1、2019年中考数学真题知识点分类汇总相似三角形一、选择题1. （2019广西省贵港市，题号11，分值3分）如图，在中，点，分别在，边上，若，则线段的长为ABCD5 【答案】【思路分析】设，所以，易证，利用相似三角形的性质可求出的长度，以及，再证明，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求出的长度【解题过程】解：设，设，故选：【知识点】相似三角形的判定与性质2. （2019贵州省毕节市，题号15，分值3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（RtACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部
2、分的面积为（）A100cm2B150cm2C170cm2D200cm2【答案】A【思路分析】设AFx，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明AEFABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可【解题过程】解：设AFx，则AC3x，四边形CDEF为正方形，EFCF2x，EFBC，AEFABC，BC6x，在RtABC中，AB2AC2+BC2，即302（3x）2+（6x）2，解得，x2，AC6，BC12，剩余部分的面积12644100（cm2），故选：A【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用3. （2019贵州黔西南州，10，4分）
3、如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即RtACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A200cm2B170cm2C150cm2D100cm2【答案】D【解析】解：设AFx，则AC3x，四边形CDEF为正方形，EFCF2x，EFBC，EFBC，AEFABC，EFBC=AFAC=13，BC6x，在RtABC中，AB=(3x)2+(6x)2=35x，35x30，解得x25，AC65，BC125，剩余部分的面积=1265125-（45）2100（cm2）故选：D【知识点】正方形的性质
4、；相似三角形的应用4. (2019海南,12题,3分)如图,在RtABC中,C90,AB5,BC4,点P是边AC上一动点,过点P作PQAB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分ABC时,AP的长度为( )A.B.C.D.第12题图【答案】B【思路分析】根据平行和平分线得到等腰三角形,作DEBC,得到相似三角形,结合中点和相似比,得到线段关系,列出方程,进而求得AP长度.【解题过程】在RtABC中,C90,AB5,BC4,AC3,过点D作DEBC于点E,易证ABCDQE,BD平分ABC,PQAB,BQQD,设QDBQ4x,则AP3x,DP4x,PQ8x,CPx,ACx3,x,AP3x,故选
5、B.E第12题答图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程5. （2019黑龙江哈尔滨，10，3分）如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,EMAD,交AB于点M,ENAB,交AD于点N,则下列式子一定正确的是（ ）。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】解：在ABCD中，EMAD易证四边形AMEN为平行四边形易证BEMBADEND，A项错误，B项错误，C项错误，D项正确故选：D【知识点】平行四边形的性质; 相似三角形的性质6.(2019内蒙古包头市，4题，3分) 一个圆柱体的三视图如图2所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱体的体积为（ ）A.24B.24C.96D.96【答案】
6、B.【解析】解：由三视图可知，圆柱体的底面圆半径为2，高为6，圆柱体体积为r2h=226=24.故选B.【知识点】三视图，圆柱体的体积.7. （2019山东东营，10，3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且EOF90，OC、EF交于点G.给出下列结论：COEDOF；OGEFGC；四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；DF2+BE2=OGOC其中正确的是（ ）ABCD【答案】B【思路分析】由正方形的性质易得OD=OC，ODC=OCB=45再由EOF90，得出COE=DOF，依据“ASA”可证COEDOF，故正确；再
