1、第七章 常微分方程 一变量可分离方程及其推广 1变量可分离的方程 （1）方程形式： 通解 （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式： 通解 2变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 令， 则 二一阶线性方程及其推广 1一阶线性齐次方程 它也是变量可分离方程，通解，（为任意常数） 2一阶线性非齐次方程 用常数变易法可求出通解公式 令 代入方程求出则得 3伯努利方程 令把原方程化为 再按照一阶线性非齐次方程求解。4方程：可化为 以为自变量，为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解令，则
2、，原方程一阶方程，设其解为，即，则原方程的通解为。令，把看作的函数，则把，的表达式代入原方程，得一阶方程，设其解为即，则原方程的通解为。 四线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。 二阶齐次线性方程 （1） 二阶非齐次线性方程 （2） 1若，为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（，为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当（为常数），也即与线性无关时，则方程的通解为 2若，为二阶非齐次线性方程的两个特解，则为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。 3若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则
3、为此二阶非齐次线性方程的一个特解。 4若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解（，为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。 5设与分别是与 的特解，则是 的特解。五二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1二阶常系数齐次线性方程 其中，为常数， 特征方程特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）特征方程有两个不同的实根，则方程的通解为（2）特征方程有二重根 则方程的通解为（3）特征方程有共轭复根， 则方程的通解为2阶常系数齐次线性方程 其中为常数。 相应的特征方程 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。（1）若特征方程有个不同的实根则方程通解 （2）若为
4、特征方程的重实根则方程通解中含有 y=（3）若为特征方程的重共轭复根，则方程通解中含有 由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。六、二阶常系数非齐次线性方程 方程： 其中为常数 通解： 其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？ 1其中为次多项式，为实常数， （1）若不是特征根，则令 （2）若是特征方程单根，则令 （3）若是特征方程的重根，则令 2 或 其中为次多项式，皆为实常数（1）若不是
5、特征根，则令（2）若是特征根，则令例题：一、齐次方程1.求的通解解：令 ，2. 解：，令.(将y看成自变量), 所以 , , , , .二、一阶线形微分方程1. 解：可得. 这是以y为自变量的一阶线性方程解得 . , . 所以得解 .2.求微分方程的通解解：变形得：，是一阶线性方程 三、伯努力方程解：， ，令 , ，. 解得 ， 于是 四、可降阶的高价微分方程1.求的通解 解：令,原方程化为 属于一阶线性方程 2.解：令，得到 令, 得到为关于y的一阶线性方程. ，解得 所以 , .于是 , , , , 得到, 得解 五、二阶常系数齐次线形微分方程1.解：特征方程 ，于是得解 2.，解：特征方
6、程 , , , 得通解为 由 得到 , , , 得特解 六、二阶常系数非齐次线形微分方程 1.求的通解 解：先求齐次方程的通解，特征方程为，特征根为。因此齐次方程通解为设非齐次方程的特解为为特征根，因此设,代入原方程可得，故原方程的通解为2.求方程的通解 解：特征方程为，特征根为，因此齐次方程的通解为设非齐次方程的特解为,由于题目中不是特征根，因此设，代入原方程可得，解联立方程得，因此故原方程的通解为 3.解：特征根为，齐次方程的通解为：，待入原式得出：，所以，待入原式得出：，所以故原方程的通解为七、作变量代换后求方程的解1.求微分方程的通解解：令 原方程化为化简为 再令 ，最后Z再返回x,y
7、,v也返回x,即可。2.解：设，因为所以3. 解：令. 得到, 为一阶线性方程解得 . 即 .4.解：令, 则 . 原方程化为 , 为贝奴利方程，.令, 则. 方程化为 , 为一阶线性方程. 解得 . 即 , .八、综合题1.设f（x）x，其中f（x）连续，求f（x）解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得再对两边关于x求导，得 即 属于常系数二阶非齐次线性方程.对应齐次方程通解 ，非齐次方程特解设 代入方程求出系数A,B,C,D 则得，故f（x）的一般表达式由条件和导数表达式可知f（0）0，可确定出因此2.已知，是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.解：
