1、锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、 锐角三角函数定义：在RtABC中，C=900, A、B、C的对边分别为a、b、c，则A的正弦可表示为：sinA=，A的余弦可表示为cosA=A的正切：tanA= ，它们弦称为A的锐角三角函数2、取值范围sinA cosA】例1如图所示，在RtABC中，C90第1题图_，_；_，_；_，_例2. 锐角三角函数求值：在RtABC中，C90，若a9，b12，则c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_例3已知：如图，RtTNM中，TMN90，MRTN于R点，TN4，MN3求：sinTMR、cosTMR、tanTMR典
2、型例题：类型一：直角三角形求值1已知RtABC中，求AC、AB和cosB2如图，O的半径OA16cm，OCAB于C点，求AB及OC的长3已知：O中，OCAB于C点，AB16cm，(1)求O的半径OA的长及弦心距OC；(2)求cosAOC及tanAOC4. 已知是锐角，求，的值对应训练：1在RtABC中，C90，若BC1，AB=，则tanA的值为AB C D2 2在ABC中，C=90，sinA=，那么tanA的值等于（ ）.AB.C.D. 类型二. 利用角度转化求值：1已知：如图，RtABC中，C90D是AC边上一点，DEAB于E点DEAE12求：sinB、cosB、tanB2 如图，直径为10
3、的A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cosOBC的值为（ ）A B C D3.如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DEAB，则这个菱形的面积=cm25.如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，则的值是（）AB C D6. 如图6，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处已知，AB=8,则的值为 ( ) 7. 如图7，在等腰直角三角形中，为上一点，若 ，则的长为( )A B C D8. 如图8，在RtABC中，C=90，AC=8，A的平分线AD=求B的度数及边BC、AB的长.类型三. 化斜三
4、角形为直角三角形例1如图，在ABC中，A=30，B=45，AC=2，求AB的长例2已知：如图，在ABC中，BAC120，AB10，AC5求：sinABC的值对应训练1如图，在RtABC中，BAC=90，点D在BC边上，且ABD是等边三角形若AB=2，求ABC的周长（结果保留根号）2已知：如图，ABC中，AB9，BC6，ABC的面积等于9，求sinB3. ABC中，A=60，AB=6 cm，AC=4 cm，则ABC的面积是A.2 cm2 .4 cm2C.6 cm2 D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A B C D对应
5、练习：1如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_.2如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为A. B. C. D.3正方形网格中，如图放置，则tan的值是（） A B. C. D. 2特殊角的三角函数值锐角a304560sinacosatana当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1求下列各式的值1）.计算：2）计算：.3）计算：31+(21)0tan30tan454计算：5计算：；例2求适合下列条件的锐角a (1)(2)(3)(4)（5）已知a 为锐角，且，求的值（6）在中，若，都是锐角，求.例3. 三角函数的增减性
6、1已知A为锐角，且sin A ，那么A的取值范围是A. 0 A 30 B. 30 A 60 C. 60 A 90 D. 30 A 902. 已知A为锐角，且，则 （ ）A. 0 A 60 B. 30 A 60 C. 60 A 90 D. 30 A 90例4. 三角函数在几何中的应用1已知：如图，在菱形ABCD中，DEAB于E，BE16cm，求此菱形的周长2已知：如图，RtABC中，C90，作DAC30，AD交CB于D点，求：(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD和tanBAD3. 已知：如图ABC中，D为BC中点，且BAD90，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD4.如图，在R
7、tABC中，C=90，点D在BC边上，DC= AC = 6，求tan BAD的值5.如图，ABC中，A=30，求AB的长.解直角三角形：1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下： 在RtABC中，C90，ACb，BCa，ABc，三边之间的等量关系：_两锐角之间的关系：_ 边与角之间的关系：_；_；_；_直角三角形中成比例的线段 在RtABC中，C90，CDAB于DCD2_；AC2_； BC2_；ACBC_类型一例1在RtABC中，C90(1)已知：a35，求A、B，b；(2)已知：，求A、B，c；(3)已知：，求a、b；(4)已知：求a、c；(5)已知：A60，ABC的面积求a、b、c
8、及B例2已知：如图，ABC中，A30，B60，AC10cm求AB及BC的长例3已知：如图，RtABC中，D90，B45，ACD60BC10cm求AD的长例4已知：如图，ABC中，A30，B135，AC10cm求AB及BC的长类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例1如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30、45，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A200米B200米C220米D100（）米例2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点已知BAC
9、60，DAE45点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC例3.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角DCA=60，测得山顶B的仰角DCB=30，求风力发电装置的高AB的长例4.如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.例5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30，测得岸边点D的俯角为45，又知河宽CD为50m现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)例6如图，为测量某物体A
10、B的高度，在D点测得A点的仰角为30，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60，则物体AB的高度为（）A10米B10米C20米D米例7超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，BAC=75（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin750.9659，cos750.2588，tan753.732，1.732，60千米/小时1
11、6.7米/秒）类型四. 坡度与坡角例如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A100m B100m C150m D50m 类型五. 方位角1已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)综合题：三角函数与四边形：1如图，四边形ABCD中，BAD=135，BCD=90，AB=BC=2，tanBDC= (1)求BD的长； (2)求AD的长2如图，在平行四边形中，过点A分别作AE
12、BC于点E，AFCD于点F（1）求证：BAE=DAF；（2）若AE=4，AF=，求CF的长三角函数与圆：1.已知：在O中,AB是直径，CB是O的切线，连接AC与O交于点D,(1) 求证：AOD=2C(2) 若AD=8，tanC=，求O的半径。2.如图，DE是O的直径，CE与O相切，E为切点.连接CD交O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.（1）求证:BF是O的切线;（2）若, DE=9，求BF的长1已知，则锐角A的度数是 ABCD2在RtABC中，C90，若BC1，AB=，则tanA的值为AB C D2 3在ABC中，C=90，sinA=，那么tanA的值等于（ ）.AB.C.D. 4.
13、 若，则锐角. 5如图，在RtABC中，C90，BC3，AC=2， 则tanB的值是ABCD6将放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan的值是A B2 C D7. ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是 A. B. C. D. 8如图，在直角三角形中，斜边的长为，则直角边的长是（）ABCD9如图，已知P是射线OB上的任意一点，PMOA于M，且OM : OP=4 : 5，则cos的值等于（ ）A B C D10如图，AB为O的弦，半径OCAB于点D，若OB长为10，则AB的长是 A . 20 B. 16 C. 12 D. 811.在RtABC中，C=90，如果cosA=，那么tanA
14、的值是 A B C D12如图，在ABC中，ACB=ADC= 90，若sinA=，则cosBCD的值为13. 计算：13计算.14计算：15已知在RtABC中，C90，a=，b=.解这个直角三角形16.如图，在RtABC中，CAB=90，AD是CAB的平分线，tanB=，求的值17如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端 处的俯角,荷塘另一端处、在同一条直线上，已知米，米，求荷塘宽为多少米？（结果保留根号）18.（6分）如图，在ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知2A +B = （1）求证：BC是O的切线； （2）若OA=6，BC=8，求BD的长 19如图，在R
15、tABC中，C=90，点D在AC边上若DB=6，AD=CD，sinCBD=，求AD的长和tanA的值20如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30方向上的B处.（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由21已知，如图，在中，以DC为直径作半圆，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，（1）求证：BF是的切线；DOACBFE（2）若，求的
16、半径22如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60，求楼AB的高23海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。24如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=10.5，求山的高度（不计测角仪的高度，结果保留整数）25如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45降为30，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 (参考数据： )