7、由得出OEF=OFE=45，又OGE=FGC，OGEFGC，故正确；由将四边形CEOF的面积转化为ODC的面积，即正方形ABCD面积的，故正确；由得CF=BE，将DF2+BE2转化为EF2，再利用OGFOFC，得出OGOC=OF2，可得DF2+BE2OGOC，故错误【解题过程】四边形ABCD是正方形，OD=OC，COD=90，ODC=OCB=45，又EOF90，COE=DOF，COEDOF，故正确；COEDOF，OE=OF，OEF=OFE=45，OEG=FCG，又OGE=FGC，OGEFGC，故正确；COEDOF，S四边形CEOF=SOCF+SOCE=SOCF+SODF=SOCD=S正方形AB
8、CD，故正确；COEDOF，DF=CE，CF=BE，DF2+BE2=CE2+CF2=EF2，OFG=OCF，OGFOFC，=，即OGOC=OF2，EF2OF2，DF2+BE2OGOC，故错误综上所述，正确【知识点】勾股定理；三角形内角和定理；特殊角的锐角三角函数值；非负数的性质8. （2019黑龙江省龙东地区，20，3）如图，在平行四边形ABCD中，BAC90，ABAC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE，DF，DF交AC于点O则下列结论：四边形ABEC是正方形；COBE13；DEBC；S四边形OCEFSAOD，正确的个数是（ ）A1B2C3D4OFDCAEB【
9、答案】D【思路分析】根据条件逐一判断即可.【解题过程】对于，AB=AC,AFBC，BF=CF，平行四边形ABCD，ABCD，ABF=ECF，BAF=CEF，ABFECF，AB=EC，四边形ABEC是平行四边形，又AB=AC,BAC=90，四边形ABEC是正方形，故正确；对于，平行四边形ABCD，AD=BC,ADBC，,COAC13,AC=BE，COBE13，故正确；对于，四边形ABEC是正方形，AEC=ECF=45，ADBC，ADC=45，AED是等腰直角三角形，DEAD,AD=BC，DEBC，故正确；对于，AB=CE,AB=CD,CE=CD,SACE=SAED，四边形ABEC是正方形,AF=
10、EF，SAFD=SAED，SACE=SAFD，SACE-SAOF=SAFD-SAOF，即S四边形OCEFSAOD，故正确.综上，均正确，故选D.【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质；比例线段；三角形的中线；三角形的面积；勾股定理9.（2019江苏常州，5，2）若ABC，相似比为12，则ABC与的周长的比为（ ）A21 B12 C41 D14【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知ABC与的周长的比为12，因此本题选B【知识点】相似三角形的性质10. （2019江苏镇江，17，3）如图菱形ABCD的顶点B、C在x轴（
11、B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E(2，0)为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动当F(0，6)到EP所在的直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（ ） A B C D3第17题图【答案】A【解析】本题考查了菱形的性质，直角三角形三边的关系，相似三角形的判定和性质等当F到PE的距离为最大时，P为AB的中点，则此时EFPE，如答图，连接AC交BD于G，则BGCG，BG第17题答图OE2，OF6，EFP、E分别为AB、BC的中点，PEACEFBG，CGEF，易证CGBFOE，即，解得BC因此本题选A【知识点】菱形的性质；直角三角形三
12、边的关系；相似三角形的判定和性质11. （2019广西贺州，7，3分）如图，在中，分别是，边上的点，若，则等于A5B6C7D8【答案】B【解析】解：，即，解得，故选：B【知识点】相似三角形的判定与性质12. （2019湖南邵阳，8，3分）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是AB点、点、点三点在同一直线上CD【答案】C【解析】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，点、点、点三点在同一直线上，故选项错误，符合题意故选：C【知识点】位似变换13. （2019江苏常州，5，2分）若ABCABC，相似比为1：2，则ABC与ABC的周长的比为（）A2：1B1：2C4：
13、1D1：4【答案】B【解析】解：ABCABC，相似比为1：2，ABC与ABC的周长的比为1：2故选：B【知识点】相似三角形的性质14. （2019江苏镇江，17，3分）如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于ABCD3【答案】A【解析】解：如图1中，当点是的中点时，作于，连接，当点与重合时，的值最大如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于设，四边形是菱形，故选：【知识点】菱形的性质；平面直角坐标系；相似三角形的判定和性质；垂线段最短15. （2019内蒙古赤峰，12，3
