3 24 ，此时 m=2;f(m)的最小值为 9 210 ，此时 m=5. 例 3舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处，舰 C 在舰 B 的北偏西 30且与 B 相距 4 千米， 它们准备捕海洋动物，某时刻 A 发现动物信号，4 秒后 B、C 同时发现这种信号，A 发射麻 醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为 1 千米/秒，炮弹的速度是 3 320g 千米/秒，其中 g 为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角 应是多少？ 命题意图：考查圆锥曲
8、线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力， 属级题目. 知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲 线方程. 错解分析：答好本题，除要准确地把握好点 P 的位置(既在线段 BC 的垂直平分线上， 又在以 A、B 为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚. 技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对 空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解：取 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意 可知，A、B、C 舰的坐标为(3，0)、(3，0)、(5，23)
9、. 由于 B、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为 P，则|PB|=|PC|.于是 P 在线段 BC 的 中垂线上，易求得其方程为3x3y+73=0. 又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒，知|PB|PA|=4，故知 P 在双曲线 54 22 yx =1 的右支上. 直线与双曲线的交点为(8，53)，此即为动物 P 的位置，利用两点间距离公式，可得 |PA|=10. 据已知两点的斜率公式，得 kPA=3,所以直线 PA 的倾斜角为 60,于是舰 A 发射炮弹 的方位角应是北偏东 30. 设发射炮弹的仰角是，初速度 v0= 3 320g ，则 cos 10sin2 0 0 vg v
10、 , sin2= 2 310 2 0 v g ,仰角=30. 锦囊妙计 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何 性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高 能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题， 需构造参数满足的不等式， 通过求不等式(组) 求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特 征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则 可先建立目标函数，再求这个函数的最值
11、. 歼灭难点训练 一、选择题 1.()已知 A、B、C 三点在曲线 y=x上，其横坐标依次为 1，m,4(1m4)， 当ABC 的面积最大时，m 等于( ) A.3 B. 4 9 C. 2 5 D. 2 3 2.()设 u,vR，且|u|2,v0,则(uv)2+( v u 9 2 2 )2的最小值为( ) A.4 B.2 C.8 D.22 二、填空题 3.()A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点 P，使 OPA= 2 ,则椭圆离心率的范围是_. 4.()一辆卡车高 3 米，宽 1.6 米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线 的通径长，若拱口宽为 a 米，则能使卡车通
12、过的 a 的最小整数值是_. 5.()已知抛物线 y=x21 上一定点 B(1，0)和两个动点 P、Q，当 P 在抛物 线上运动时，BPPQ，则 Q 点的横坐标的取值范围是_. 三、解答题 6.()已知直线 y=kx1 与双曲线 x2y2=1 的左支交于 A、B 两点，若另一条 直线 l 经过点 P(2，0)及线段 AB 的中点 Q，求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围. 7.()已知抛物线 C：y2=4x. (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 l 分别重合，试求椭圆短轴 端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程； (2)若 M(m,0)是 x 轴上
13、的一定点，Q 是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若 有，求出其值；若没有，说明理由. 8.()如图，为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆 圆心，且 ODAB，Q 为线段 OD 的中点，已知|AB|=4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. (1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； (2)过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N，且 M 在 D、N 之间，设 DN DM = ，求的取值范围. 学法指导怎样学好圆锥曲线 圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质 及直线与
14、圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到： 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题 目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹， 此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌 握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及 到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利 用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定
