1、第 1页（共 22页） 2020 年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）年广西南宁市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |10Ax x ， | 12Bxx ，则(AB ) A(1,)B 1，)C 1，1D 1，2 2 （5 分） 设(1)1i xyi ， 其中x，y是实数， 则xyi在复平面内所对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 （5 分）若实数x
2、，y满足 1 1 0 22 0 x xy xy ，则2zxy的最小值为() A1B2C4D10 4 （5 分）已知(0, )， 3 cos() 65 ，则sin的值为() A 4 33 10 B 3 34 10 C 7 10 D 2 3 5 5 （5 分）2.5PM是空气质量的一个重要指标，我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽 限值，即2.5PM日均值在 3 35/g m以下空气质量为一级，在 33 35/ 75/g mg m之间空 气质量为二级，在 3 75/g m以上空气质量为超标如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 2.5PM日均值（单位： 3 /)g m的统计数据
3、若从这 10 天中随机抽取 3 天进行进一步的空 气 质 量 数 据 分 析 ， 则 空 气 质 量 为 一 级 的 恰 好 抽 取 了 2 天 的 概 率 为( ) A 3 10 B 3 5 C 2 5 D 1 30 6 （5 分）设a为正实数，函数 322 ( )32f xxaxa，若( ,2 )xaa ，( )0f x ，则a的取 值范围是() 第 2页（共 22页） A1，)B(0,)C(0,1)D 2 (0, ) 3 7 （5 分） 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F， 过 2 F且斜率为3 的直线与双曲线在第一象限的交点为
4、A线段 1 F A的中点为D，若 21 0F D F A ，则此双曲 线的离心率为() A3B 3 2 C 31 2 D31 8 （5 分） 如图， 四棱锥SABCD中，SD 平面ABCD，/ /ABCD，ADCD，SDCD， ABAD，2CDAD，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为 ，则sin的最大值为() A 3 5 7 B 3 3 7 C 2 5 7 D 2 3 7 9 （5 分）过曲线 x yex外一点( ,)ee作该曲线的切线l，则l在y轴上的截距为() A e eB 2e e C 1e e D 2e e 10 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为
5、F，准线为l，l与x轴的焦点为P，点A在抛 物线C上， 过点A作AAl ， 垂足为 A ， 若 3 cos 5 FAA， 则四边形AA PF 的面积为() A8B10C14D28 11 （5 分）已知定义域为R的奇函数( )f x的导函数为( )fx，当0x 时，( )( )xfxf x若 2 2 ( log 3) log 3 f a ， 4 4 (log 6) log 6 f b ， (sin) 8 sin 8 f c ，则a，b，c的大小关系为() AabcBcabCcbaDbca 12 （5 分） 已知函数( )2cos()1(0f xx，|)的一个零点是 4 x ， 当 3 x 时 第
6、 3页（共 22页） 函数( )f x取最大值，则当取最小值时，函数( )f x在, 12 12 上的最大值为() A2B 3 2 C 3 2 D0 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分 第第 1321 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答 第第 22， 23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13 （5 分）在平面上， 1 e 、 2 e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足 12 ()()bebe ，则 |b 的值 14 （5
7、 分）设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的 面积等于 222 3 () 4 bca，则内角A的大小为 15 （5 分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图 所示，则该几何体的体积为 16 （5 分）关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验 和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请 240 名同 学，每人随机写下两个都小于 1 的正实数x，y组成的实数对( , )x y，再统计两数能与 1 构 成钝角三角形三边的数对( , )x y的个数m；最后再根据计数m来估计的值假设统计
8、结果 是68m ，那么可以估计的近似值为 （用分数表示） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南 方农户在播种水稻时一般有直播、 撒酒两种方式 为比较在两种不同的播种方式下水稻产量 的区别，某市红旗农场于 2019 年选取了 200 块农田，分成两组，每组 100 块，进行试验其 中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种得到数据如表： 产量（单位：840，860)860，880)880，900)90
9、0，920)920，940) 第 4页（共 22页） 斤） 播种方式 直播48183931 散播919223218 约定亩产超过 900 斤（含 900 斤）为“产量高” ，否则为“产量低” （1）请根据以上统计数据估计 100 块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表） （2） 请根据以上统计数据填写下面的22列联表， 并判断是否有99%的把握认为 “产量高” 与“播种方式”有关？ 产量高产量低合计 直播 散播 合计 附 2 2 () : ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 0 ()P Kk 0.100.0100.001 0 k 2.7066.
