1、期末复习(一)三角形的证明知识结构 本章知识在考试中主要考查等腰三角形的性质，结合垂直平分线、角平分线求解，同时等腰三角形也会作为解答题背景出现，与旋转或者勾股定理紧密结合典例精讲【例1】(南充中考)已知ABN和ACM位置如图所示，ABAC，ADAE，12.(1)求证：BDCE；(2)求证：MN.【思路点拨】(1)要证BDCE，可通过转化证ABDACE，根据题意由“SAS”得证；(2)要证MN，可通过转化证ACMABN，由(1)可知CB.因为21，所以CAMBAN.再结合ABAC，即可根据“ASA”得证【解答】证明：(1)在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)BDCE.(2)12，1DAE
2、2DAE，即BANCAM.由(1)，得ABDACE，BC.在ACM和ABN中，ACMABN(ASA)MN.【方法归纳】证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形【例2】(北京中考)如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CBEBAD.【思路点拨】由ABAC想到ABCC，由AD是BC边上的中线想到等腰三角形“三线合一”的性质，进而得到ADBC，AD平分BAC，再结合BEAC，就可以建立角与角之间的数量关系，使问题得解【解答】证明：方法1：A
3、BAC，ABC是等腰三角形AD是BC边上的中线，ADBC，BADCAD.CADC90 .BEAC，CBEC90 .CBECAD.CBEBAD.方法2：ABAC，ABCC.又AD是BC边上的中线，ADBC.BADABC90 .BEAC，CBEC90 .CABC，CBEBAD.【方法归纳】本题是一道利用等腰三角形三线合一的性质的证明题，解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”灵活推导各角之间的数量关系【例3】如图，在RtABC中，C90，ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，已知AC6，BC8，求线段AD的长度【思路点拨】由折叠的性质知CDDE，ACAE.在RtBDE中运用勾股定理求出C
4、D，进而得出AD即可【解答】在RtABC中，由勾股定理，得AB10.由折叠的性质知，AEAC6，DECD，AEDC90 ，BEABAE1064.在RtBDE中，由勾股定理，得DE2BE2BD2，即CD242(8CD)2，解得CD3.在RtACD中，由勾股定理，得AC2CD2AD2，即6232AD2，解得AD3.【方法归纳】折叠的问题，一定存在相等的线段或角的等量关系，要充分挖掘由折叠所隐含的数量关系利用勾股定理建立等量关系列方程是一种常用的方法【例4】如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF.求证：AEAF.【思路点拨
5、】由ADBC及EF垂直平分AC，由AAS证明AOECOF，得AEFC.再由EF是AC的垂直平分线，可以证明AFFC，即可得AEAF.【解答】证明：ADBC，EAOFCO，AEOCFO.EFAC，且O是AC的中点，AOCO，AFCF.在AOE和COF中，AOECOF(AAS)AECF.AEAF.【方法归纳】线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，可以得到等腰三角形，进一步得到角相等数学知识间有很多联系与递进关系很多时候，解决数学题目，只是将条件往前推一步，结论再往深处推一步【例5】(黄冈中考)已知，如图，ABAC，BDCD，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：DEDF.【思路点拨】连接A
6、D，利用SSS得到ABD与ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到EADFAD，即AD为角平分线，再由DEAB，DFAC，利用角平分线的性质定理即可得证【解答】证明：连接AD.在ACD和ABD中，ACDABD(SSS)EADFAD，即AD平分EAF.DEAE，DFAF，DEDF.【方法归纳】本题考查全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的基本性质，构造出基本图形，运用角平分线的性质是解题的关键整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1(南宁中考)如图，在ABC中，ABADDC，B70，则C的度数为(A) A35 B40 C45 D502如图，直线
7、CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点已知PAB的周长为14，PA4，则线段AB的长度为(A) A6 B5 C4 D33用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOCBOC的依据是(A) ASSS BASA CAAS D角平分线上的点到角两边距离相等4已知直角三角形中，30角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是(B) A2厘米 B4厘米 C6厘米 D8厘米5如图，在ABC中，B60，ABAC，BC3，则ABC的周长为(B) A12 B9 C8 D66下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(B) A3，4，4 B1， C.， D3，4，77如图，ABC内有一点D，且DAD
