惠州市2020届高三第三次调研考试文科数学试题含答案.docx

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1、 数学试题(文科) 第 1 页,共 17 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第届高三第三三次调研考试次调研考试 文科数学文科数学 2020.1 全卷满分 150 分,时间 120 分钟 注意事项:注意事项: 1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答 题卡上。 2 作答选择题时, 选出每个小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效。 3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上,写在本 试卷上无效。 一一、选择题:本题共选择题:本题共 12 小

2、题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1若= 0,1,2,32 ,ABy yx xA,则AB ( ) A0,2,4,6 B0,2 C0,1,2,3,4,6 D0,1230 2 46, , , , 2设i为虚数单位,复数 2 13 22 zi ,则z在复平面内对应的点在第( )象限 A一 B二 C三 D四 3已知数列 n a是等比数列,函数 2 =53yxx的两个零点是 15 aa、,则 3 a ( ) A1 B1 C3 D3 4“ 110ba”是“log0 ab ”成立的( )条件

3、 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 5已知圆 C: 22 40xyxa上存在两点关于直线: =2l y kx对称,k=( ) A1 B1 C0 D 1 2 6在ABC中, 1 = 3 ADDC,P是直线BD上的一点,若 1 2 APmABAC, 则m=( ) A. 4 B. 1 C1 D4 数学试题(文科) 第 2 页,共 17 页 7惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐,该教师统计自己 1 至 8 月的月平均通 话时间,其中有 6 个月的月平均通话时间分别为 520、530、550、610、650、660(单位:分 钟),有 2 个月的数据未统计出来。根据以上

4、数据,该教师这 8 个月的月平均通话时间的中位 数大小不可能是( ) A580 B600 C620 D640 8已知函数( ) x x a f xe e 为偶函数,若曲线( )yf x的一条切线与直线230xy垂直,则 切点的横坐标为( ) A2 B2 C2ln2 Dln2 9函数 1 cossinf xxx在, 的图象大致为( ) 10已知P为椭圆 22 1 10091 xy 上的一个动点,M、N分别为圆C: 2 2 31xy与 圆D: 2 22 3(05)xyrr上的两个动点,若PMPN的最小值为 17, 则r=( ) A4 B3 C2 D1 x y y x - - - x y - x y

5、 A B C D 数学试题(文科) 第 3 页,共 17 页 11已知函数( )sin cos(0,0) 62 a f xxx a ,对任意xR, 都有( )3f x ,若 ( )f x在0, 上的值域为 3 , 3 2 ,则的取值范围是( ) A 1 1 , 6 3 B 1 2 , 3 3 C 1 , 6 D 1 ,1 2 12已知函数 32 1 ( )1(1) 3 f xxaxaxa在 1212 , ()t t tt处的导数相等, 则不等式 12 ( + )0f ttm恒成立时,实数m的取值范围是( ) A1, B1 , C1, D 4 3 , 二填空题:本题共二填空题:本题共4小题,每小

6、题小题,每小题5分分,共,共20分,其中第分,其中第16题第一空题第一空3分,第二空分,第二空2分。分。 13执行如图所示的程序框图,则输出的 n 值是_. 14已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 若2abc,35cb,则=A_ 15如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆 柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等, 相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现。 我们来重温这个伟大发现,圆柱的表面积与球的表面积 之比为_ 16设M为不等式组 40 40 0 xy xy y 所表示的平面区域, N为不等式组 04 txt yt 所表示的平面区域,

7、其中0,4t, 在M内随机取一点A,记点A在N内的概率为P (1)若1t ,则P _; (2)P的最大值是_ 0n 开始 结束 2nn n输出 220? n 是 否 数学试题(文科) 第 4 页,共 17 页 三三、解答题:共解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共(一)必考题:共60分。分。 17(本小题满分 12 分) 等差数列 n a的前

8、n项和为 n S,已知 1 7a ,公差d为大于 0 的整数, 当且仅当n=4 时, n S取得最小值。 (1)求公差d及数列 n a的通项公式; (2)求数列 n a的前 20 项和. 18(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥SABCD中,ABS是正三角形,四边形ABCD是菱形, 点E是BS的中点 (1)求证:SD平面ACE; (2)若平面ABS 平面ABCD,4AB , 120ABC,求三棱锥EASD的体积 19.(本小题满分 12 分) 惠州市某商店销售某海鲜,经理统计了春节前后 50 天该海鲜的日需求量x(1020x,单 位:公斤),其频率分布直方图如下图所示。该海鲜每天进货 1 次

