1、 二次函数一、二次函数概念：.二次函数的概念:一般地，形如（是常数,)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数.2 二次函数的结构特征： 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是 是常数,是二次项系数，是一次项系数,是常数项.二、二次函数的基本形式1 二次函数基本形式:的性质:的绝对值越大,抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大;时,随的增大而减小；时，有最小值.向下轴时，随的增大而减小；时,随的增大而增大;时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上
2、轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时，有最小值向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大；时，有最大值.3 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上Xh时，随的增大而增大；时,随的增大而减小;时,有最小值.向下X=h时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有最大值.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大；时，随的增大而减小;时，有最小值.向下X=h时，随的增大而减小;时,随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法
3、如下: 2 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减” 四、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即，其中.六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时，有最小值 2. 当时,抛物线开口向下，对称轴为,顶点坐标为当时，随的增大而增大;当时，随的增大而减小；当时，有最大值七、二次函数解析式的表示方法 一般式：（，,为常数，）;. 顶点式：(,，为常数，）;.两根式(交点式）:（,是抛物线与轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数
4、的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 当时,抛物线开口向上，的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大; 当时，抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大，开口越大.2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.(同左异右 b为对称轴为y轴) 常数项 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时
5、，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负. 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况)：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时,图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方,无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,；二次函数对应练习试题一、选择题1 二次函数的顶点坐标是( ).(2,11） B.(2,) .(,1
6、1) D. （2，）.把抛物线向上平移1个单位,得到的抛物线是( )A . C. D. 3函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:a，b同号;当和时，函数值相等;当时, 的值只能取.其中正确的个数是( ） A1个 B2个 . 3个 D 4个5.已知二次函数的顶点坐标(-1,-3.）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是( ）1.3 B.-2.3 .-03 D.-3.36已知二次函数的图象如图所示,则点在( ）第一象限 B.第二象限C第三象限 D.第四象限7.方程的正根的个数为( )A.个 B.1个 C.个. 个8.已知抛
7、物线过点A(2,0),B(1，0)，与轴交于点C,且O=2.则这条抛物线的解析式为. B . 或 D 或二、填空题二次函数的对称轴是，则_。10.已知抛物线=2（x3）+，如果随的增大而减小，那么x的取值范围是_1一个函数具有下列性质：图象过点(-，2），当0时，得 P（4，5)或P（-，）当0时,即，此方程无解.综上所述，满足条件的点的坐标为(4，5)或（，5)(）60（吨)（2）,化简得：()红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.(4)我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额来说,当x为10元时，月销售额W最大.当x为21元时,月
8、销售额W不是最大.小静说的不对 方法二：当月利润最大时,x为2元,此时,月销售额为17325元； 而当x为00元时，月销售额为100元1725180, 当月利润最大时，月销售额W不是最大小静说的不对二次函数应用题训练参考答案1、 （1)x13，13x30；（2);(3)3. 2、过A作AMB于M，交DG于N,则AM=16.设DE=xcm,矩形=yc2,则由ABC,故,即，故D(16-x）.yDDE=（16-x)x=-(2-16x）-(x-8)2+96,从而当x8时，y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.3、设第t秒时,PBQ的面积为y2.则AP=t，B=(6t)cm;又BQ=2
9、y=BBQ=（6-t）t=（-t)=t26t-（t-)2+9,当t=3时,y有最大值9.故第3秒钟时PQ的面积最大,最大值是9cm2.、解:（1)设抛物线的表达式为y=ax2bxc.由图知图象过以下点:(0,3.)，（1.,3.05).抛物线的表达式为y=.x2.5(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h ,则球出手时，球的高度为h.8+0.=(.0) m,+.05-0.2(.）2+3.5,h0.2(m）.5、解：（1）依题意得鸡场面积y=-y=-x2+x=(x250x)=(x25）2+，当x=5时,y最大,即鸡场的长度为25 m时，其面积最大为m2.()如中间有几道隔墙，则隔墙长为m.yx=x2+x=(x250x) =-(x-25）2+,当x2时,y最大=,即鸡场的长度为2 m时,鸡场面积为 m2.结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大,其长都是256、解：(1）=-22+8-280.（）y=2x2+8x2802(290x)-800=-2(4)+1250.当时，=1250每件商品售价定为45元最合适,此销售利润最大，为120元
