1、动态问题一.选择题1.（2019四川省达州市3分）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合现将EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止在这个运动过程中，正方形ABCD和EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）ABCD【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决【解答】解：当0t2时，S，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2t4时，S，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C【点评】本题考查
2、动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答2. （2019黑龙江省绥化市3分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB4，EF2，设AEx当PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（）当x0（即E、A两点重合）时，P点有6个当0x42时，P点最多有9个当P点有8个时，x22当PEF是等边三角形时，P点有4个ABCD答案：B考点：正方形的性质，等腰三角形，等边三角形的判定。解析：当x0（即E、A两点重合）时，如下图，分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个P点，以AF为直径作圆，有2个P点，共6个
3、，所以，正确。当0x42时，P点最多有8个，故错误。 3（2019山东泰安4分）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4CD【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPF
4、P由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45，DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BC2BP12PB的最小值是2故选：D【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度4（2019山东潍坊3分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D设运动的路程为x，
5、ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）ABCD【分析】由题意当0x3时，y3，当3x5时，y3（5x）x+由此即可判断【解答】解：由题意当0x3时，y3，当3x5时，y3（5x）x+故选：D【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题，属于中考常考题型二.填空题1.（2019四川省广安市3分）如图，在四边形中，,直线.当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、.设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图所示，则四边形的周长是 . 图8.1【答案】【解析】由题意和图像易知BC=5，AD=7-4=3
6、当BE=4时（即F与A重合），EF=2，又因为且B=30，所以AB=，因为当F与A重合时，把CD平移到E点位置可得三角形AED为正三角形，所以CD=2，故答案时.2（2019山东潍坊3分）如图，直线yx+1与抛物线yx24x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当PAB的周长最小时，SPAB【分析】根据轴对称，可以求得使得PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得PAB的面积，本题得以解决【解答】解：，解得，或，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），AB3，作点A关于y轴的对称点A，连接AB与y轴的交于P，则此时PAB的周长最小，点A的坐标
7、为（1，2），点B的坐标为（4，5），设直线AB的函数解析式为ykx+b，得，直线AB的函数解析式为yx+，当x0时，y，即点P的坐标为（0，），将x0代入直线yx+1中，得y1，直线yx+1与y轴的夹角是45，点P到直线AB的距离是：（1）sin45，PAB的面积是：，故答案为：【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答三.解答题1.（2019湖北省仙桃市10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边
8、OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动设运动的时间为t秒，PQ2y（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：y25t280t+100（0t4）；（2）当PQ3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y（k0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由【分析】（1）过点P作PEBC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y关于t的函数解析式（由时间路程速度可得出t的取值范围）；（2）将PQ3代入（1）的结论中可得出关于t
9、的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）连接OB，交PQ于点D，过点D作DFOA于点F，利用勾股定理可求出OB的长，由BQOP可得出BDQODP，利用相似三角形的性质结合OB10可求出OD6，由CBOA可得出DOFOBC，在RtOBC中可求出sinOBC及cosOBC的值，由OFODcosOBC，DFODsinOBC可求出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解【解答】解：（1）过点P作PEBC于点E，如图1所示当运动时间为t秒时（0t4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（82t，6），PE6，EQ|82t3t|85t|，PQ2PE2+EQ262+|85t
10、|225t280t+100，y25t280t+100（0t4）故答案为：y25t280t+100（0t4）（2）当PQ3时，25t280t+100（3）2，整理，得：5t216t+110，解得：t11，t2（3）经过点D的双曲线y（k0）的k值不变连接OB，交PQ于点D，过点D作DFOA于点F，如图2所示OC6，BC8，OB10BQOP，BDQODP，OD6CBOA，DOFOBC在RtOBC中，sinOBC，cosOBC，OFODcosOBC6，DFODsinOBC6，点D的坐标为（，），经过点D的双曲线y（k0）的k值为【点评】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判