14、分）如图，D、E分别是ABC边AB，AC上的点，ADEACB，若AD2，AB6，AC4，则AE的长是（）A1B2C3D4【答案】C【解析】解：ADEACB，AA，ADEACB，ADAC=AEAB，即24=AE6，解得，AE3，故选：C【知识点】相似三角形的判定与性质16.（2019四川省雅安市，8，3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与A1B1C 1相似的是（ ）A B C D【答案】B【解析】根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出右图中的阴影三角形与已知三角形
15、相似，已知的三角形的各边分别为1， A中三边分别为：，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；B中三边分别为：，2，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；C中三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；D中三边分另为：2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选：B 【知识点】相似三角形的判定；及勾股定理二、填空题1. （2019广西河池，T14，F3分）如图，以点为位似中心，将放大后得到，则【答案】【解析】解：以点为位似中心，将放大后得到，故答案为：【知识点】位似变换2. （2019贵州遵义，16，4分） 如图，已
16、知O的半径为1，AB，AC是O的两条弦，且AB=AC，延长BO交AC于点D，连接OA,OC，若,则OD= 【答案】【解析】AB=AC，,D为AC的黄金分割点，AB=AC，ABC=ACB,OB=OC，OBC=OCB，ABO=ACO,由于AB=AC,AO=AO,BAOCAO，BAO=DA0AB=AC，OD=【知识点】等边对等角，三角形相似，黄金分割，三角形内角平分线定理3. （2019湖南张家界，14，3）如图：正方形ABCD的边长为1，点E、F分别为BC、CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tanAPD 第14题图【答案】2【解析】如答图，过点D作DGAE于点G 第14题答图四边形
17、ABCD是正方形，ABBCAD，ABCBCD90点E、F分别为BC、CD边的中点，BECFABABEBCFCBFBAECBFABF90，BAEABF90即APB90在RtABE中，由勾股定理，得AE在RtABE中，BPAE，APBABEAPPEBP易证AGDBPA，DGAP，AGBPGP在RtDGP中，tanAPD2答案为2【知识点】正方形的性质；线段的中点；全等三角形的性质与判定；勾股定理；相似三角形的性质与判定；锐角三角函数4. （2019湖南郴州，10，3分）若x+yx=32，则yx= 【答案】12【解析】解：x+yx=32，2x+2y3x，故2yx，则yx=12故答案为：12【知识点】
18、比例的性质5. (2019内蒙古包头市，20题，3分) 如图10，在RtABC中，ABC=900，BC=3，D为斜边AC的中点，连接BD，F是BC边上的动点(不与点B，C重合)，过点B作BEBD交DF延长线于点E，连接CE，下列结论：若BF=CF，则CE2+AD2=DE2；若BDE=BAC，AB=4，则CE=158；ABD与CBE一定相似；若A=300，BCE=900，则DE=21.其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)【答案】【思路分析】（1）由ABC=900，D为AC中点可知BCD是等腰三角形，又因为BF=CF可知DFBC，BF=CF即DF为BC的垂直平分线，从而得到CE=BE；又因为
19、DBE=900，故BD2+BE2=DE2，在根据BD=AD，BE=CE,即可得到结论；（2）由BDE=BAC可证明DFAB，从而得到DF是ABC的中位线，故DF=12AB=2；再判定BDFCDB得到BDDF=DEBD，求出DE的长；最后在RtBDE中求出BE的长，由可知CE=BE即可求出答案；（3）由A=300，BD=CD得到BCD为等边三角形，故DBC=600；由DBE=900得到CBE=300，由BCE=900，BC=3求出BE的的长度；最后在RtBDE中，利用勾股定理求出DE的长.【解题过程】解：对于，ABC=900，D为AC中点，BD=CD=AD=12AC，又F为BC的中点，DFBC，
20、BF=CF，DF为BC的垂直平分线，EB=EC，在RtBDE中，BD2+BE2=DE2，又BD=AD，BE=CE,AD2+CE2=DE2.故正确；对于，在RtABC中，AC=AB2+BC2=5.由可知AD=BD=12AC=52，A=ABD，又BDE=BAC，BDE=ABD，DFAB，DFC=ABC=900，即DFBC，BD=CD，BF=FC，又AD=CD，DF为ABC的中位线，DF=12AB=2.DBE=DFB，BDF=EDB，BDFCDB，BDDF=DEBD，即DE=BD2DF=(52)22=258.由可知CE=BE=DE2-BD2=158.故正确.对于，ABD一定是等腰三角形，而CBE不一