10、63510.828 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 4a ， 1 1 23 2n nn aa （1）证明：数列 2 n n a 为等差数列，并求数列 n a的通项公式； （2）设 1 64n n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）如图所示，在四棱柱 1111 ABCDA BC D中，侧棱 1 AA 平面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，ADAB，/ /ABCD， 1 224ABADAA （1）证明： 1 AD 平面 11 ABC D； （2）若1DC ，求二面角 11 BBCA的正弦值 第 5页（共 22页） 20 （12 分）已知椭圆 22
11、 2 :1(02) 4 xy Cb b 的离心率为 1 2 ，F为椭圆的右焦点，PQ为过 椭圆中心O的弦 （1）求PQF面积的最大值； （2）动直线与椭圆交于A、B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与 直线BM的斜率均存在时， 其斜率之和是与t无关的常数， 并求出所有满足条件的定点M的 坐标 21 （12 分）已知函数 2 ( )8()f xxxalnx aR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）已知函数( )f x的两个极值点 1 x， 212 (xxx，1)x ，若1m， 证明： 1 02x； 证明： 21 11 1 (2)(43) 1 alnx mxx x 请考生
12、在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答注意注意：只能做所选定的题目只能做所选定的题目如果多做如果多做，则按所则按所 做的第一个题目计分做的第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l的倾斜角为30，且经过点(2,1)A以坐标 原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2: cos3l，从原点O作射线交 2 l 于点M，点N为射线OM上的点，满足| | 12OMON ，记点N的轨迹为曲线C （1）设动点 1 Pl，记e 是直线 1 l的向上方向的单位方向向量，且APte ，以t为参数
13、求 直线 1 l的参数方程； 求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程； （2）设直线 1 l与曲线C交于P，Q两点，求 11 |APAQ 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2|1|f xxx 第 6页（共 22页） （1）求不等式( )8f xx 的解集； （2）记函数( )yf x的最小值为k，若a，b，c是正实数，且 331 1 2kakbkc ，求证 239abc 第 7页（共 22页） 2020 年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）年广西南宁市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5
14、分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |10Ax x ， | 12Bxx ，则(AB ) A(1,)B 1，)C 1，1D 1，2 【解答】解： |1Ax x， | 12Bxx ， 1AB ，) 故选：B 2 （5 分） 设(1)1i xyi ， 其中x，y是实数， 则xyi在复平面内所对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：由(1)1i xyi ，即1xxiyi ， 则1x ，1y xyi 在复平面内所对应的点的坐标为：(1, 1)，位于第四象限
15、故选：D 3 （5 分）若实数x，y满足 1 1 0 22 0 x xy xy ，则2zxy的最小值为() A1B2C4D10 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由2txy得：2yxt ， 由图象得：2yxt 过(1,2)时，t最小， 4t 最小值 ， 故选：C 第 8页（共 22页） 4 （5 分）已知(0, )， 3 cos() 65 ，则sin的值为() A 4 33 10 B 3 34 10 C 7 10 D 2 3 5 【解答】解：(0, )， 3 cos() 65 ， 4 sin() 65 ， 43134 33 sinsin() 66522510 故选：A 5 （5