11、定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ3时t的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标2（2019山东青岛12分）已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，ACB90，AB10cm，BC8cm，OD垂直平分A C点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动过点P作PEAB，交BC于点E，过点Q作QFAC，分别交AD，OD于点F，G连接OP，EG设运动时间为t
12、（s）（0t5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OEOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）当点E在BAC的平分线上时，因为EPAB，ECAC，可得PEEC，由此构建方程即可解决问题（2）根据S四边形OPEGSOEG+SOPESOEG+（SOPC+SPCESOEC）构建函数关系式即可（3）利用二次函数的性质解决问题即
13、可（4）证明EOCQOG，可得tanEOCtanQOG，推出，由此构建方程即可解决问题【解答】解：（1）在RtABC中，ACB90，AB10cm，BC8cm，AC6（cm），OD垂直平分线段AC，OCOA3（cm），DOC90，CDAB，BACDCO，DOCACB，DOCBCA，CD5（cm），OD4（cm），PBt，PEAB，易知：PEt，BEt，当点E在BAC的平分线上时，EPAB，ECAC，PEEC，t8t，t4当t为4秒时，点E在BAC的平分线上（2）如图，连接OE，PCS四边形OPEGSOEG+SOPESOEG+（SOPC+SPCESOEC）（4t）3+3（8t）+（8t）t3（8t
14、）t2+t+16（0t5）（3）存在S（t）2+（0t5），t时，四边形OPEG的面积最大，最大值为（4）存在如图，连接OQOEOQ，EOC+QOC90，QOC+QOG90，EOCQOG，tanEOCtanQOG，整理得：5t266t+1600，解得t或10（舍弃）当t秒时，OEOQ【点评】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型3（2019山东威海12分）如图，在正方形ABCD中，AB10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EFAE，交直线BC于点FE点从B
15、点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止设BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒（1）求证：CEEF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求BEF面积的最大值【分析】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明AEMEFN和ADECDE（SAS），可得AECEEF；（2）根据三角形的面积公式可得y与x之间关系的函数表达式，根据勾股定理计算BD的长可得x的取值；（3）利用配方法可得结论【解答】（1）证明：过E作MNAB，交AD于M，交BC于N，四边形ABCD是正方形，ADBC，ABAD，MNAD，MNBC，AMEFNE90NFE+FE
16、N，AEEF，AEFAEM+FEN90，AEMNFE，DBC45，BNE90，BNENAM，AEMEFN（AAS），AEEF，四边形ABCD是正方形，ADCD，ADECDE，DEDE，ADECDE（SAS），AECEEF；（2）解：在RtBCD中，由勾股定理得：BD10，0x5，由题意得：BE2x，BNENx，由（1）知：AEMEFN，MEFN，ABMN10，MEFN10x，BFFNBN10xx102x，y2x2+5x（0x5）；（3）解：y2x2+5x2（x）2+，20，当x时，y有最大值是；即BEF面积的最大值是【点评】此题是四边形的综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾
17、股定理，三角形面积，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，难度适中，熟练掌握正方形中利用辅助线构建全等来解决问题是本题的关键4(2019湖南益阳12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB4，BC6若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动(1)当OAD30时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosOAD的值【分析】(1)作CEy轴，先证CDEOAD30得C
18、ECD2，DE2，再由OAD30知ODAD3，从而得出点C坐标；(2)先求出SDCM6，结合S四边形OMCD知SODM，SOAD9，设OAx、ODy，据此知x2+y236，xy9，得出x2+y22xy，即xy，代入x2+y236求得x的值，从而得出答案；(3)由M为AD的中点，知OM3，CM5，由OCOM+CM8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ONAD，证CMDOMN得，据此求得MN，ON，ANAMMN，再由OA及cosOAD可得答案【考点】动点问题【解答】解：(1)如图1，过点C作CEy轴于点E，矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO9
19、0，又OAD+ADO90，CDEOAD30，在RtCED中，CECD2，DE2，在RtOAD中，OAD30，ODAD3，点C的坐标为(2，3+2)；(2)M为AD的中点，DM3，SDCM6，又S四边形OMCD，SODM，SOAD9，设OAx、ODy，则x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，将xy代入x2+y236得x218，解得x3(负值舍去)，OA3；(3)OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，OM3，CM5，OCOM+CM8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ONAD，垂足为N，CDMONM90，CMDOMN，CMDOMN，即，解得MN，ON，ANAMMN，在RtOAN中，OA，cosOAD【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点
