1、一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）（1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点，求a的值； （3）点E为y轴上一个动点，若SAEB=5，则点E的坐标为_ 【答案】（1）解：A、B在反比例函数的图象上，23n=（5n+2）1=m，n=2，m=12，A（2，6），B（12，1），一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点， ，解得 ，反比例函数与一次函数
2、的表达式分别为y= ，y= x+7（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y= x+7a，由 ，消去y得到x2+（2a14）x+24=0，由题意，=0，（21a14）2424=0，解得a=72 （3）（0，6）或（0，8） 【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），由题意，PE=|m7|SAEB=SBEPSAEP=5， |m7|（122）=5|m7|=1m1=6，m2=8点E的坐标为（0，6）或（0，8）故答案为（0，6）或（0，8）【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将
3、一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和SAEB=5，求出点E的坐标.2如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）当a=3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式 （2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值 （3）当a=2时，将RtAOB在第一象限内沿直线y=x平移 个单位长度得到RtAOB，如图2，
4、M是RtAOB斜边上的一个动点，求k的取值范围【答案】（1）解：当a=3时，y=3x+2，当y=0时，3x+2=0，x= ，点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），0m ，DANG则 ，3x+2= ，当x=m时，3m+2= ，k=3m2+2m（0m ）（2）解：由题意得： ，ax+2= ，ax2+2xk=0，直线y=ax+2（a0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，=4+4ak=0，ak=1，k= ，则 ，解得： ，OM= ，12+（ ）2=（ ）2 ， a= （3）解：当a=2时，y=2x+2，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），将RtAOB在第一象限内沿
5、直线y=x平移 个单位得到RtAOB，A（2，1），B（1，3），点M是RtAOB斜边上一动点，当点M与A重合时，k=2，当点M与B重合时，k=3，k的取值范围是2k3 【解析】【分析】（1）当a=3时，直线解析式为y=3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由3x+2=,由X=m得k=3m2+2m（0m）；（2）由ax+2=得ax2+2xk=0，直线y=ax+2（a0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，=4+4ak=0，ak=1，由勾股定理即可；（3）当a=2时，y=2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知
6、A，B点的坐标，从而得到k的取值范围。3如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，P1OA1的面积将_（减小、不变、增大） （2）若P1OA1与P2A1A2均为等边三角形，求反比例函数的解析式；求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值 【答案】（1）减小（2）解：如图所示，作P1BOA1于点B，A1的坐标为（2，0），OA1=2，P1OA1是等边三角形，P1OA1=60，又P1BOA1 ， OB=BA1=1，P1
7、B= ，P1的坐标为（1， ），代入反比例函数解析式可得k= ，反比例函数的解析式为y= ；如图所示，过P2作P2CA1A2于点C，P2A1A2为等边三角形，P2A1A2=60，设A1C=x，则P2C= x，点P2的坐标为（2+x， x），代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，解得x1= 1，x2= 1（舍去），OC=2+ 1= +1，P2C= （ 1）= ，点P2的坐标为（ +1， ），当1x +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值 【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故P1OA1的面积将减小
8、，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故P1OA1的面积将减小；（2）由A1的坐标为（2，0），P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；由P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.4如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y= （k0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3， ） （1）求反比例函数的表达式和m的值； （2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函