9、,每销售 1 公斤可获利 40 元; 若供大于求,剩余的海鲜削价处理,削价处理的海鲜每公斤亏损 10 元;若供不应求,可从其它 商店调拨,调拨的海鲜销售 1 公斤可获利 30 元。假设商店该海鲜每天的进货量为 14 公斤,商店 销售该海鲜的日利润为y元。 (1)求商店日利润y关于日需求量x的函数表达式。 数学试题(文科) 第 5 页,共 17 页 (2)根据频率分布直方图, 估计这 50 天此商店该海鲜日需求 量的平均数。 假设用事件发生的频率估计概率, 请估计日利润不少于 620 元的概率。 20(本小题满分 12 分) 己知函数 lnf xxax aR,函数( )f x的导函数为 fx .

10、 (1)当1a 时,求 fx 的零点; (2)若函数 f x存在极小值点,求a的取值范围。 21(本小题满分 12 分) 设抛物线C: 2 2(0)ypx p与直线:0 2 p l xmy交于A、B两点。 (1)当AB取得最小值为16 3 时,求p的值。 (2)在(1)的条件下,过点(3,4)P作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N (M、N不同于点P)两点,且MPN的平分线与x轴平行, 求证:直线MN的斜率为定值。 频率/组距 0.15 0.10 0.12 0.08 0.05 日需求量 10 18 14 12 20 16 数学试题(文科) 第 6 页,共 17 页 (二)选考题:共(二)

11、选考题:共10分。分。请考生在第请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分。答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。分。答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。 22(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲 线M的极坐标方程为2cos,若极坐标系内异于O的三点 1, A , 2, 6 B , 3123 ,0 6 ,C 都在曲线M上 (1)求证: 123 3; (2)若过B,C两点的直线参数方程为 3 2 2 1 2

12、xt yt (t为参数), 求四边形OBAC的面积 23(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 24f xxx (1)求不等式 3f xx的解集; (2)若 1f xk x对任意Rx恒成立,求k的取值范围 数学试题(文科) 第 7 页,共 17 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 文科数学参考答案与评分细则文科数学参考答案与评分细则 一、选择题:一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B A B D D C C A A 1.【解析】B=0,2,4,6. AB=0,1,2,3,4,6

13、U.故答案选 C 2.【解析】 2 2 13113313 i2i+ii 22422222 z (),故答案选 B 3.【解析】由韦达定理可知 15 5aa, 15 3a a,则 1 0a , 5 0a ,从而 3 0a , 且 2 3153 33aa aa ,故答案选 D 4.【解析】 11 110 11 aa ba bb 或, 101 log0 101 a aa b bb 或, 所以答案选 B 5.【解析】若圆上存在两点关于直线对称,则直线经过圆心,Cl-2,0,220k , 得1k ,所以答案选 A 6.【解析】 11 42 22 APmABACmABADmABAD,又BPD、 、三点共线

14、, 所以21m,得1m,故选 B 7.【解析】当另外两个月的通话时长都小于 530 (分钟)时,中位数为 530550 540 2 (分钟), 当另外两个月的通话时长都大于 650(分钟)时,中位数为 610650 630 2 (分钟),所以 8 个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为540,630 ,故选 D 8.【解析】 f x为偶函数,则1a ,( ) xx f xee+,( ). xx fxee设切点得横坐标为 0 x,则 00 0 3 (). 2 xx fxee解得 0 2 x e,所以 0 ln2x 。故答案选 D 数学试题(文科) 第 8 页,共 17 页 9. 【解析】 f

15、x为奇函数, 则排除 B; 当0 ,( ) 0xf x, 排除 A;( )coscos2fxxx, ( )0fx 解得 5 6 x或0x,对比图象可知,答案选 C 10.【解析】C(-3,0),D(3,0)恰好为椭圆的两个焦点,因为,1PMrPD PNPC 120 117PMPNPCPDrr ,2r ,所以答案选 C 11.【解析 1】( )sincos 62 a f xxx = 31 sincos 22 a xx 2 2 max 3(1) ( )3() 22 a f x ,2a ,( )3sin() 3 f xx 0,0x , 333 x , 3 ( )3 2 f x, 2 233 , 11

