1、 长方体和正方体3一、概念：1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。5、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。6、物体所占空间的大小叫做物体的体积
2、。7、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。8、a 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a a a）二、计算公式：长方体公式：棱长和（长宽高）4底面积（占地面积、横截面积、上面积）长宽侧面积（左面、右面）宽高前（后）面积长高表面积（长宽长高宽高）2没盖的表面积长宽（长高宽高）2或（长宽长高宽高）2长宽体积（容积）长宽高底面积高正方体公式：棱长和棱长12棱长棱长和12表面积棱长棱长6（任意一个面积6）没盖的表面积棱长棱长5体积（容积）棱长棱长棱长底面积棱长 三、体积单位换算：高级单位化成低级单位 乘进率低级单位化成高级单位 除以进率进率：1立方米1000立方分米1000000立方厘米1立方分
3、米1000立方厘米1升1000毫升 1立方厘米1毫升一：长方体基本公式知识精讲长方体和正方体的基本公式图形体积表面积三点剖析重难点：长方体与正方体的棱长、表面积和体积计算注意单位要统一题模精讲题模一正方体相关计算例1.1.1、正方体的棱长之和36分米，它的表面积是多少？体积是多少？答案：54平方分米，27立方分米解析：每条棱长分米，所以表面积为平方分米，体积为立方分米。例1.1.2、将一个胶质的正方体扩大成另一个正方体，使新正方体的表面积是原正方体表面积的4倍，则新正方体的棱长是原正方体棱长的_倍，体积是原正方体体积的_倍答案：2；8解析：正方体的棱长扩大n倍，则正方体的表面积扩大倍，体积扩大
4、倍所以新正方体的表面积是原正方体表面积的4倍，则新正方体的棱长是原正方体棱长的2倍，体积是原正方体体积的8倍例1.1.3、14个棱长为1的正方体在地面上堆成如图所示的几何体，将它的表面（包括与地面接触部分）染成红色，那么红色部分的面积是_答案：42解析：几何体从上面、下面看到的面积相等是，左面、右面、前面、后面看到的面积相等是，故红色部分的面积是题模二长方体相关计算例1.2.1、一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱用三根铁丝捆起来(如图)，打结处要用1分米铁丝这根铁丝总长至少为_分米答案：43解析：分米例1.2.2、若一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的2倍，所有棱长之和是56，则此长方体的体
5、积是_答案：64解析：根据长、宽、高的倍数关系，所以长方体的高为，所以长方体的体积是例1.2.3、一个长方体的体积是1560，它的长、宽、高均为自然数，它的棱长之和最少是_答案：140解析：为使棱长之和最少，应让长、宽、高尽量接近，此时棱长之和为例1.2.4、在一个长20米、宽8米、深1.6米的长方体游泳池的四壁及地面贴磁砖，磁砖是边长为0.2米的正方形，共需磁砖_块答案：6240解析：横向块，纵向块，高块，共块例1.2.5、将一个长、宽分别是13厘米和19厘米的长方形纸板的四角分别去掉边长为2厘米的正方形后，折成一个无盖的长方体容器，那么这个容器是多少立方厘米？答案：270解析：容易底面长，
6、宽，高2cm，故容积为例1.2.6、一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米已知木板厚1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？答案：208平方厘米；192立方厘米解析：解法一：我们按下图的组合方式来求木板面积（当然还有很多别的分割方法）此时木盒的下方木板长10厘米，宽8厘米所以这块木板的面积为：平方厘米左右两块木板长8厘米，宽厘米所以这两块木板的面积为：平方厘米前后两块木板长厘米，宽厘米所以这两块木板的面积为：平方厘米综上，构建这个木盒所需要的木板面积为：平方厘米此时木盒的容积也就是木盒的内部体积，也就是木板围住的内部长方体的体积，
7、为：立方厘米解法二：从外面算起，木盒的体积为立方厘米而木盒的容积为立方厘米注意到木板体积正好等于，即立方厘米所以厚1厘米的木板一共有平方厘米例1.2.7、一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面的面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是_答案：32.3解析：长方体侧面积为平方分米，所以高为分米，体积为立方分米例1.2.8、一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米求这个长方体的表面积答案：148平方厘米解析：分别计算三种情况：，所以左右底面面积为：；，所以前后底面面积为：；，
8、所以上下底面面积为：；长方体表面积平方厘米题模三综合应用例1.3.1、一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米若它的棱长总和等于一个正方体的棱长总和，则长方体体积比正方体体积少_立方厘米答案：2解析：长方体的体积是立方厘米长方体的棱长总和是厘米，所以正方体的棱长是厘米正方体的体积是立方厘米所以长方体体积比正方体体积少2立方厘米例1.3.2、一个长方体的高减少2厘米后，表面积减少48平方厘米，成为一个正方体正方体的体积是_立方厘米答案：216解析：设长方形的长为a厘米，宽为b厘米，则，所以又因为，所以，则正方形的体积是平方厘米例1.3.3、一个长15厘米，宽6厘米，高4厘米的正方体的木
