1、实用标准文档多项式的因式分解知识点1：分解因式的定义讨论能被整除吗？你是怎么想的？与同学交流。金正恩是这样做的：其中有一个因数是，所以原式能被整除。在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数的积的形式。例题1（1） 计算下列各式： ； ； ； ； ；（2） 根据上面的算式填空： ； ； ； ； ；在（1）中我们知道从左至右运算是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。注意：分解因式的对象是多项式，不是单项式，也不是分式。分解因式的结果必须是整式的乘积的形式。不是所有的多项式都能分解因式。分解因式要彻底，直到
2、不能分解为止。知识点2：分解因式与整式乘法的关系如果把整式乘法看做一个变形过程，那么多项式的分解因式就是它的逆变形。实质上，整式乘法和分解因式就是互逆的恒等变形过程。连一连 一、选择题1、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）A. B.C. D.2、下列因式分解正确的是（ ）A. B.C. D.二、思考题能被5整除吗？为什么？知识点3：提公因式法1计算：（1）（2） 多项式中各项的公因式是什么？结论：各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数。各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分。公因式的系数与公因式的字母部分的积是这个多项式的公因式。例题1将以下多项式写成几个因式的乘积的
3、形式：（1） （2） （3）练习：将下列多项式进行分解因式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）归纳：提取公因式的步骤：找公因式提公因式注意：提取公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负都变号，变形看奇偶。知识点4：提公因式法2多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如就是多项式的公因式。公因式是多项式中每一项都含有的公共因式，可以是数字，也可以是字母，也可以是多项式。例题1 多项式中各项的公因式是什么？写出下列多项式各项的公因式：例题2 把下列各式分解因式 金正恩：虽然与看上去没有公因式，但仔细观察可以发现与是互为相反数的，如果把其中一个提取一个“”号，则可以出
4、现公因式，如，也是如此。练习请在下列各式等号右边的括号前填入“”或“”号，使得等式成立：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4）金正恩：这些题目太弱了，不适合我这么强的男人。所以知识点5：用平方差公式分解因式形如的多项式分解因式的方法，即，我们把它叫做分解因式的平方差公式，可以叙述为：两个数的平方差，等于两数之和乘以两数之差。注意：常见的公式变式有位置变式符号变式系数变式指数变式项数变式连用变式把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）当多项式的各项
5、含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进行下一步分解。把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9）知识点6：用完全平方公式分解因式形如的多项式分解因式的方法，即，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的两倍，等于这两个数和（或差）的平方。1、 下列各式是不是完全平方式？ 例1 将下列格式分解因式。（1） （2）分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式。2、 把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）例2将下列各式分解因式（1） （2）分析：对于一个三项式，如果发现它不能直接
6、用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式公式分解因式。 如果三项中有两项能写成两数或两式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“”号，然后再用完全平方公式分解因式。3、 把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）分析：对于多项式大家都会分解了，如果将换成，你能写出替换后的式子吗？那又该如何分解呢？例题3.把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4）巩固与练习1、 填空（1） 若一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是 。（2） 当 时，是一个完全平方式。（3） 计算： 。（4） 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有
7、一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，上述方法产生的密码可以是 。2、 多项式加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？3、 已知为正整数，试说明是8的倍数。4、利用因式分解计算：5、已知，求。6、 已知，求。7、 求证：无论，为何值，的值恒为正。8、若，为三角形的三边，且满足，那么三角形是什么特殊三角形？为什么？知识点7：因式分解补充方法：十字相乘法对于某些首项系数是1的二次三项式（其中）的因式分解。整式乘法 = ； = ； = ； = ； = 。分解因式 =
8、； = ； = ； = ； = 。一般的，这就是说，对于二次三项式，若能找到两个数、，使，则就有。（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法）如对于二次三项式，其中，能找到两个数1、2.使故有例题1 解：1 1 （x+1） 解：1 -5 （x-5）1 9 （x+9） 1 2 （x+2） 说明：用十字相乘法分解二次三项式，式中的，通常是整数，要找的，两数也通常是在整数中去找。由于把拆成两个整数之和有无数种情况，而把分解成两个整数之积只有有限的几种可能，故应先把分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和等于。练习题 ； ； ； 。观察以上练习中的各题，你能发现把分解成两个整数，之积时的符号规律吗？1、 若，则，同号。当时，同为正，当时，同为负。2、 若，则，异号。当时，中绝对值大的为正数，当时，中绝对值大的为负数。练习题 文案大全