15、理联系去解决.这样加强了对数学各种能 力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线， 因此把直线与圆锥曲线相交 的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而 使一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标 法的训练. 参考答案 难点磁场 解：由方
16、程组 1 1 2 2 2 2 b y a x yx 消去 y,整理得(a2+b2)x22a2x+a2(1b2)=0 则椭圆与直线 l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程在区间(0，1）内 有两相异实根，令 f(x)=(a2+b2)x22a2x+a2(1b2),则有 0 10 10 1 0 10 0)1 () 1 ( 0)1 ()0( 0)1)(44 22 22 2 2222 22 22222 ba a b ba ba ba a baabf baf bbaaa 同时满足上述四个条件的点 P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分： 歼灭难点训练 一、1.解析：由题意知 A(1，1)，B
17、(m,m),C(4,2). 直线 AC 所在方程为 x3y+2=0, 点 B 到该直线的距离为 d= 10 |23|mm . | 4 1 ) 2 3 ( | 2 1 |23| 2 1 10 |23| 10 2 1 | 2 1 2 mmm mm dABS ABC m(1,4),当 2 3 m时，SABC有最大值，此时 m= 4 9 . 答案：B 2.解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆 x2+y2=2 上的点与双曲线 xy=9 上的点的距离 的最小值. 答案：C 二、3.解析：设椭圆方程为 2 2 2 2 b y a x =1(ab0),以 OA 为直径的圆：x2ax+y2=0,两式 联立消 y
18、 得 2 22 a ba x2ax+b2=0.即 e2x2ax+b2=0,该方程有一解 x2,一解为 a,由韦达定理 x2= 2 e a a,0x2a，即 0 2 e a aa 2 2 e1. 答案： 2 2 e1 4.解析： 由题意可设抛物线方程为 x2=ay,当 x= 2 a 时， y= 4 a ； 当 x=0.8 时， y= a 64. 0 . 由题意知 a a64. 0 4 3,即 a212a2.560.解得 a 的最小整数为 13. 答案：13 5.解析：设 P(t,t21)，Q(s,s21) BPPQ, ts ts t t ) 1() 1( 1 1 222 =1, 即 t2+(s1
19、)ts+1=0 tR,必须有=(s1)2+4(s1)0.即 s2+2s30, 解得 s3 或 s1. 答案：(,31,+) 三、6.解：设 A(x1,y1）,B(x2,y2). 由 1 1 22 yx kxy ,得(1k2）x2+2kx2=0, 又直线 AB 与双曲线左支交于 A、B 两点， 故有 0 1 2 0 1 2 0)1 (8)2( 01 2 21 2 21 22 2 k xx k k xx kk k 解得2k1 . 222),22 , 1(22 ) 1,2(, 22 2 , 0 ).2( 22 1 22 1 2 1 1 1 2 0 1 1 1, 12 ),( 2 2 2 2 2 2
20、0 0 2 00 2 21 000 bbkk k kk bx x kk yl kk k k k x y l k kxy k kxx xyxQ 或即 又则令 的方程为 的斜率为 则设 7.解：由抛物线 y2=4x,得焦点 F(1,0),准线 l：x=1. (1)设 P(x,y)，则 B(2x1,2y),椭圆中心 O,则|FO|BF|=e,又设点 B 到 l 的距离为 d, 则|BF|d=e,|FO|BF|=|BF|d,即(2x2)2+(2y)2=2x(2x2),化简得 P 点轨迹方程为 y2=x 1(x1). (2)设 Q(x,y),则|MQ|= 22 )(ymx) 1( 4 5 ) 2 1 (
21、1)( 22 xmmxxmx ()当 m 2 1 1,即 m 2 3 时，函数 t=x(m 2 1 )2+m 4 5 在(1，+)上递增，故 t 无 最小值，亦即|MQ|无最小值. ()当 m 2 1 1,即 m 2 3 时，函数 t=x2(m 2 1 )2+m 4 5 在 x=m 2 1 处有最小值 m 4 5 ,|MQ|min= 4 5 m. 8.解：(1)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，O |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=25212 22 |AB|=4. 曲线 C 为以原点为中心，A、B 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=25
22、,a=5,c=2,b=1. 曲线 C 的方程为 5 2 x +y2=1. (2)设直线 l 的方程为 y=kx+2, 代入 5 2 x +y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0. =(20k)2415(1+5k2)0,得 k2 5 3 .由图可知 2 1 x x DN DM = 由韦达定理得 2 21 2 21 51 15 51 20 k xx k k xx 将 x1=x2代入得 2 2 2 22 2 2 2 2 51 15 )51 ( 400 )1 ( k x k k x 两式相除得 ) 1 5(3 80 )51 (15 400)1 ( 2 2 22 k k k 3 16 )5 1 ( 3 80 4, 3 20 5 1 5, 3 51 0, 5 3 2 22 2 k kk k即 3 3 1 , 0, 3 16)1 ( 4 2 解得 DN DM , 2 1 DN DM x x M 在 D、N 中间，1 又当 k 不存在时，显然= 3 1 DN DM (此时直线 l 与 y 轴重合).