16、 分）2.5PM是空气质量的一个重要指标，我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽 限值，即2.5PM日均值在 3 35/g m以下空气质量为一级，在 33 35/ 75/g mg m之间空 气质量为二级，在 3 75/g m以上空气质量为超标如图是某市 2019 年 12 月 1 日到 10 日 2.5PM日均值（单位： 3 /)g m的统计数据若从这 10 天中随机抽取 3 天进行进一步的空 气 质 量 数 据 分 析 ， 则 空 气 质 量 为 一 级 的 恰 好 抽 取 了 2 天 的 概 率 为( ) A 3 10 B 3 5 C 2 5 D 1 30 【解答】解：由某市 2019
17、年 12 月 1 日到 10 日2.5PM日均值（单位： 3 /)g m的统计数据 折线图得： 这 10 天中空气质量为一级的天数为 4 天， 从这 10 天中随机抽取 3 天进行进一步的空气质量数据分析， 基本事件总数 3 10 120nC， 空气质量为一级的恰好抽取了 2 天包含的基本事件个数 12 64 36mC C， 则空气质量为一级的恰好抽取了 2 天的概率 363 12010 m p n 第 9页（共 22页） 故选：A 6 （5 分）设a为正实数，函数 322 ( )32f xxaxa，若( ,2 )xaa ，( )0f x ，则a的取 值范围是() A1，)B(0,)C(0,1
18、)D 2 (0, ) 3 【解答】解：因为 2 ( )363 (2 )fxxaxx xa， 因为2axa时，( )0fx，故( )f x在( ,2 )aa上单调递减， 因为( ,2 )xaa ，( )0f x ， 所以f（a） 32 220aa ， 故1a 故选：A 7 （5 分） 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F， 过 2 F且斜率为3 的直线与双曲线在第一象限的交点为A线段 1 F A的中点为D，若 21 0F D F A ，则此双曲 线的离心率为() A3B 3 2 C 31 2 D31 【解答】解：斜率为3的直线l，其倾斜角
19、为60， 过 2 F且斜率为3的直线与双曲线在第一象限的交点为A，线段 1 F A的中点为D，若 21 0F D F A ， 12 PFF是等腰三角形，即有 212 | | 2PFF Fc， 则有(2 cos60 ,2 sin60 )P ccc，即为(2 , 3 )Pcc， 代入双曲线方程双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ，即有 22 22 43 1 cc ab ， 由离心率公式 c e a ， 222 bca， 即有 2 2 2 3 41 1 e e e ， 化简可得 42 4810ee ， 解得： 2 3 1 2 e ， 第 10页（共 22页） 由1e ，解得 13 2
20、 e 故选：C 8 （5 分） 如图， 四棱锥SABCD中，SD 平面ABCD，/ /ABCD，ADCD，SDCD， ABAD，2CDAD，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为 ，则sin的最大值为() A 3 5 7 B 3 3 7 C 2 5 7 D 2 3 7 【解答】解：如图所示，作MEAD，垂足为E， SD 平面ABCD，SD 平面SAD， 平面SAD 平面ABCD， 又ADCD，CD平面SAD / /MECD， ME平面SAD 连接NE，则MNE是MN与平面SAD所成角为， 作EFSA，连接MF， 此时MFE取得最大值 不妨设AB，则4CD ，可得 24 3
21、 2 ME ， 22 42 sin1 5 24 EFAESAD 则 22 33 5 sin 72 ()3 5 EM FM 故选：A 第 11页（共 22页） 9 （5 分）过曲线 x yex外一点( ,)ee作该曲线的切线l，则l在y轴上的截距为() A e eB 2e e C 1e e D 2e e 【解答】解：设切线l在曲线 x yex上的切点为 0 (x， 0) y， 由 x yex，得1 x ye ，则切线l的斜率 0 0 |1 x x x kye ， 切线l的方程为 0 00 (1)() x yyexx， l为曲线 x yex外一点( ,)ee的切线方程， 0 00 x yex， 0
22、 00 (1)() x eyeex ， 由，得 0 1xe， 1 0 (1) e yee ， l在y轴上的截距 0 2 00 (1)() xe yexe 故选：B 10 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线为l，l与x轴的焦点为P，点A在抛 物线C上， 过点A作AAl ， 垂足为 A ， 若 3 cos 5 FAA， 则四边形AA PF 的面积为() A8B10C14D28 【解答】解：由条件得，2p ， 过点F作FFAA ，垂足为F设| 3AFx ， 3 cos 5 FAA ，| 5AFx，| 4F Fx 由抛物线定义可得：| | 5AFAAx 则| | 5322A FPF