21、定是等腰三角形，ABD和CBE不一定相似.故错误；对于，A=300，ABC=900,ACB=600，又BD=DC，BCD是等边三角形，DBC=600，又DBE=900,CBE=DBE-DBC=300，在RtBCE中，CBE=300，cosCBE=BCBE,BE=BCcosCBE=332=23.在RtBDE中，DE=BE2+BD2=21.故正确.故答案为.【知识点】直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，特殊角三角函数.6.（2019年陕西省，14，3分）如图，在RtABC中，BD是ABC的角平分线，过点D作交边于点E若，则图中阴影部分面积为 第14题答图 【答案】1【思路分析】利用角平
22、分线的定义求得，所以DBE是直角三角形，过点D作AB,CD的垂线，然后利用三角形相似得到边的比例关系，通过勾股定理，即可求出需要的边的长度，利用面积公式，可以求得最终答案【解题过程】过点D作，垂足为点F，过点D作，垂足为点G，因为，所以，因为，所以，所以四边形DFBG为矩形，因为BD是ABC的角平分线，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，,又因为,所以 （等腰三角形三线合一），所以（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），因为四边形DFBG为矩形， ，所以矩形DFBG为正方形，所以，所以，所以，设，则，所以，在RtABC中，由勾股定理得，即，解得或（舍去），所以，所以阴影部分的面积等于【知识点
23、】角平分线的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、用割补法求不规则几何图形的面积7. (2019黑龙江大庆,14题,3分)如图,在ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,AD与BE相交于点G,若DG1,则AD_.第14题图【答案】8【解析】过点D作DFBE交AC于点F,所以,因为AEEC,所以,所以,因为DG1,所以AD3第14题答图【知识点】平行线分线段成比例8. 2019黑龙江省龙东地区，9，3） 一张直角三角形纸片ABC，ACB90，AB10，AC6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当BDE是直角三角形时，则CD的长为_
24、【答案】3或.【思路分析】在BDE中，B是锐角，有两种可能，DEB或EDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即可.【解题过程】如图1，DEB是直角时，ACB90，AB10，AC6，BC=8,设CD=x，则BD=8-x，由折叠知CD=ED=x，ACBDEB=90，BEDBCA，即，解得x=3;如图2，EDB是直角时，EDAC，BEDBAC，,即，解得x=，综上，CD的长为3或.图1图2【知识点】轴对称；勾股定理；相似三角形9.（2019吉林省，13，3分）在某一时刻，侧的一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为 m 【答案】54【解析】由同一时刻阳光下
25、的影子与物高之间的关系可得，可求得这栋楼的高度为54米.【知识点】由同一时刻阳光下的影子与物高之间的关系，图形的相似的实际应用2. 10. （2019吉林省，12，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=10，BDAD，若将BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为 【答案】20【解析】BDAD，E为AB的中点，BE=DE=5，折叠，BC=BE=5,CD=DE=5,四边形BCDE的周长为5+5+5+5=20【知识点】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，折叠的性质11. （2019江苏常州，18，2）如图，在矩形ABCD中，AD3AB3点P是AD的中点，点E在BC上，
26、CE2BE，点M、N在线段BD上若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN_第18题图【答案】6【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点首先由勾股定理，求得BD10，然后由“AD3AB3点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE”，求得PD，CE2，这样由tanDEC；第四步过点P作PHBD于点H，在BD上依次取点M、N，使MHNH2PH，于是因此PMN是所求符合条件的图形；第五步由DPHDBA，得，即，得PH，于是MN4PH6，本题答案为6第18题答图【知识点】矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理
