1、北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1下列方程是一元二次方程的是（ ）A2（x1）4 B C Dx+y02若（b+d0），则的值为（ ）ABC1D3下列方程有两个不相等的实数根的是（ ）ABCD4下列可以判断是菱形的是（ ）A一组对边平行且相等的四边形B对角线相等的平行四边形C对角线垂直的四边形D对角线互相垂直且平分的四边形5王师傅的蘑菇培育基地2017年产量是60吨，由于科学管理，产量逐年增加，2019年产量达到80吨如果每年的增长率相同，设增长率为x，那么可列方程（ ）ABCD6如图，在ABC中，点D是AB边上一点（不与A，B两点重合），下列条件：ACD
2、B； ADCACB；AC2ADAB；，能使ABCACD的条件的个数为（ ）A1B2C3D47在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的10个红球和若中个黄球每次从盒子里摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.8请估计盒子里黄球约有（ ）A20个B40个C60个D80个8顶角为36的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为如图，在ABC中，A36，ABAC，BD平分ABC交AC于点D，若CD1，则AC的长为（ ）ABCD9如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形ABCD的位置，点A恰好是AC的中点若菱形ABCD的边长为2，BCD60
3、，则阴影部分的面积为（ ）ABC1D10如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上若AB6，BC9，则BF的长为（）A4B3C4.5D5二、填空题11为了检验某批足球的质量，随机抽取了100个足球，发现合格的有90个如果从这批足球中随机取出一个，那么这个足球合格的概率约为_12若关于x的方程kx2+（2k1）x+k20有两个相等的实数根，则k的值为_13如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB6，则AD的长为_14中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方
4、图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为_15如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，点E是AD边上一动点，将ABE沿BE折叠，使点A的对应点A恰好落在矩形ABCD的对角线上，则AE的长为_16如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AOB120，AD3，则AC的长是_三、解答题17解下列方程（1）x2+x0 （2）2x2+4x10 18如图，在ABC中，点D是AB的中点，DEBC交AC于点E，DFB
5、E交AC于点F，若EF3，求AC的长19如图，在正方形ABCD的上方作等边三角形ADE，连接BE，CE（1）求证：ABEDCE；（2）连接AC，设AC与BE交于点F，求BFC的度数20课堂上，蒋老师拿出了4张分别与有数字1，2，3，4的卡片（除数字外其他都相同），让同学们随机抽取两张，并计算这两张卡片上数字的和（1）请用列表或画树状图的方法列举出所有等可能的结果；（2）求两张卡片上数字的和大于5的概率21某商场新上市一款毛衣，进价是40元，当售价为80元，一天可以销售20件若售价每降价1元，则每天可以多卖2件设售价为x元，当天的销售量为y件（1）销售量y与售价x之间的函数表达式为_；（2）在尽
6、可能增大销售量的前提下，问这款毛衣降价后的售价为多少元时，商场当天可获利1200元？22如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BDCE，CDBE，BD与CD相交于点D（1）当CEAB时，求证：四边形BECD是矩形；（2）填空：当BE的长为_时，四边形BECD是菱形；在的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为_23正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E在CD边上，AD3，DE，连接AE，CG（1）线段AE与CC的关系为_；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个
7、锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当AEC90时，请直接写出AE的长24如图在平面直角坐标系xOy中，直线yx+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P从点A开沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B运动（当P，Q两点其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动）如果点P，Q从点A同时出发，设运动时间为t秒（1）如果点Q的速度为每秒个单位长度，那么当t5时，求证：APQABO；（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么多少秒时，APQ的面积为16？（3）若点H为平面内任意一点，当t4时，以点A，
