1、2019年高考数学试题分项版不等式（解析版）一、选择题1(2019全国文，11)记不等式组xy6，2xy0表示的平面区域为D.命题p：(x，y)D,2xy9；命题q：(x，y)D,2xy12.下面给出了四个命题：pq；()q；p()；()()这四个命题中，所有真命题的编号是()A B C D答案A解析方法一画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示目标函数z2xy是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z2xy在y轴上的截距显然，当直线过点A(2,4)时，zmin2248，即z2xy8.2xy8，)由此得命题p：(x，y)D,2xy9正确；命题q：(x，y)D,2xy12不正确真，假方法二取x4
2、，y5，满足不等式组xy6，2xy0，且满足2xy9，不满足2xy12，故p真，q假真，假2(2019天津文，2)设变量x，y满足约束条件xy20，xy20，x1，y1，则目标函数z4xy的最大值为()A2 B3 C5 D6答案C解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线4xy0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值由x1，xy20，可得x1，y1，所以点A的坐标为(1,1)，故zmax4(1)15.3(2019天津文，3)设xR，则“0x5”是“|x1|1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由|x1|1可得0x2，所以“|x1|1的
3、解集”是“0x5的解集”的真子集故“0x5”是“|x1|1”的必要不充分条件4(2019浙江，3)若实数x，y满足约束条件x3y40，3xy40，xy0，则z3x2y的最大值是()A1 B1 C10 D12答案C解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，数形结合可知，当直线z3x2y过点A(2,2)时，z取得最大值，zmax6410.5(2019浙江，5)设a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析因为a0，b0，所以ab2ab，由ab4可得2ab4，解得ab4，所以充分性成立；当ab4时，取a8，b13，满足ab
4、4，但ab4，所以必要性不成立，所以“ab4”是“ab4”的充分不必要条件6(2019全国理，6)若ab，则()Aln(ab)0 B3a0 D|a|b|答案C解析由函数yln x的图象(图略)知，当0ab1时，ln(ab)b时，3a3b，故B不正确；因为函数yx3在R上单调递增，所以当ab时，a3b3，即a3b30，故C正确；当ba0时，|a|b|，故D不正确故选C.7(2019北京理，5)若，满足，且，则的最大值为AB1C5D7【思路分析】由约束条件作出可行域，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解析】：由作出可行域如图，联立，解得，令，化为，由图
5、可知，当直线过点时，有最大值为故选：【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8(2019天津理，2)设变量x，y满足约束条件xy20，xy20，x1，y1，则目标函数z4xy的最大值为()A2 B3 C5 D6答案C解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线4xy0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值由x1，xy20，可得x1，y1，所以点A的坐标为(1,1)，故zmax4(1)15.9(2019天津理，3)设xR，则“x25x0”是“|x1|1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由x25x0可得0
6、x5.由|x1|1可得0x2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x25x0”是“|x1|1”的必要不充分条件二、填空题1(2019全国文，13)若变量x，y满足约束条件2x+3y-60,xy30，y20，则z3xy的最大值是_答案9解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线y3xz过点C时，z最小，即z最大由xy30，2x3y60，解得x3，y0，即C点坐标为(3,0)，故zmax3309.2(2019北京文，10)若x，y满足x2，y1，4x3y10，则yx的最小值为_，最大值为_答案31解析x，y满足的平面区域如图(阴影部分)所示设zyx，则
7、yxz.把z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线yxz在y轴上的截距，通过图象可知，当直线yxz经过点A(2,3)时，z取得最大值，此时zmax321.当经过点B(2，1)时，z取得最小值，此时zmin123.3(2019天津文，10)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_答案-1,23解析3x2x20变形为(x1)(3x2)0，解得1x23，故使不等式成立的x的取值范围为-1,23.4(2019天津文，13)设x0，y0，x2y4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为_答案92解析(x+1)(2y+1)xy2xy+x+2y+1xy2xy+5xy25xy.x
8、0，y0且x2y4，422xy(当且仅当x2，y1时取等号)，2xy4，1xy12，25xy25292.5(2019天津理，13)设x0，y0，x2y5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为_答案43解析(x+1)(2y+1)xy2xy+2y+x+1xy2xy+6xy2xy6xy .由x2y5得522xy，即xy524，即xy258，当且仅当x2y52时等号成立所以2xy6xy22xy6xy43，当且仅当2xy6xy，即xy3时取等号，结合xy258可知，xy可以取到3，故(x+1)(2y+1)xy的最小值为43.三、 解答题1(2019全国文，23)选修45：不等式选讲已知a，b，c为正数
9、，且满足abc1.证明：(1)1a1b1ca2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且abc1，故有a2b2c2abbccaab+bc+caabc1a1b1c.所以1a1b1ca2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333a+b3b+c3a+c33(ab)(bc)(ac)3(2ab)(2bc)(2ac)24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.2(2019全国文，23)选修45：不等式选讲已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2
10、)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1)(2)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)2.解当x2，解得x2，即x12时，原不等式可化为x2x12，解得x1.综上，原不等式的解集为x|x1.5(2019全国理，23)选修45：不等式选讲已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)1a1b1ca2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c
11、22bc，c2a22ac，且abc1，故有a2b2c2abbccaab+bc+caabc1a1b1c.所以1a1b1ca2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333a+b3b+c3(a+c)33(ab)(bc)(ac)3(2ab)(2bc)(2ac)24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.6(2019全国理，23)选修45：不等式选讲已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；
12、当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1)(2)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以，a的取值范围是1，)7(2019全国理，23)选修45：不等式选讲设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)213成立，证明：a3或a1.(1)解由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知，得(x1)2(y1)2(z1)243，当且仅当x53，y13，z13时，等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为43.(2)证明由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知，得(x2)2(y1)2(za)22+a23，当且仅当x4-a3，y1-a3，z2a-23时，等号成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值为2+a23.由题设知2+a2313，解得a3或a1.