23、xxxp ，解得1x 则| 33AFx ，| | 55AFAAx ， | 44F Fx 第 12页（共 22页） 四边形AA PF的面积 (|) |(25)4 14 22 PFAAPA S 故选：C 11 （5 分）已知定义域为R的奇函数( )f x的导函数为( )fx，当0x 时，( )( )xfxf x若 2 2 ( log 3) log 3 f a ， 4 4 (log 6) log 6 f b ， (sin) 8 sin 8 f c ，则a，b，c的大小关系为() AabcBcabCcbaDbca 【解答】解：令 ( ) ( )(0) f x g xx x ， 由于( )f x为R上的
24、奇函数， 所以 ( ) ( )(0) f x g xx x 为定义域上的偶函数， 又当0x 时，( )( )xfxf x， 所以，当0x 时， 2 ( )( ) ( )0 xfxf x g x x ， 所以，偶函数( )g x在(0,)上单调递增； 又 442 0sin1log 6log 9log 3 8 ， 所以 4422 (sin)(log 6)(log 9)(log 3)( log 3) 8 ggggg ， 即cba， 故选：C 12 （5 分） 已知函数( )2cos()1(0f xx，|)的一个零点是 4 x ， 当 3 x 时 函数( )f x取最大值，则当取最小值时，函数( )f
25、 x在, 12 12 上的最大值为() 第 13页（共 22页） A2B 3 2 C 3 2 D0 【解答】解：()2cos()10 44 f ， 1 cos() 42 ， 2 43 k ，kZ， ()2cos()11 33 f ， cos()1 3 ， 2 3 m ，mZ， 由可得 4 86 3 km ， 由于|，可取1k ，1m ，解得 210 ( 33 舍去） ， 则62m，mZ， 可得正数的最小值为 4， 即有 2 ( )2cos(4)1 3 f xx ， 由, 12 12 x ，可得 2 4 33 x ， 可得( )f x在, 12 12 上递减， 则( )f x的最大值为 1 ()
26、2cos1210 1232 f ， 故选：D 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分 第第 1321 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答 第第 22， 23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13 （5 分）在平面上， 1 e 、 2 e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足 12 ()()bebe ，则 |b 的值1 【解答】解： 1 e 、 2 e 是方向相反的单位向量， 向量b 满足 12 ()()bebe ， 12 ()
27、()bebe 第 14页（共 22页） 2 1212 ()bb eee e 2 10b ， | 1b 故答案为：1 14 （5 分）设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的 面积等于 222 3 () 4 bca，则内角A的大小为 1 3 【解答】解：因为 222 331 ()2cossin 442 SbcabcAbcA， 所以3cossinAA即tan3A ， 故 1 3 A 故答案为： 1 3 15 （5 分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图 所示，则该几何体的体积为 20 3 【解答】解：由三视图还原出原几何体如图所示，
28、 该几何体是边长为 2 的正方体截去三棱锥FBGE， 第 15页（共 22页） 则该几何体的体积为 3 1120 2222 323 VVV 正方体三棱锥 故答案为： 20 3 16 （5 分）关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验 和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请 240 名同 学，每人随机写下两个都小于 1 的正实数x，y组成的实数对( , )x y，再统计两数能与 1 构 成钝角三角形三边的数对( , )x y的个数m；最后再根据计数m来估计的值假设统计结果 是68m ，那么可以估计的近似值为 47 15 （用分数表示） 【解
29、答】解：由题意，240 对都小于l的正实数对( , )x y，对应区域的面积为 1， 两个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对( , )x y， 满足 22 1xy且x，y都小于 1，1xy，面积为 1 42 ， 因为统计两数能与l构成钝角三角形三边的数对( , )x y的个数68m ， 所以 681 24042 ，所以 47 15 故答案为： 47 15 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南 方农户在播种水稻时一般