9、数关系式 【答案】（1）解：反比例函数y= （k0）在第一象限内的图象经过点E（3， ）， k=3 =2，反比例函数的表达式为y= 又点D（m，2）在反比例函数y= 的图象上，2m=2，解得：m=1（2）解：设OG=x，则CG=OCOG=2x， 点D（1，2），CD=1在RtCDG中，DCG=90，CG=2x，CD=1，DG=OG=x，CD2+CG2=DG2 ， 即1+（2x）2=x2 ， 解得：x= ，点G（0， ）过点F作FHCB于点H，如图所示由折叠的特性可知：GDF=GOF=90，OG=DG，OF=DFCGD+CDG=90，CDG+HDF=90，CGD=HDF，DCG=FHD=90，G
10、CDDHF， =2，DF=2GD= ，点F的坐标为（ ，0）设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，有 ，解得： 折痕FG所在直线的函数关系式为y= x+ 【解析】【分析】（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；（2）设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标再过点F作FHCB于点H，由此可得出GCDDHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论5函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家
11、关注的重点之一，请解决下面的问题 （1）分别求出当2x4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x1）2+1的最大值和最小值； （2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围； （3）若y= ，当ax2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围； （4）y=2（xm）2+m2，当2x4时有最小值为1，求m的值 【答案】 （1）解：y=2x+1中k=20， y随x的增大而增大，当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9y= 中k=20，在2x4中，y随x的增大而减小，当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= y=2（x1）2+1中a=20，且抛物线的对称轴为x=1，当x=1时，y最小
12、=1；当x=4时，y最大=19（2）解：令y= 2， 解得：x0或x1符合条件的x的范围为x0或x1（3）解：当k0时，如图得当0x2时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当a0时，且ax0时，y 有最大值 ，无最小值，当k0时，如图得当0x2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a0时，且ax0时，y 有最小值 ，无最大值，当k0，a0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a0 （4）解：当m2时，有2（2m）2+m2=1， 解得：m1=1，m2= （舍去）；当2m4时，有m2=1，解得：m3=3；当m4时，有2（4m）2+m2=1，整理得：2m215m+29=0=（
13、15）24229=7，无解m的值为1或3 当k0时，如图得当0x2时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当a0时，且ax0时，y 有最大值 ，无最小值，当k0时，如图得当0x2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a0时，且ax0时，y 有最小值 ，无最大值，当k0，a0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a0；【解析】【分析】（1）根据k=20结合一次函数的性质即可得出：当2x4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2x4时，y=2（x1）2+1的最大值和最小值；（2）令y= 2，解之即可得出x的取值范围；（3）当k0时
14、，如图得当0x2时，得到y= 无最大值，有最小值 ，同理当a0时，且ax0时，得到y 有最大值 ，无最小值，当k0时，如图得当0x2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a0时，且ax0时，y 有最小值 ，无最大值，于是得到结论；（4）分m2、2m4和m4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2x4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论6如图，已知函数 的图象与一次函数 的图象相交不同的点A、B，过点A作AD 轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为 ，AOD的面积为2.（1）求 的值及 =4时 的值； （2）记 表示为不超过 的最大整数，例如： ， ，设
15、,若 ，求 值 【答案】（1）解：设A（x0 ， y0），则OD=x0 ， AD=y0 ， SAOD= ODAD= x0y0=2，k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1 （2）解： ， mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，A的横坐标为x0 ， mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- ，OC=- ，OD=x0 ， m2t=m2（ODDC），=m2x0（- -x0），=m（-5x0-mx02），=-4m，- m- ，5-4m6，m2t=5 【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反
16、比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值；（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2t=m2（ODDC）=-4m，根据m的取值范围得出5-4m6，从而答案。7如图，已知A（3，m），B（2，3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点（1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方； （3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得OBC的面积等于OA