8、由线性微分方程的解的结构定理可得，对应的齐次方程的解，由解与的形式，可得齐次方程为.设该方程为，代入，得.所以，该方程为， 其通解为.3.设内满足以下条件（1）求所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出的表达式解：可知所满足的一阶微分方程为（2）将 于是4.设函数在内具有二阶导数，且是的反函数（1）试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件，的解。解：（1）由反函数导数公式知 即，两端关于x求导得 ，所以。代入原微分方程得 （*）（2）方程（*）所对应的齐次方程的通解为设方程（*）的特解为A + B ，代入方程（*）求得A0，B，故，从而的通解是. 由 ，得，故
9、所初值问题的解为.5.设是以2为周期的连续函数，（1） 求微分方程的通解（2）以上这些解中，有没有以2为周期的解？若有，求出，若无，说明理由。解：（1）先解对应的齐次方程：带入上式，因为（2）若有以为周期的解，满足： 关键是看是否为周期函数： ，不是周期函数，所以没有为周期的解。6.已知曲线yf(x)（x0）是微分方程2y/+y/-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为0，试求：（1）曲线yf(x)到x轴的最大距离。（2）计算解：齐次方程通解为：，根据已知条件特解为：特解代入原式得：，所以，所以通解为：，由已知得：所以，所以求到轴的最大距离，即求的最大值。
10、，当时，所以到轴的最大距离为。（2）九、微分方程的几何和物理应用1.设函数二阶可导，且过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为区间上以为曲边的曲边梯形面积记为，并设恒为1，求此曲线的方程。解：在点的切线方程为：它与轴的交点为，由于，因此于是有，又因为， ，两边求导并化简得：解上述微分方程：设，则上述方程化为，即，根据。所以曲线方程为：2.设曲线的极坐标方程为，为任一点，为上一定点，若极径，与曲线所围成的曲边扇形面积值等于上两点间弧长值的一半，求曲线的方程。解：因为 由已知可得：，两边对求导可得：，即，设，3.有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，
11、P(x,y)为曲线上的任一点。设曲线在原点与P点之间的弧长为S1，曲线在P 点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S2，且=，求该曲线的方程。解：设曲线方程为， 曲线在P 点的切线方程为： 因此与轴的交点为：，因此因为=，所以两边求导得出：，解方程得出：4.设函数在上连续，若曲线，直线，与轴围成平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积，试求所满足的微分方程，并求的解.解：由题意可知 则，两边对t求导， ，得， 令，当 两边积分后得，方程通解为，再由，可得5.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆开始融化的3
12、小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时。解：设雪堆在时刻的体积，表面积为。由已知可得， ，于是，由，又因为，雪球全部融化时，即雪球全部融化需要6小时。6.有一房间容积为100，开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%，为了改善房间的空气质量，用一台风量为10/分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出10分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？解：设时刻二氧化碳的浓度为，在时间间隔，浓度改变，两边积分可得：因为所以7.有一容积为500的水池，原有100的清水，现在每分钟放进2浓度为50%的某溶液，同时每分钟放出1溶液，试求当水池充满时池中
13、溶液浓度。解：设时刻溶液中溶质的量为，在时间间隔，质量改变，这是一阶线性微分方程先解对应的齐次方程：，再解非齐次方程因为，当水池充满时，分钟，溶液浓度为8.某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含污染物A的污水量为，流出湖泊的水量为，已知1999年底中湖中A的含量为，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中含A污水的浓度不超过，问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量才可降至以内。（设湖水中A的浓度是均匀的）。解：设从2000年初（令此时，）开始，第年湖泊中污染物A的总量为，浓度为，则在时间间隔上，排入湖泊中A的量近似为，排出量为：，则在时
14、间间隔上，的改变量为：，分离变量解方程：代入初始条件，于是令，即至多需要经过年，湖泊中污染物A的含量才可以降至以内。9.已知某车间的容积为 ，其中的空气含的二氧化碳，现以含二氧化碳的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在分钟后使车间空气中二氧化碳的含量不超过，（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀，且以相同流量排出）。解：设每分钟应输入，时刻浓度为，在时间间隔，浓度改变，因为，当10.有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前容器内无液体）.(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；(2) 求曲线的方程.解： 液面的面积将以的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.(1) 设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为, 从而 (2) 液面的高度为y时，液体的体积为上式两边对y求导，得 ，即 解此微分方程，得 ，其中C为任意常数，由知C=2，故所求曲线方程为：