16、 63 所以答案选 A 【解析 2】本题也可通过分析临界值求出答案。由 3 (0) 2 f可知 3 ( ) 2 f或( )3f为两个 临界值,由此可解得 1 = 6 ,及 1 = 3 ,结合图象可知 11 63 ,所以答案选 A 12.【解析】由题得 2 ( )2(1)fxxaxa a,由已知得 12 + =2tta, 12 ( + )0f ttm恒成 立,(2 )(1)mfa a恒成立。令 32 4 ( )(2 )21(1) 3 g afaaaa , 则 2 ( )444 (1)g aaaa a ,当(,0),( )0ag a ,当(0,1),( )0;ag a ( )(,0)g a在上单调

17、递减,在(0,1)上单调递增。 min ( )(0)1,1,1.g agmm 故选答案 A 二、填空题:二、填空题:本题共本题共4小题,每小题小题,每小题5分分,共,共20分分,其中第,其中第16题第一空题第一空3分,第二空分,第二空2分。分。 136 14 2 3 (或(或 120 ) 15. 3:2(或(或 3 2 ,或,或 1.5) 16 3 8 (3 分)分), 1 2 (2 分)分) 13.【解析】 2 2,220;n 4 4,220;n 6 6,220.n 故答案为 6 数学试题(文科) 第 9 页,共 17 页 14. 【解析】 因为 75 , 33 ab cb, 222 222

18、 57 ()() 1 33 cos 5 22 2 () 3 bbb bca A bc bb , 2 3 A 15.【解析】设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R, 圆柱的表面积 22 1 2226SRRRR;球的表面积 2 2 4SR 圆柱的表面积与球的表面积之比为 2 1 2 2 63 42 SR SR ,本题正确结果: 3 2 16.【解析】由题意可得,平面区域M的面积为 1 8 416 2 , 当1t 时,平面区域N的面积为2 36 ,所以P 63 168 ; 如图,当2 4tt取得最大值时,即2t 时,P最大, 当2t 时,平面区域N的面积为2 48 ,所以最大值 81 162

19、 P ;故答案为 3 8 , 1 2 。 三解答题:三解答题:共共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每题为必考题,每 个考生都必须作答。第个考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。题为选考题,考生根据要求作答。 17(本小题满分 12 分) 【解析】(1)设 n a的公差为d,则由题可知: 4 5 0 0 a a .1 分 1 1 30 40 ad ad ,即 730 740 d d 2 分 解得 77 43 d.3 分 因为d为整数,d=24 分 1 (1)72(1)29 n aa

20、ndnn 所以数列 n a的通项公式为29 n an5 分 (2)当4n时,0 n a ;当5n时,0 n a .6 分 12345201234520 .()()aaaaaaaaaaaa7 分 数学试题(文科) 第 10 页,共 17 页 52014 () 16() 4 22 aaaa 9 分 ( 7 1)4(1 31) 16 22 10 分 =272 11 分 所以数列 n a的前 20 项和为 272.12 分 18(本小题满分 12 分) 【解析】(1)连接BD,设ACBDO,连接OE,则点O是BD的中点 又因为E是BS的中点,所以SDOE,1 分 又因为SD 平面ACE,OE 平面AC

21、E,3 分【注:每个条件 1 分】 所以SD平面ACE4 分 (2)因为四边形ABCD是菱形,且120ABC, 所以 1 60 2 ABDABC又因为ABAD, 所以三角形ABD是正三角形5 分 取AB的中点F,连接SF,则DFAB,且 2 3DF 6 分 又平面ABS平面ABCD,DF 平面ABCD,平面ABS平面ABCDAB,7 分 所以DF 平面ABS即DF是四棱锥DAES的一条高8 分 【解法 1】而 1 sin2 3 2 ASE SSA SEASE 9 分 所以 EADSD AES VV 10 分 11 2 32 34 33 ASE SDF 11 分 综上,三棱锥EASD的体积为 4