27、、锐角三角函数；压轴题12. （2019辽宁本溪，13，3分）如果关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是 .【答案】k4.【解析】解：根据题意得：=16-4k0，解得：k4，故答案为k4【知识点】根的判别式14.（2019辽宁本溪，14，3分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，得到A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为 .【答案】（2，1）或（-2，-1）【解析】解：以点O为位似中心，相们比为，把ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4，2）或（-4，-2），即（
28、2，1）或（-2，-1），故答案为（2，1）或（-2，-1）【知识点】坐标与图形性质；位似变换13. （2019江苏常州，18，2分）如图，在矩形ABCD中，AD3AB310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE，点M、N在线段BD上若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN 【答案】6【解析】解：作PFMN于F，如图所示：则PFMPFN90，四边形ABCD是矩形，ABCD，BCAD3AB310，AC90，ABCD=10，BD=AB2+AD2=10，点P是AD的中点，PD=12AD=3102，PDFBDA，PDFBDA，PFAB=PDBD，即PF10=310210，解得：PF=32，
29、CE2BE，BCAD3BE，BECD，CE2CD，PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，PFMN，MFNF，PNFDEC，PFNC90，PNFDEC，NFPF=CECD=2，NF2PF3，MN2NF6；故答案为：6【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理14. （2019四川泸州，16，3分）如图，在等腰RtABC中，C90，AC15，点E在边CB上，CE2EB，点D在边AB上，CDAE，垂足为F，则AD的长为 【答案】92【解析】解：过D作DHAC于H，在等腰RtABC中，C90，AC15，ACBC15，CAD45，AHDH，CH15DH，CFAE，DHADF
30、A90，HAFHDF，ACEDHC，DHAC=CHCE，CE2EB，CE10，DH15=15-DH10，DH9，AD92，故答案为：92【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质三、解答题1. （2019广西北部湾，25，10分）如图1，在正方体ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BFCE于点G，交AD于点F.（1）求证：ABFBCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC=DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CMDG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值.【思路分析】本题主要考查全等三角形的判定，相
31、似三角形的判定与性质以及正方形的性质.（1）根据BFCE可得GCB+CBG=90，根据正方形的性质可得CBE=90=A，BC=AB，进而得出GCB=FBA，证明出结论；（2）过点D作DQCE于点H，设CD=BC=2a，首先根据E为AB中点以及勾股定理可得CE的长，根据等面积法求出BG和CG的长，然后根据正方形的性质可证CQDBGC，得出GQ=CQ，最后证明出DGQDCQ即可；（3）由（2）可求出CH的长，根据MDH+HDC=90，HCD+HDC=90可证CHDDHM，进而得出HM的长，根据NGH+CGH=90，HCG+CGH=90可证NGHGCH，进而得出MN的长，进而求出答案.【解题过程】（
32、1）证明：BFCE，CGB=90，GCB+CBG=90.四边形ABCD是正方形，CBE=90=A，BC=AB，FBA+CBG=90，GCB=FBA，ABFBCE（ASA）.（2）证明：过点D作DQCE于点H，设CD=BC=2a，E为AB中点，EA=EB=a，CE=,在RtCEB中，根据面积相等，得BGCE=CBEB，BG=，CG=.DCE+BCE=90，CBF+BCE=90，DCE=CBF.CD=BC，CQD=CGB=90，CQDBGC（AAS），CQ=BG=，GQ=CG-CH=CQ.DQ=DQ，CQD=GQD=90，DGQDCQ（SAS）CD=GD.（3）解：SCDG=CGDQ=CHDG，C