30、有直播、 撒酒两种方式 为比较在两种不同的播种方式下水稻产量 的区别，某市红旗农场于 2019 年选取了 200 块农田，分成两组，每组 100 块，进行试验其 中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种得到数据如表： 产量（单位： 斤） 播种方式 840，860)860，880)880，900)900，920)920，940) 直播48183931 散播919223218 约定亩产超过 900 斤（含 900 斤）为“产量高” ，否则为“产量低” （1）请根据以上统计数据估计 100 块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的 第 16页（共 22页） 中点值为代表）
31、 （2） 请根据以上统计数据填写下面的22列联表， 并判断是否有99%的把握认为 “产量高” 与“播种方式”有关？ 产量高产量低合计 直播 散播 合计 附 2 2 () : ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 0 ()P Kk 0.100.0100.001 0 k 2.7066.63510.828 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 估 计100块 直 播 农 田 的 平 均 产 量 为 8500.048700.088900.189100.399300.31907（斤)； （2）22列联表： 产量高产量低合计 直播7030100 散播5050100 合计1208020
32、0 2 2 200 (70 5050 30) 8.3336.635 100 100 120 80 K 有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 4a ， 1 1 23 2n nn aa （1）证明：数列 2 n n a 为等差数列，并求数列 n a的通项公式； （2）设 1 64n n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】 （1）证明：依题意，由 1 1 23 2n nn aa ， 两边同时乘以 1 1 2n ，可得 第 17页（共 22页） 1 1 3 22 nn nn aa ，即 1 1 3 22 nn nn aa
33、 ， 1 1 4 2 22 a ， 数列 2 n n a 是以 2 为首项，3 为公差的等差数列， 23(1)31 2 n n a nn， (31) 2n n an，*nN （2）解：由（1） ，可知 1 1 6464311 (31) 2 (32) 2(31)(32)3132 nn n nn nn b a annnnnn ， 故 12nn Tbbb 111111 25583132nn 11 232n 3 2(32) n n 19 （12 分）如图所示，在四棱柱 1111 ABCDA BC D中，侧棱 1 AA 平面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，ADAB，/ /ABCD， 1 224ABA
34、DAA （1）证明： 1 AD 平面 11 ABC D； （2）若1DC ，求二面角 11 BBCA的正弦值 【解答】解： （1）证明：侧棱 1 AA 平面ABCD，AB，AD 平面ABCD， 故 1 AAAB， 1 AAAD，又 1 2ADAA， 所以平行四边形 11 ADD A为正方形，所以 11 ADA D， 又 1 ABADA ， 第 18页（共 22页） 所以 1 AD 平面 11 ABC D； （2）以D为原点，以AD，DC， 1 DD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则(2A，0，0)， 1(0 C，1，2)，(2B，4，0)， 1(2 B，4，2)， 1 (0,0,2)B
35、B ， 1 ( 2, 3,2)BC ，(0, 4,0)BA ， 设平面 11 BBC的法向量为( , , )mx y z ， 由 1 1 20 2320 m BBz m BCxyz ，得(3, 2,0)m ， 设平面 1 ABC的法向量为( , , )na b c ， 由 1 40 2320 n BAb n BCabc ，得(1,0,1)n ， 由 33 26 cos, 26132 m n ， 故二面角 11 BBCA的正弦值为 442 26 20 （12 分）已知椭圆 22 2 :1(02) 4 xy Cb b 的离心率为 1 2 ，F为椭圆的右焦点，PQ为过 椭圆中心O的弦 （1）求PQF
36、面积的最大值； （2）动直线与椭圆交于A、B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与 直线BM的斜率均存在时， 其斜率之和是与t无关的常数， 并求出所有满足条件的定点M的 坐标 【解答】解（1）由椭圆方程知2a ， 第 19页（共 22页） 又因为离心率为 1 2 ， 所以1c ，3b ， 所以椭圆方程为： 22 1 43 xy 由于直线PQ过原点， 所以 1 22|3 2 PQFPOFp SScy ， 则PQF面积的最大值为3， （2）设 1 (A x， 1 1 ) 2 xt， 2 (B x， 2 1 ) 2 xt， 联立直线l与椭圆得 22 30xtxt， 且 12 xxt ，