17、B的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标 【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（2，3）代入，可得k=2（3）=6，反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2，A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（2，3）代入，可得 ，解得 ，直线AB 的解析式为y=x1（2）解：由题可得，当x满足：x2或0x3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C如图所示，延长AO交双曲线于点C1 ， 点A与点C1关于原点对称，AO=C1O，OBC1的面积等于OAB的面积，此时，点C1的坐标为（3，2）；如图，
18、过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2 ， 则OBC2的面积等于OBC1的面积，OBC2的面积等于OAB的面积，由B（2，3）可得OB的解析式为y= x，可设直线C1C2的解析式为y= x+b，把C1（3，2）代入，可得2= （3）+b，解得b= ，直线C1C2的解析式为y= x+ ，解方程组 ，可得C2（ ）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3 ， 则OBC3的面积等于OBA的面积，设直线AC3的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= 3+ ，解得 = ，直线AC3的解析式为y= x ，解方程组 ，可得C3（ ）；综上所述，点C的坐标为（3，2），（ （） ）【解析】【
19、分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。8如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数 的图象与BC
20、边交于点E.（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，EFA的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）解：在矩形OABC中，OA=6，OC=4，B（6，4），F为AB的中点，F（6，2），又点F在反比例函数 （k0）的图象上，k=12，该函数的解析式为y= （x0）（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（ ，4），F（6， ）， ，= = = = ，当k=12时，S有最大值S最大=3 【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可9如图1，
21、已知双曲线y= （k0）与直线y=kx交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为_；当x满足：_时， kx；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y= （k0）于P，Q两点，点P在第一象限四边形APBQ一定是_；（3）若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积（4）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由【答案】（1）（3，1）；3x0或x3（2）平行四边形（3）点A的坐标为（3，1），k=31=3，反比例函数的解析式为
22、y= ，点P的横坐标为1，点P的纵坐标为3，点P的坐标为（1，3），由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，则四边形CDEF是矩形，CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积ACP的面积PDB的面积BEQ的面积AFQ的面积=362828=16（4）解：mn=k时，四边形APBQ是矩形，不可能是正方形，理由：当ABPQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P可能达到坐标轴故不可能是正方形，即POA9
23、0因为mn=k，易知P、A关于直线y=x对称，所以PO=OA=OB=OQ，所以四边形APBQ是矩形【解析】【解答】解：（1）A、B关于原点对称，A（3，1），点B的坐标为（3，1）由图象可知，当3x0或x3时， kx故答案为（3，1），3x0或x3；（2）A、B关于原点对称，P、Q关于原点对称，OA=OB，OP=OQ，四边形APBQ是平行四边形故答案为：平行四边形；=362828=16【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，即可解决问题，利用图象根据正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可确定自变量x的范围（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可(3
24、)利用分割法求面积即可（3）根据矩形的性质、正方形的性质即可判定10如图1，抛物线yax24ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B ， 与y轴交于点C ， 且OBOC （1）求抛物线的解析式； （2）将OAC沿AC翻折得到ACE ， 直线AE交抛物线于点P ， 求点P的坐标； （3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM ， 将OM绕O点旋转90，得到线段ON ， 是否存在这样的点N ， 使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由 【答案】 （1）解：由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）； 已知OB=OC=3，则C（0，-3）；设抛物线的