33、H=，在RtCHD中，CD=2a，DH=.MDH+HDC=90，HCD+HDC=90，MDH=HCD，CHDDHM，CH:DH=DH:HM=8:6=4:3,HM=，在RtCHG中，CG=，CH=，GH=，NGH+CGH=90，HCG+CGH=90，NGH=HCG，NGHGCH，=，HN=，MN=HM-HN=，=.【知识点】全等三角形的判定；相似三角形的判定与性质；正方形的性质.2. (2019黑龙江绥化,23题,9分)如图,在正方形ABCD中,AB6,M为对角线BD上任意一点(不与B,D重合)连接CM,过点M作MNCM,交线段AB于点N.(1)求证:MNMC;(2)若DM:DB2:5,求证:A
34、N4BN;(3)如图,连接NC交BD于点G,若BG:MG3:5,求NGCG的值.第28题图【思路分析】(1)构造全等三角形,通过证全等得到线段相等;(2)求出相应线段长度,即可得到结论;(3)旋转构造全等三角形,将条件转化,在BGH中,利用边的比例关系,结合相似,得到比例式,进而求得结果.【解题过程】(1)如图,过M分别作MEAB交BC于点E,MFBC交AB于点F,则四边形BEMF是平行四边形,四边形ABCD是正方形,ABC90,ABDCBDBME45,MEMF,CMMN,CMN90,FME90,CMEFMN,MFNMEC,MNMC;(2)证明:由(1)得:FMAD,EMCD,AF2.4,CE
35、2.4,MFNMEC,FNEC2.4,AN4.8,BN1.2,AN4BN;(3)把DMC绕点C逆时针旋转90得到BHC,连接GH,DMCBHC,BCD90,MCHC,DMBH,CDMCBH,DCMBCH45,MBH90,MCH90,MCMN,MCMN,MNC是等腰直角三角形,MNC45,NCH45,MCGHCG,MGHG,BG:MG3:5,设BG3a,则MGGH5a,在RtBGH中,BH4a,则MD4a,正方形ABCD的边长为6,BD6,DM+MG+BG12a6,a,BG,MG,MGCNGB,MNGGBC45,MGCNGB,CGNGBGMG.第28题答图【知识点】全等三角形,平行线分线段成比例
36、,旋转,相似三角形3. （2019湖南张家界，17，5）如图，平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BEAB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G（1）求证：BFCF；（2）若BC6，DG4，求FG的长第17题图【思路分析】（1）先由平行四边形的性质，得ABCD，ADBC，ABCD，ADBC，再由平行线性质及等式性质，得ECDF，EBFDCF，BECD，最后利用全等三角形知识锁定答案（2）利用相似三角形的判定与性质，证明AGDCGF，再将相关数据代入即可求出FG的长【解题过程】（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，ABCD，ADBC ECDF，EBFDCFB
37、EAB，BECDBEFCDFBFCF（2）BC6，BFCF，CF3，AD6ADBC，AGDCGFFG2【知识点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质4. （2019湖南郴州，25，10分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H（1）求证：A1DEB1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为DEF内
38、一点，且DGF150，试探究DG，EG，FG的数量关系【思路分析】（1）由折叠图形的性质可得DA1EEB1H90，DEA1+HEB190从而可得DEA1EHB1，依据两个角对应相等的三角形相似可得A1DEB1EH；（2）由A1恰好落在直线MN上可知A1在EF的中点，由SAS易证A1DEA1DF，即可得ADEEDA1FDA130，（3）将DGE逆时针旋转60到DGF位置，由旋转的旋转将DG，EG，FG集中到GGF中结合DGF150，可得GGF为直角三角形，由勾股定理可得GG2+GF2GF2，即可证明DG2+GF2GE2，【解题过程】解：（1）证明：由折叠的性质可知：DAEDA1E90，EBHEB
39、1H90，AEDA1ED，BEHB1EH，DEA1+HEB190又HEB1+EHB190，DEA1EHB1，A1DEB1EH；（2）结论：DEF是等边三角形；理由如下：直线MN是矩形ABCD的对称轴，点A1是EF的中点，即A1EA1F，在A1DE和A1DF中DA1=DA1DA1E=DA1F=90A1E=A1F，A1DEA1DF（SAS），DEDF，FDA1EDA1，又ADEA1DE，ADF90ADEEDA1FDA130，EDF60，DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2GE2，理由如下：由（2）可知DEF是等边三角形；将DGE逆时针旋转60到DGF位置，如解图（1），GFGE，DGDG，GDG60，DGG是等边三角形，GGDG，DGG60，DGF150，GGF90，GG2+GF2GF2，DG2+GF2GE2，【知识点】翻折变换；相似三角形证明；全等三角