8、P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出此时点H的坐标参考答案1C【解析】根据一元二次方程的定义进行判断，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程【详解】A、是一元一次方程，故本选项不合题意；B、不是一元二次方程，是分式方程，故本选项不合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、是二元一次方程，故本选项不合题意；故选：C【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义.2A【分析】根据等比的性质进行解答即可【详解】若（b+d0），故选：A【点睛】本题考查等比的性质，解题的关键是掌握等比的性质.3A【分析】利用根的判别式b24ac逐一求
9、出四个方程的的值，取其为正值的选项即可得出结论【详解】A、6241（5）560，一元二次方程x2+6x50有两个不相等的实数根，A符合题意；B、62435240，一元二次方程3x2+6x+50没有实数根，B不符合题意；C、424140，一元二次方程x2+4x+40有两个相等的实数根，C不符合题意；D、224110，一元二次方程x2+2x+10有两个相等的实数根，D不符合题意故选：A【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式的运用.4D【分析】由菱形的判定依次判断可求解【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩
10、形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法.5A【分析】设增长率为x，根据王师傅的蘑菇培育基地2017年及2019年的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】设增长率为x，依题意，得：60（1+x）280故选：A【点睛】本题考查增长率和列一元二次方程，解题的关键是读懂题意，得到等式关系.6C【分析】由A是公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定ABC与ACD相似，
11、即可得出结果【详解】A是公共角，当ACDB时，ADCACB（有两组角对应相等的两个三角形相似）；当ADCACB时，ADCACB（有两组角对应相等的两个三角形相似）；当AC2ADAB时，即，ADCACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）当时，A不是夹角，则不能判定ADC与ACB相似；能够判定ABC与ACD相似的条件是：故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定.7B【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【详解】设盒子里黄球约有x个，根据题意得：0.8，解得：x40，答：盒子里黄球约有40个
12、；故选：B【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握求概率的方法.8D【分析】根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解【详解】在ABC中，A36，ABAC，ABCACB72，BD平分ABC，DBCABD36，ADBD，BDC72，BDBC，ABC和BDC都是顶角为36的等腰三角形顶角为36的等腰三角形为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为，即BC，AC故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质和黄金分割，解题的关键是读懂题意，掌握等腰三角形的性质和黄金分割.9B【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形AECF的面积是ABCD面积的，即可求解【详解】四边形ABCD是菱形，ACBD，AD2CD
13、，DCABCD30，AD1，ACDA，菱形ABCD的面积4ADAC2，如图，由平移的性质得，ABCDAECF，且ACAC，四边形AECF的面积是ABCD面积的，阴影部分的面积，故选：B【点睛】本题考查菱形的性质、平移的性质，解题的关键是掌握菱形的性质、平移的性质.10A【分析】先求出BC，再由图形折叠特性知，CFCFBCBF9BF，在RtCBF中，运用勾股定理BF2+BC2CF2求解【详解】解：点C是AB边的中点，AB6，BC3，由图形折叠特性知，CFCFBCBF9BF，在RtCBF中，BF2+BC2CF2，BF2+9（9BF）2，解得，BF4，故选：A【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应
14、用，综合能力要求较高同时也考查了列方程求解的能力解题的关键是找出线段的关系1190%【分析】用概率公式进行计算解决问题即可【详解】由题意，随机抽取了100个足球，发现合格的有90个，所以这个足球合格的概率约90%，故答案为90%【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握概率公式.12【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出结论【详解】关于x的方程kx2+（2k1）x+k20有两个相等的实数根，解得：k故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式.136【分析】根据相似多边形的