25、解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3（2）解：设AE交y轴于点F； 易证得FOAFEC ， 有 ，设OFx ， 则EF3x ， 所以FA3x1；在RtFOA中，由勾股定理得：（3x1）2x2+1，解得x ；即OF ，F（0， ）；求得直线AE为y x+ ，联立抛物线的解析式得： ，解得 ， ；故点P（ ， ）（3）解：B（3，0），C（0，3）， 直线BC：yx3；设点M（a ， a3），则：当点M在第一象限时，OGa ， MGa3；过M作MGx轴于G ， 过N作NHx轴于H；根据旋转的性质知：MON9
26、0，OMON ， 则可证得MOGNOH ， 得：OGNHa ， OHMGa3，故N（a3，a），将其代入抛物线的解析式中，得：（a3）2+4（a3）3a ， 整理得：a211a+240，a3（舍去），a8；故M（8，5），N（5，8）当点M在第三象限时，OGa ， MG3a；同可得：MGOH3a ， OGNHa ， 则N（3a ， a），代入抛物线的解析式可得：（3a）2+4（3a）3a ， 整理得：a2a0，故a0，a1；由于点M在第三象限，所以a0，故a0、a1均不合题意，此种情况不成立；当点M在第四象限时，OGa ， MG3a；同得：N（3a ， a），在中已经求得此时a0（舍去），a1
27、；故M（1，2），N（2，1）；综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，8）【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得FOAFEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在RtFOA中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，
28、联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标（3）此题应分三种情况讨论：当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90而得，因此OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得OMGNOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N的坐标；当点M在第三象限，点M在第四象限时，解法同11已知抛物线 与 轴的两个交点间的距离为2 （1）若此抛物线的对称轴为直线 ，请判断点（3,3）是否在此抛物线上？ （2）若此抛物线的顶点为（S，t），请证明 ； （3）当 时，求 的取值范围 【答案】 （1）解：抛物线的对称轴为
29、直线 ，且抛物线与 轴的两个交点间的距离为2，可得抛物线与 轴的两个交点为（0，0）和（2，0）， 所以抛物线 的解析式为与 当 时， 所以点（3,3）在此抛物线上 .（2）解：抛物线的顶点为 ，则对称轴为直线 ，且抛物线与 轴的两个交点间的距离为2， 可得抛物线与 轴的两个交点为（ ，0）和（ ，0） 所以抛物线 的解析式为与 由 得 所以 ；（3）解：由（2）知 即 整理得 由对称轴为直线 ，且二次项系数 可知 当 时，b的随a的增大而增大 当a=10时，得 当a=20时，得 所以 当 时， 【解析】【分析】（1）根据已知条件得出两个交点坐标，利用待定系数法求出解析式，然后验证点（3,3）
30、是否在这条抛物线上即可；（2）先确定对称轴为直线 ，再得出与x轴的两交点坐标为（ ，0）和（ ，0），再利用待定系数法求出解析式的顶点式可得解；（3）把t=-1代入顶点坐标公式，得到二次函数解析式 ，根据函数的增减性分别计算a=10和20时b的值从而得解.12已知，抛物线 的图象经过点 ， （1）求这个抛物线的解析式； （2）如图1， 是抛物线对称轴上一点，连接 ， ，试求出当 的值最小时点 的坐标； （3）如图2， 是线段 上的一点，过点 作 轴，与抛物线交于 点，若直线 把 分成面积之比为 的两部分，请求出 点的坐标 【答案】 （1）解：将 ， 的坐标分别代入 得 解这个方程组，得 ，所以
31、，抛物线的解析式为 （2）解： 如图1，由于点 、 关于 轴对称，所以连接 ，直线 与 轴的交点即为所求的点 ， 由 ，令 ，得 ，解得 ， ， 点的坐标为 ，又 ， 易得直线 的解析式为： 当 时， ， 点 坐标 （3）解：设 点的坐标为 ， 所以 所在的直线方程为 那么， 与直线 的交点坐标为 ， 与抛物线 的交点坐标为 由题意，得 ，即 ，解这个方程，得 或 （舍去） ，即 ，解这个方程，得 或 （舍去），综上所述， 点的坐标为 ， 或 ， 【解析】【分析】（1）将点 、 的坐标代入可得出 、 的值，继而得出这个抛物线的解析式；（2）由于点 、 关于 轴对称，所以连接 ，直线 与 轴的交
32、点即为所求的点 ，利用待定系数法确定直线 的解析式，然后求得该直线与 轴的交点坐标即可；（3）如图2， 交 于 ，设 ，根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设 点的坐标为 ， ， 然后分类讨论：分别利用 或 ，列关于 的方程，然后分别解关于 的方程，从而得到 点坐标13如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式及A点坐标； （2）若BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标； （3）若BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围_. 【答案】 （1）解：将B（4,
33、0），C（0,4）代入y=x2+bx+c得， ，解得 ，所以抛物线的解析式为 ，令y=0，得 ，解得 ， ，A点的坐标为（1,0）（2）解：设D点横坐标为 ，则纵坐标为 ， 当BCD=90时，如下图所示，连接BC，过C点作CDBC与抛物线交于点D，过D作DEy轴与点E，由B、C坐标可知，OB=OC=4，OBC为等腰直角三角形，OCB=OBC=45，又BCD=90，ECD+OCB=90ECD=45，CDE为等腰直角三角形，DE=CE=aOE=OC+CE=a+4由D、E纵坐标相等，可得 ，解得 ， ，当 时，D点坐标为（0,4），与C重合，不符合题意，舍去.当 时，D点坐标为（6,10）；当CBD