8、BDC，若DAB20，DAC30，则BDC(A) A100 B80 C70 D508(宜昌中考)如图，在方格纸中，以AB为一边作ABP，使之与ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C) A1个 B2个 C3个 D4个9如图，在ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，则AC的长为(C) A5 B4 C3 D210如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于点E，交AC于点F，过点O作ODAC于点D，下列四个结论：EFBECF；BOC90A；点O到ABC各边的距离相等；设ODm，AEAFn，则SAEFmn.其中正确的结论是
9、(A) A B C D二、填空题(每小题4分，共20分)11(无锡中考)写出命题“如果ab，那么3a3b”的逆命题如果3a3b，那么ab12在ABC中，ABAC，点D是BC的中点，若B50，则DAC的度数是40_13如果三角形三边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，那么它最短边上的高为8cm.14如图，在锐角三角形ABC中，直线PL为BC的垂直平分线，射线BM为ABC的平分线，PL与BM相交于P点若PBC30，ACP20，则A的度数为70_15已知RtABC中，C90，ACBC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE3，AC5，则线段EF的长为1或7三、解
10、答题(共50分)16(6分)已知：如图，在ABC中，ABAC，D为CA延长线上一点，DEBC，交线段AB于点F.请找出一组相等的线段(ABAC除外)并加以证明解：ADAF.证明如下：ABAC，BC.DEBC，BEFDEC90 .BFED.BFEDFA，DFAD.AFAD.17(8分)(衡阳中考)如图，在ABC中，ABAC，BDCD，DEAB，DFAC，垂足分别为点E，F.求证：BEDCFD.证明：DEAB，DFAC，BEDCFD90 .ABAC，BC.在BED和CFD中，BEDCFD(AAS)18(8分)如图：已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CECD，DMBC
11、，垂足为点M，求证：M是BE的中点证明：连接BD.三角形ABC为等边三角形，且D是AC的中点，DBCABC60 30 ，ACB60 .CECD，CDEE.ACBCDEE，EACB30 .DBCE30 .BDED，即BDE为等腰三角形又DMBC，M是BE的中点19(8分)如图所示，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，D为AB边上一点(1)求证：ACEBCD；(2)若AD5，BD12，求DE的长解：(1)证明：ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90 ，ECDC，ACBC，ACBACDECDACD.ACEBCD.ACEBCD(SAS)(2)ACEBCD，EACB45 ，A
12、EBD12.EADEACBAC90 .在RtEAD中，DE2AE2AD212252169.DE13.20(10分)如图，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.(1)求证：ABD是等腰三角形；(2)若A40，求DBC的度数；(3)若AE6，CBD的周长为20，求ABC的周长解：(1)证明：AB的垂直平分线MN交AC于点D，DBDA.ABD是等腰三角形(2)ABD是等腰三角形，A40 ，ABDA40 ，ABCC(180 40 )270 .DBCABCABD70 40 30 .(3)AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE6，AB2AE12，BDAD.CBD的周长为20
13、，BDCDBC20.ACBC20.ABC的周长为ABACBC122032.21(10分)已知点O到ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OBOC.(1)如图1，若点O在BC上，求证：ABAC.(2)如图2，若点O在ABC内部，求证：ABAC.(3)猜想，若点O在ABC的外部，ABAC成立吗？请说明理由解：(1)证明：过点O作ODAB于点D，OEAC于点E，则ODOE，ODBOEC90 .又OBOC，RtBODRtCOE(HL)BC.ABAC.(2)证明：过点O作ODAB于点D，OEAC于点E，则ODOE，ODBOEC90 .易证RtBODRtCOE(HL)DBOECO.OBOC，OBCOCB.ABCDBODBCACBECODCB.ABAC.(3)不一定成立理由：如图3，过点O作ODAB于点D，OEAC于点E，则ODOE，ODBOEC90 .易证RtBODRtCOE(HL)DBOECO.OBOC，OBCOCB.DBCDBOOBCECBECOBCO.ABCACB.ABAC.如图4，可知ABAC.若点O在ABC的外部时，ABAC不一定成立