15、性质列出比例式，计算即可【详解】矩形ABCD与矩形EABF相似，即，解得，AD6，故答案为：6【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质.14100【分析】根据正方形的面积可得两个正方形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直角三角形的两条直角边长，进而求解【详解】正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，AEBF，AEB90，正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，AB13，EF7，在RtABE中，BEBFEFAE7根据勾股定理，得AE2+BE2AB2，即AE2+（AE7）2132解得，AE12，所以BE1275，所以所用细塑料棒
16、的长度为：4（AB+AE）4（13+12）100故答案为100【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用.15【分析】由勾股定理可求BD长，由折叠的性质可得ABAB3，ABAE90，AEAE，由勾股定理列出方程，可求AE的长【详解】如图，AB3，AD4，A90，BD5，将ABE沿BE折叠，ABAB3，ABAE90，AEAE，ADBDAB2，DE2AE2+AD2，（4AE）2AE2+4，AE，故答案为：【点睛】本题考查勾股定理和折叠的性质，解题的关键是掌握勾股定理和折叠的性质.166【分析】根据矩形的性质，因为矩形的对角线相等且互相平分，则BOC是等腰三角形；已知AOB120，即可
17、求出DBA30，由AD3，可求出AC=BD=6【详解】四边形ABCD是矩形，矩形的对角线相等且互相平分OA=OB，AOB是等腰三角形又AOB120DBACAB=30在RtDAB中，AD3，DBA=30BD=2AD=6四边形ABCD是矩形AC=BD=6故答案为：6【点睛】本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，在直角三角形中，利用特殊三角形的相关性质求解是解题的关键17（1）x0或x1；（2）x1【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案；（2）根据配方法即可求出答案.【详解】（1）x2+x0，x（x+1）0，x0或x1；（2）2x2+4x10，x2+2x，（x+1）2，x1；【点睛】本题考查
18、因式分解法、配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、配方法解一元二次方程.18AC=12【分析】通过证明ADEABC，可得，可得AC2AE，通过证明ADFABE，可得，可求AFEF3，即可求解【详解】点D是AB的中点，AB2AD2DB，DEBC，ADEABC，AC2AE，DFBE，ADFABE，AE2AF，且AEAF+EF，EFAF3，AE6，AC2AE12【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.19（1）证明见解析；（2）BFC60【分析】（1）利用等边三角形的性质和正方形的性质可得BAECDE150，由“SAS”可证ABEDCE；（2）首先
19、得出ABEAEB15，由外角性质可求解【详解】证明：（ 1）四边形ABCD为正方形，ABADCD，BADADC90，BAC45，三角形ADE为正三角形，AEADDE，EADEDA60，BAECDE150，在BAE和CDE中，ABEDCE（SAS）；（2）ABAD，ADAE，ABAE，ABEAEB，又BAE150，ABEAEB15，BFCABE+BAC60【点睛】本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、三角形外角性质和全等三角形的判定（SAS），解题的关键是掌握等边三角形的性质、正方形的性质、三角形外角性质和全等三角形的判定（SAS）.20（1）共有12种等情况数；（2）【分析】（1）根据题意画
20、出树状图得出所有等情况数，分别列举出来即可；（2）先找出两张卡片上数字的和大于5的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【详解】（1）画树状图如下共有12种等情况数，这两张卡片上数字的和分别是3，4，5，3，5，6，4，5，7，5，6，7；（2）共有12种等情况数，其中两张卡片上数字的和大于5的有4种，两张卡片上数字的和大于5的概率是【点睛】本题考查画树状图法求概率，解题的关键是掌握画树状图法求概率.21（1）y2x+180；（2）毛衣降价后的售价为60元时，商场当天可获利1200元【分析】（1）设售价为x元，根据售价每降低1元，平均每月多售出2件可得平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式
21、；（2）根据销售利润一件毛衣的利润销售童装的数量可得方程，利用方程求解【详解】（1）设售价为x元，则平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式为：y20+2（80x），化简整理，得y2x+180；故答案是：y2x+180；（2）根据题意，得（x40）（2x+180）1200，解得x170，x260因为是尽可能增大销售量，所以x60符合题意答：这款毛衣降价后的售价为60元时，商场当天可获利1200元【点睛】本题考查列二元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握列二元一次方程和一元二次方程的应用.22（1）证明见解析；（2）；3【分析】（1）根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形