34、=90时，如下图所示，连接BC，过B点作BDBC与抛物线交于点D，过B作FGx轴，再过C作CFFG于F，过D作DGFG于G，COB=OBF=BFC=90，四边形OBFC为矩形，又OC=OB，四边形OBFC为正方形，CBF=45CBD=90，CBF+DBG=90，DBG=45，DBG为等腰直角三角形，DG=BGD点横坐标为a，DG=4-a，而BG= 解得 ， ，当 时，D点坐标为（4,0），与B重合，不符合题意，舍去.当 时，D点坐标为（2,-2）；综上所述，D点坐标为(6,10)或(2,-2).（3）3+ m 6或 3- m 2 【解析】【解答】解：（3）当BC为斜边构成RtBCD时，如下图所
35、示，以BC中点O为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D， BC为圆O的直径，BDC=BDC=90， ，D到O的距离为圆O的半径 ，D点横坐标为m，纵坐标为 ，O点坐标为（2,2）， 即 化简得： 由图像易得m=0或4为方程的解，则方程左边必有因式 ，采用因式分解法进行降次解方程 或 或 ，解得 ， ， ， 当 时，D点坐标为（0,4），与C点重合，舍去；当 时，D点坐标为（4,0），与B点重合，舍去；当 时，D点横坐标 ；当 时，D点横坐标为 ；结合（2）中BCD形成直角三角形的情况，可得BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+ m 6或 3- m 2.【分析】（1）利用待定系
36、数法求抛物线的解析式，再令y=0，求A的坐标；（2）设D点横坐标为a，代入函数解析式可得纵坐标，分别讨论BCD=90和CBD=90的情况，作出图形进行求解；（3）当BC为斜边构成RtBCD时，以BC中点O为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D，此时BCD和BCD就是以BC为斜边的直角三角形，利用两点间距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m的取值范围.14如图，在矩形ABCD中，AB6，BC4，动点Q在边AB上，连接CQ ， 将BQC沿CQ所在的直线对折得到CQN ， 延长QN交直线CD于点M （1）求证：MCMQ （2）当BQ1时，求DM的长； （3）过点D作DECQ ， 垂足为点E
37、 ， 直线QN与直线DE交于点F ， 且 ，求BQ的长 【答案】 （1）解：证明：四边形ABCD是矩形， DC AB即MCQ=CQB，BQC沿CQ所在的直线对折得到CQNCQN=CQB，即MCQ=MQC，MC=MQ（2）解：四边形ABCD是矩形，BQC沿CQ所在的直线对折得到CQN， CNM=B=90，设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，在RtCNM中，MB2=BN2+MN2 ， 即（x+6）2=42+（x+5）2 ， 解得：x= ，DM= ，DM的长2.5（3）解：解：分两种情况： 当点M在CD延长线上时，如图所示：由（1）得MCQ=MQC，DECQ，CDE=F，又CDE=FDM
38、，FDM=F，MD=MF过M点作MHDF于H，则DF=2DH，又 ， ，DECQMHDF，MHD=DEC=90，MHDDEC ，DM=1，MC=MQ=7，MN BQNQ 当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得BQ=2综上所述，BQ的长为 或2【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出B=90，AB=CD=6，CDAB，得出MCQ=CQB，由折叠的性质得出CBQCNQ，求出BC=NC=4，NQ=BQ=1，CNQ=B=90，CQN=CQB，得出CNM=90，MCQ=CQN，证出MC=MQ（2）设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，在RtCNM中，由勾股定理得出方程，解方程即可（3）分两种情
39、况：当点M在CD延长线上时，由（1）得：MCQ=CQM，证出FDM=F，得出MD=MF，过M作MHDF于H，则DF=2DH，证明MHDCED，得出 ，求出MD= CD=1，MC=MQ=7，由勾股定理得出MN即可解决问题 当点M在CD边上时，同得出BQ=2即可15在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧） （1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4求抛物线的表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标； （3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1
40、， y1）和N（x2 ， y2），若x12，x22，x1+x24，试判断y1与y2的大小，并说明理由 【答案】 （1）解：抛物线y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4 点A（-5，0），点B（-1，0）抛物线的表达式为y=-（x+5）（x+1）y=-x2-6x-5（2）解：如图1， 依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx抛物线的对称轴为直线x ，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）b0记平移后的抛物线顶点为P，点P的坐标（ ， ），OCP是等腰直角三角形， = b=2点P的坐标（1，1）（3）解：如图2， 当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n抛物线的对称轴为直线x=2点M（x1 ， y1）和N（x2 ， y2）在抛物线上，且x12，x22，点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧x1+x24，2-x1x2-2，点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，y1y2 【解析】【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论