22、. 12 分 【解法 2】因为E是BS的中点,所以 1 2 EADSB ADS VV 10 分 而 B ADSD ABS VV 1142 3 2 38 332 ABS SDF 11 分 数学试题(文科) 第 11 页,共 17 页 所以,三棱锥EASD的体积为 4. 12 分 19(本小题满分 12 分) 【解析】(1)当1014x时1 分 401014=50140yxxx2 分 当1420x时3 分 40 143014 =30140yxx4 分 所求函数表达式为: 30140 1420 50140 1014 xx y xx 5 分 【注:【注:函数解析式分段正确的前提下,函数解析式分段正确的

23、前提下,定义域错误定义域错误最多最多扣扣 2 分】分】 (2)由频率分布直方图得: 海鲜需求量在区间10,12的频率是 1 20.050.1f ; 海鲜需求量在区间12,14的频率是 2 20.10.2f ;6 分 海鲜需求量在区间14,16的频率是 3 20.150.30f ; 海鲜需求量在区间16,18的频率是 4 20.120.24f ; 海鲜需求量在区间18,20的频率是 5 20.080.16f ;7 分 【注:写对任意【注:写对任意 2 个得个得 1 分,全部写对得分,全部写对得 2 分】分】 这 50 天商店销售该海鲜日需求量的平均数为: 1122334455 xxfxfxfxf

24、xf8 分 11 0.1 13 0.215 0.30170.24190.169 分 15.32(公斤)10 分 当14x 时,560y , 由此可令30140620x,得16x 11 分 所以估计日利润不少于 620 元的概率为0.120.0820.4.12 分 20(本小题满分 12 分) 数学试题(文科) 第 12 页,共 17 页 【解析】(1) f x的定义域为0,, 当1a 时, 1 ln1fxx x .1 分 由 2 11 0fx xx 恒成立,知 fx在0,上是单调递增函数,2 分 又 1ln1 1 10 f ,所以 fx的零点是1x .3 分 (2) ln1ln xaa fxx

25、x xx , 令 1ln a g xx x ,则 22 1axa gx xxx 4 分 当0a时, 1 lnfxx, 令 0fx ,得 1 x e ;令 0fx,得 1 0x e , 所以 f x在 1 0, e 上单调递减,在 1 , e 上单调递增, 所以当0a时, f x存在极小值点 1 e ,符合题意.5 分 当0a时, 0g x恒成立,所以 g x在0,上单调递增 又 1 0gae e , 1 1110 a aa a g eaa ee , 由零点存在定理知, g x在 1 , a e e 上恰有一个零点 0 x,.6 分 且当 0 0,xx时, 0fxg x;当 0, xx时, 0f

26、xg x, 所以 f x在 0 0,x上单调递减,在 0, x 上单调递增, 所以当0a时, f x在 1 , a e e 存在极小值点 0 x,符合题意.7 分 数学试题(文科) 第 13 页,共 17 页 当0a时,令 0g x,得xa. 当0,xa时, 0g x ;当,xa 时, 0g x , 所以 min 2 lng xgaa.8 分 若2 ln0gaa, 即当 2 ae 时, 0fxg xga恒成立, 即当 2 ae 时, f x在0,上单调递增,无极值点.9 分 若2 ln0gaa, 即当 2 0ea 时, 11ln 10 1 a gaa a , 所以10gaga,即 g x在,

27、a上恰有一个零点 1 x,10 分 当 1 ,xa x 时, 0fxg x;当 1 xx时, 0fxg x 所以当 2 0ea 时, f x存在极小值点 1 x.11 分 综上可知,a 2, e 时,函数 f x存在极小值点.12 分 21(本小题满分 12 分) 【解析】(1)由题意知:直线:0 2 p l xmy过定点(,0) 2 p ,该点为抛物线焦点。1 分 联立 2 2 2 p xmy ypx ,消去x得: 22 20ypmyp2 分 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy, 有 12 2yypm, 2 12 yyp 3 分 2 121212 ()22 (1) 22 pp

