1、第二部分专题五1在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动图1图2图3(1)如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)；连接AC，请你直接写出ACE为等腰三角形时CECD的值；(3)如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动
2、路径的草图若AD2，试求出线段CP的最大值解：(1)AEDF，AEDF.理由：四边形ABCD是正方形，ADDC，ADEDCF90.动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，DECF.在ADE和DCF中， ADEDCF(SAS)，AEDF，DAEFDCADE90，ADPCDF90，ADPDAE90，APD1809090，AEDF.(2)是，CECD或2.【解法提示】有两种情况：如答图1，当ACCE时，设正方形ABCD的边长为a.由勾股定理得，ACCEa，则CECDaa ； 如答图2，当AEAC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，ACAEa.四边形ABCD是
3、正方形，ADC90，即ADCE，DECDa，CECD2aa2.即CECD或2.图1 图2图3(3)点P在运动中保持APD90，点P的路径是以AD为直径的圆上的一段弧如答图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大在RtQDC中，QC ，CPQCQP 1，即线段CP的最大值是1.2问题探究(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BMCN，连接AM和BN，交于点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动连接AM和
4、BN，交于点P，求APB周长的最大值；问题解决(3)如图3，AC是边长为2的菱形ABCD的对角线，ABC60.点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动连接AM和BN，交于点P.求APB周长的最大值图1 图2图3解：(1)AMBN.证明：四边形ABCD是正方形，ABBC，ABMBCN90.BMCN，ABMBCN，BAMCBN.CBNABN90，ABNBAM90，APB90，AMBN.(2)如答图1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形AEB，AEB90，作EFPA于F，作EGPB交PB延长线于G，连接EP.答图1EFPFPGG90，四边形EFPG是矩形，FEGAEB9
5、0，AEFBEG.EAEB，EFAG90，AEFBEG，EFEG，AFBG，四边形EFPG是正方形，PAPBPFAFPGBG2PF2EF.EFAE，EF的最大值为AE2 ，APB周长的最大值为44 . (3)如答图2，延长DA到K，使得AKAB，则ABK是等边三角形，连接PK，取PHPB，连接BH.答图2ABBC，ABMBCN，BMCN，ABMBCN，BAMCBN，APNBAMABPCBNABN60，APB120.AKB60，AKBAPB180，A，K，B，P四点共圆，BPHKAB60.PHPB，PBH是等边三角形，KBAHBP，BHBP，KBHABP.BKBA，KBHABP，HKAP，PAP
6、BKHPHPK，当PK的值最大时，APB的周长最大，当PK是ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，PAB的周长最大值为2 4.3(2016贵阳)(1)阅读理解：如图1，在ABC中，若AB10，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD，再连接BE(或将ACD绕着点D逆时针旋转180得到EBD)，把AB，AC,2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_2ADEF.(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，BD180，CBCD，BCD140，以C为顶点作一个70角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF
7、，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明图1图2 图3 (1)解：2AD8.【解法提示】AD是BC边上的中线，BDCD在BDE和CDA中， BDECDA(SAS)，BEAC6.在ABE中，由三角形的三边关系得ABBEAEABBE，106AE106，即4AE16，2ADEM，BECFEF.(3)解：BEDFEF.理由如下：如答图2，延长AB至点N，答图2使BNDF，连接CN.ABCD180，NBCABC180，NBCD在NBC和FDC中， NBCFDC(SAS)，CNCF，NCBFCDBCD140，ECF70，BCEFCD70，ECN70ECF.在NCE和FCE中， NCEFCE(S
8、AS)，ENEF.BEBNEN，BEDFEF.4(2018湖北)问题：如图1，在RtABC中，ABAC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为_BCDCEC_；探索：如图2，在RtABC与RtADE中，ABAC，ADAE，将ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图3，在四边形ABCD中，ABCACBADC45.若BD9，CD3，求AD的长图1图2图3解：(1)BCDCEC【解法提示】BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BA
9、DCAE.在BAD和CAE中，BADCAE(SAS)，BDCE，BCBDCDECCD，即BCDCEC(2)BD2CD22AD2.证明：如答图1，连接CE.由(1)得BADCAE，BDCE，ACEB，DCE90，CE2CD2ED2.在RtADE中，ADAE，DAE90，DE22AD2.BD2CD22AD2.答图1答图2(3)如答图2，作AEAD，使AEAD，连接CE，DE.BACCADDAECAD，BADCAE，在BAD和CAE中， BADCAE(SAS)，CEBD9.ADC45，EDA45，EDC90，DE6 .DAE90，ADAEDE6.5(1)问题发现：如图1，点E，F分别在正方形ABCD
10、的边BC，CD上，EAF45，连接EF，则EFBEDF，试说明理由；(2)类比引申：如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BAD90，点E，F分别在边BC，CD上，EAF45，若B，D都不是直角，则当B与D满足等量关系_BD180_时，仍有EFBEDF；(3)联想拓展：如图3，在ABC中，BAC90，ABAC，点D，E均在边BC上，且DAE45，猜想BD，DE，EC满足的等量关系，并写出推理过程图1图2图3解：(1)如答图1.ABAD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，使AB与AD重合ADCB90，FDG180，即点F，D，G共线，则DAGBAE，AEAG，FAGFADGADFADBAE9
11、04545EAF，即EAFFAG.在EAF和GAF中，EAFGAF(SAS)，EFFGBEDF. 图1 图2(2)BD180.【解法提示】ABAD，如答图2，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，使AB与AD重合，BAEDAG.BAD90，EAF45，BAEDAF45，DAGDAF45，EAFFAG.ADCB180，FDG180，即点F，D，G共线在AFE和AFG中，AFEAFG(SAS)，EFFG，即EFBEDF.故BADC180.答图3(3)BD2CE2DE2.推理过程：如答图，把ACE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置，连接DF，则FABCAE.BAC90，DAE45，BADCAE45.
12、FABCAE，FADDAE45.在ADF和ADE中，ADFADE(SAS)，DFDE.CABF45，DBF90，BDF是直角三角形，BD2BF2DF2，BD2CE2DE2.6(2018衡阳)如图，在RtABC中，C90，ACBC4 cm，动点P从点C出发以1 cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以 cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t(s)(1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)以PC为边，往CB方向作正方形CPMN
13、，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式解：(1)如答图1，连接BP.答图1在RtACB中，ACBC4，C90，AB4.点B在线段PQ的垂直平分线上，BPBQ.AQ t，CPt，BQ4t，PB242t2 ，(4t)216t2，解得t84或84(舍去)，当t(84)s时，点B在线段PQ的垂直平分线上(2)存在如答图2，当PQQA时，易知APQ是等腰直角三角形，AQP90，则有PAAQ，4tt，解得t；存在如答图3，当APPQ时，易知APQ是等腰直角三角形，APQ90，则有AQAP，t(4t)，解得t2.综上所述，当t s或2 s时，APQ是以PQ为腰的等腰三角形图2 图3(3)如答图
14、4，连接QC，作QEAC于E，作QFBC于F.则QEAE，QFEC，可得QEQFAEECAC4，答图4SSQNCSPCQCNQFPCQEt(QEQF)2t(0t4). 7(2018娄底)如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OAOC，OBOD，过O点作EFBD，分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：AOECOF；(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由(1)证明：OAOC，OBOD，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，EAOFCO.在AOE和COF中，AOECOF(ASA)(2)解：四边形BEDF是菱形理由如下：AOECOF，AECF.ADBC，DEBF.DEBF，四边形BEDF是平行四边形OBOD，EFBD，EBED，四边形BEDF是菱形