9、块，可以截成多少块棱长2厘米的正方体木块？答案：42块解析：，所以可以截成个正方体木块例1.3.4、一块长方体木块长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米要把它裁成大小相等的正方体小木块，不许有剩余，小正方体的棱长最大是_分米答案：0.3解析：，所以小正方体的棱长的最大值是3厘米，即0.3分米例1.3.5、有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块最多能放多少块？答案：56解析：由于，故恰好可以摆放两层第一层摆长为5厘米、宽为4厘米、高为3厘米的长方体木块，共块；第二层摆长为5厘米、宽为3厘米、高为4厘米的长方体木块，共块
10、因此最多能放块随堂练习随练1.1、如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的_倍答案：43解析：假设小正方体棱长是1，大正方体棱长就是6，大正方体露在外面的表面积是，小正方体露在外面的表面积是5，所以有倍随练1.2、有一根长52厘米的铁丝，恰好可以焊接成一个长6厘米，宽4厘米，高多少厘米的长方体？答案：3厘米解析：厘米随练1.3、一个长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是4厘米它的表面积是_平方厘米答案：248解析：长方体的表面积是，即平方厘米
11、随练1.4、一个长方体的体积是12立方厘米，底面是面积为4平方厘米的正方形，这个长方体的表面积是_平方厘米答案：32解析：长方体的高是厘米，长和宽都是2厘米，所以长方体的表面积是平方厘米随练1.5、一个长方体的棱长之和是28厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于_立方厘米答案：8解析：，所以长宽高分别为1、2、4，体积为8随练1.6、如图所示，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是_立方厘米；如果四角去掉边长为3厘米的正方形，这个容器的体积是_立方厘米答案：90立方厘米；63立方厘米
12、解析：（1）把长方体容器的长、宽、高标在展开图中，如图所示：不难发现，折叠成的长方体容器的长是厘米，宽是厘米，高2厘米，因此容器的体积就是立方厘米（2）同理，折叠成的长方体容器的长是厘米，宽是厘米，高3厘米，因此容器的体积就是立方厘米随练1.7、一个边长为6厘米的正方体铁盒装满了水，将水倒入一个长9厘米，宽8厘米的长方形水槽内，若铁皮厚度不计，那么水深是_厘米答案：3解析：水的体积：平方厘米，水深（水的高度）厘米课后作业作业1、如图所示，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形请问：这个立体图形的表面积等于多少？答案：72平方米解析：首先，从上面往下面看，看到的图形是一个的正方形，面积
13、是16平方米从下往上看，看到的也是一个的正方形，面积也是16平方米接着再从四个侧面看，这四个侧面都一样，看到的图形如图所示，正好包含10个面积为1平方米的小正方形，所以每个侧面的面积为10平方米这样，这个立体图形的表面积就等于平方米作业2、所有表面积为150的长方体中，体积最大的是_答案：125解析：最优方案是正方体，其每个面的面积是，棱长为5cm，体积为作业3、给一个长、宽、高分别为10米、5米、4米的正方体房间粉刷，只粉刷墙壁和天花板，那么需要粉刷_平方米答案：170解析：长方体粉刷五个面，包括上面、左面、右面、前面和后面，即作业4、一个长方体底面是一个边长为20厘米的正方形，高为40厘米
14、，如果把它的高增加5厘米，它的表面积会增加多少？答案：400平方厘米解析：高增加5厘米，它的表面积会增加4个长20厘米，宽5厘米的面，共增加平方厘米作业5、一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的倍，求它的表面积答案：552平方厘米解析：长和宽的和为厘米，所以宽是厘米，长是厘米，表面积为平方厘米作业6、将一个长28厘米，宽18厘米的长方形铁片的四个角各截取一个边长为4的正方形再将此铁片折成一个无盖的长方体容器容器的容积为_立方厘米答案：800解析：折成的长方体长，宽，高4，体积作业7、一个长方体，它的正面和上面的面积之和是90，如果已知它长宽高是三个连续的自然数，那么这个长方体的
15、体积是_答案：336解析：，经试验，只有满足要求，长方体的体积是作业8、用一根长为36分米的铁丝做一个长方体框架，并且要求长是宽的2倍，长宽高都是整数分米如果不计损耗，可以做成长方体体积最大为_立方分米答案：解析：设宽为，长是，高是，所以体积是，后边三个数的和是固定的三个数相等的时候体积最大，这时，最大体积是作业9、（1）棱长为2的正方体的体积是_，表面积是_（2）长宽高分别为1、2、3的长方体的体积是_，表面积是_答案：（1）8；24（2）6；22解析：（1）体积：，表面积：（2）体积：，表面积：作业10、一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米若它的棱长总和等于一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是_，长方体体积比正方体体积少_立方厘米答案：；2平方厘米解析：长方体