28、 ABxxxxpm yypp m4 分 数学试题(文科) 第 14 页,共 17 页 【注:只要学生写出 12 =ABxxp即可给 1 分】 2 0,0pm,当0m时, min 2ABp5 分 16 2 3 p,解得 8 3 p 6 分 【注:如果解答过程没有证明当0m时 min 2ABp,最多可得 3 分】 (2)证明:由已知可知直线PM、PN的斜率存在,且互为相反数7 分 设 3344 (,),(,)M x yN xy,直线PM的方程为(3)4yk x. 联立 2 16 3 (3)4 yx yk x ,消去x整理得: 2 31664480kyyk.8 分 又 4 为方程的一个根,所以 3

29、6448 4 3 k y k ,得 3 16 1216 4 33 k y kk 9 分 同理可得 4 16 4 3 y k 10 分 3434 22 3434 34 1611612 3 33( 8)3 () 16 MN yyyy k xxyy yy 11 分 所以直线MN的斜率为定值 2 3 .12 分 22.(本小题满分 10 分) 数学试题(文科) 第 15 页,共 17 页 【解析】(1)【解法 1】由 1 2cos, 2 2cos 6 , 3 2cos 6 ,3 分 则 23 2cos2cos 66 2 3cos 4 分 所以 123 35 分 【解法 2】M的直角坐标方程为 2 2

30、11xy,如图所示,1 分 假设直线 OA、OB、OC 的方程为ykx, 2 yk x, 3 yk x, 3, 3k , 由点到直线距离公式可知 2 1 k MF k 在直角三角形 OMF 中,由勾股定理可知 2 2 1 1 +1 2 MF ,得 1 2 2 1k 2 分 由直线方程可知tank, 2 tan+ 6 k , 3 tan 6 k 所以 2 tan +tan 3 +1 6 = 3 1 tantan 6 k k k ,得 2 2 3 1 k k 3 分 所以 3 tan -tan 31 6 = 3 1tantan 6 k k k ,得 3 2 3 1 k k 4 分 所以 123 3

31、5 分 (2)【解法 1】曲线M的普通方程为: 22 20xyx,6 分 将直线BC的参数方程代入上述方程,整理得 2 30tt ,解得 12 0,3tt ;7 分 平面直角坐标为 13 ,2,0 22 BC 8 分 数学试题(文科) 第 16 页,共 17 页 则 23 1,2, 6 ;又得 1 3 . 9 分 即四边形面积为 1213 113 3 sinsin 26264 OBAC S 为所求. 10 分 【解法 2】由 BC 的参数方程化为普通方程得:. 23yx5 分 联立 02 23 22 xyx yx 解得 0 2 1 1 y x 或 2 3 2 1 2 2 y x ,即) 2 3

32、 , 2 1 (B,)0 , 2(C6 分 , 6 , 1 2 点 A 的极坐标为),( 6 3 ,化为直角坐标为),( 2 3 2 3 7 分 直线 OB 的方程为xy3,点 A 到直线 OB 的距离为. 2 3 )3(1 2 3 2 3 3 2 d8 分 . 4 33 2 3 2 2 1 2 3 1 2 1 OACOBAOBAC SSS10 分 23(本小题满分 10 分) 【解析】 (1)当4x时,原不等式等价于243xxx ,解得2x,所以4x1 分 当2x时,原不等式等价于243xxx ,解得 2 5 x ,所以此时不等式无解2 分 当24x 时,原不等式等价于243xxx ,解得2

33、x,所以24x3 分 综上所述,不等式解集为2,5 分 (2)由 1f xk x,得241xxk x, 数学试题(文科) 第 17 页,共 17 页 当1x 时,60恒成立,所以Rk; 6 分 当1x 时, 241 31 333 11 1111 xxxx k xxxx 7 分 因为 3333 11112 1111xxxx 8 分 当且仅当 33 110 11xx 即4x或2x时,等号成立, 9 分 所以,2k ; 综上,k的取值范围是,2 10 分 【注】【注】如果本题两个小问通过图象法解答,分别正确作出图象(如下图)各如果本题两个小问通过图象法解答,分别正确作出图象(如下图)各 1 分,正确写出结分,正确写出结 果各果各 1 分,中间过程可酌情给分,中间过程可酌情给 1-2 分,但每小问给分最多不超过分,但每小问给分最多不超过 4 分。分。 如果作图的坐标系没有箭头或如果作图的坐标系没有箭头或x Oy、 、的标记, 的标记,扣除过程分扣除过程分 1 分。分。 第(1)问图象 第(2)问图象

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