22、即可证明；（2）根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EPAD，最小，再过点D作DF垂直AC的延长线于点F，根据勾股定理即可求解【详解】如图所示：（1）BDCE，CDBE，四边形BDCE是平行四边形，CEAB，BEC90，四边形BECD是矩形；（2）当BE的长为时，四边形BECD是菱形理由如下：连接ED，与BC交于点O，四边形BDCE是平行四边形，当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形，BOBC3，OEAC2，根据勾股定理，得BE故答案为连接AD，与BC交于点P，连接PE，此时PDPE，AP+EP最小，AP+PEAP
23、+PDAD，过点D作DF垂直于AC的延长线于点F，得矩形ODFC，CFOD2，DFOC3，AFAC+CF6，在RtADF中，根据勾股定理，得AD3AP+EP的最小值为3故答案为3【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理，解题的关键是掌握矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理.23（1）AECG，AECG；（2）仍然成立；理由见解析；（3）AE的长为2+1或21【分析】（1）延长AE交CG于点H，证ADECDG，可得到AECG，EADGCD，再证CHE90，即可得出结论；（2）设AE与CG交于点H，证ADECDG，可得到AECG，EADGCD，再证，CHP90，即可得出结论；（3）分两
24、种情况讨论，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DMAE于点M，构造等腰直角三角形DME和直角三角形ADM，可通过勾股定理分别求出ME，AM的长即可；当点E旋转到线段CG的延长线上时，过点D作DNCE于点N，构造等腰直角三角形DNE和直角三角形CND，可通过勾股定理分别求出NE，CN的长，再求出CE的长，在RtAEC中通过勾股定理可求出AE的长【详解】（1）线段AE与CG的关系为：AECG，AECG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，ADCD，EDGD，ADECDG90，ADECDG（SAS），AECG，EADGCD，EAD+AED90，AEDCEH
25、，GCD+CEH90，CHE90，即AECG，故答案为：AECG，AECG；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，ADCD，EDGD，ADCEDG90，ADC+CDEEDG+CDE，即ADECDG，ADECDG（SAS），AECG，EADGCD，EAD+APD90，APDCPH，GCD+CPH90，CHP90，即AECG，AECG，AECG，中的结论仍然成立；（3）如图31，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DMAE于点M，AEC90，DEG45，AED45，RtDME是等腰直角三角形，MEMDDE1，在RtAMD中，ME1，AD3
26、，AM2，AEAM+ME2+1；如图32，当点E旋转到线段CG的延长线上时，过点D作DNCE于点N，则END90，DEN45，EDN45，RtDNE是等腰直角三角形，NENDDE1，在RtCND中，ND1，CD3，CN2，CENE+CN2+1，ACAD3，在RtAEC中，AE21，综上所述，AE的长为2+1或21 【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质，正方形的性质，旋转的性质以及勾股定理，解题关键是在第（3）问中能够根据题意分情况讨论并画出图形，才能保证解答的完整性24（1）证明见解析；（2）2秒时，APQ的面积为16；（3）点H的坐标为：（，6），（，4）【分析】（1）根据已知得
27、：直线与x、y轴的交点B（8，0）、A（0，6），AP5，AQ3，对应边成比例且夹角相等即可证明；（2）作QEy轴于点E，用含t的式子表示AP和QE，利用三角形的面积即可求解；（3）根据题意画出矩形即可写出点H的坐标【详解】（1）根据题意，得当t5时，AP5，AQ3，B（8，0），A（0，6），OB8，OA6，AB10，PAQBAO，APQABO；（2）如图：过点Q作QEOA于点E，在RtAOB和RtAQE中，sinBAO，sinQAE，QEt，SAPQAPQE16，即tt16t2答：那么2秒时，APQ的面积为16（3）如图：设点Q的速度为每秒x个单位长度，当t4时，AP4，AQ4x，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，PQOB，即，PQ，H（，6）设点Q的速度为每秒x个单位长度，当t4时，AP4，AQ4x，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，当AP为矩形对角线时，解得xQCH（，4）所以点H的坐标为：（，6）（，4）【点睛】本题考查一次函数综合、三角形面积、相似三角形的判定、矩形的性质，解决本题的关键是掌握一次函数综合，综合运用三角形面积、相似三角形的判定、矩形的性质25