37、 2 12 3x xt， 设( , )M m n， 直线AM与直线BM的斜率之和是： 1221 22 12 113 ()()()()()23 222 ()()3 MAMB mxt mxnxt mxnm tmn kk mxmxtmnm ， 当 3 2 nm，23mn ，时斜率和为定值 0， 解得 1 3 2 m n ，或 1 3 2 m n ， 故满足所有条件的定点P为 3 (1, ) 2 ，或 3 ( 1,) 2 21 （12 分）已知函数 2 ( )8()f xxxalnx aR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）已知函数( )f x的两个极值点 1 x， 212 (xxx，1)x
38、 ，若1m， 证明： 1 02x； 证明： 21 11 1 (2)(43) 1 alnx mxx x 【解答】解： （1） 2 ( )8()f xxxalnx aR的定义域为(0,)， 2 28 ( )28 axxa fxx xx ， 第 20页（共 22页） 当 2 ( 8)426480aa ，即8a 时，( ) 0fx ，函数( )f x的在区间(0,)单调递增； 当 2 ( 8)426480aa ，即8a 时，分两类讨论： 方程 2 280xxa的两根为 1,2 8648162 2 42 aa x ， 1若0a， 1 162 20 2 a x ， 2 162 20 2 a x ，故 2
39、(0,)xx时，( )0fx，( )f x 在区间 2 (0,)x上单调递减， 2 (xx，)时，( )0fx，( )f x在区间 2 (x，)上单调递增； 2若08a，同理可得，( )f x在区间 1 (x， 2) x上单调递减，在区间 1 (0,)x， 2 (x，)上 单调递增； 综上所述，当0a时，( )f x在区间 2 (0,)x上单调递减，在区间 2 (x，)上单调递增； 当08a时，( )f x在区间 1 (x， 2) x上单调递减，在区间 1 (0,)x， 2 (x，)上单调递增； 当8a 时，函数( )f x的在区间(0,)单调递增； （2）证明：当函数( )f x在(0,)内
40、有两个极值点 1 x， 212 ()xxx且 1 1x 时， 则 2 280xxa在(0,)上有两个不等正根 0a且 2 ( 8)426480aa ，08a 12 4xx， 12 2 a x x ， 12 0xx， 21 4xx， 1211 22(4)ax xxx，可得 1 02x 要证明 21 11 1 (2)(43) 1 alnx mxx x 成立，即证 111 11 1 2 (4) (2)(4)(1) 1 xx lnx mxx x 成立， 由于 21 40xx， 即证 11 1 1 2 (2)(1) 1 x lnx mx x 成立， 也就是证 11 1 1 2 (2)(1)0 1 x l
41、nx mx x 即证 2 11 1 11 2(2)(1) 20 1 xmx lnx xx ， 由于 1 01x时， 1 1 2 0 1 x x ， 1 12x时， 1 1 2 0 1 x x ， 故令 2 (2)(1) ( )2(02) mx h xlnxx x ， 第 21页（共 22页） 则 2 2 (2)2(2) ( )(02) mxxm h xx x ， 令 2 (2)2(2)0mxxm，则 2 44(2)m， 由于1m，故21m， 2 (2)1m ，所以0， ( ) 0h x ， 在(0,2)内函数( )h x为减函数，且h（1）0，可得：01x时，( )0h x 12x时，( )0
42、h x 2 11 1 11 2(2)(1) 20 1 xmx lnx xx 成立， 即 11 1 1 2 (2)(1)0 1 x lnx mx x 成立，证毕 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答注意注意：只能做所选定的题目只能做所选定的题目如果多做如果多做，则按所则按所 做的第一个题目计分做的第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l的倾斜角为30，且经过点(2,1)A以坐标 原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2: cos3l，从原点O作射线交 2 l 于点M，点N为射线OM上的点，满足| | 12OMON ，记点N的轨迹为曲线C （1）设动点 1 Pl，记e 是直线 1 l的向上方向的单位方向向量，且APte ，以t为参数求 直线 1 l的参数方程； 求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程； （2）设直线 1 l与曲线C交于P，Q两点，求 11 |APAQ 的值 【解答】解： （1）直线 1 l的倾斜角为30，且经过点(2,1)A转换为直角坐标方程为 3 1(2) 3 yx 由于动点 1 Pl，记e 是直线 1 l的向上方向的单位
