1、第第24课时课时 圆的基本性质圆的基本性质 （每年必考每年必考1道，道，3分分） 目 录 点对点点对点“过过”考点考点 1 典例典例“串串”考点考点 2 3 中考试题中的数学文化中考试题中的数学文化 4 陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法 点对点点对点“过过”考点考点 【对接教材】【对接教材】北师：九下第三章北师：九下第三章P64P88； 人教：九上第二十四章人教：九上第二十四章P79P91、P105P110. 圆的基本 概念及性质 圆的有关 概念及性质 圆的有关概念 圆的性质 弦、弧、 圆心角的 关系 定理 推论 圆周角定 理及其推论 定理 推论 垂直定理 及其推论 垂直定理
2、 垂直定理的推论 三角形的外接圆 定义 圆心 性质 圆与多边形 圆的有关概念及性质圆的有关概念及性质 考点考点 1 1. 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆其中定点称为定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆其中定点称为 _，定长称为半径如图，以点，定长称为半径如图，以点O为圆心的圆记作为圆心的圆记作O，线段，线段OA叫做半径叫做半径 2. 确定圆的条件：确定圆的条件： (1)圆心确定圆的位置，圆心确定圆的位置，_确定圆的大小；确定圆的大小； (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆 圆心圆心 半径半径 返回思维导图返回思
3、维导图 ABC 3. 圆的有关概念：圆的有关概念： (1)弦：连接圆上任意两点的弦：连接圆上任意两点的_叫做弦，如叫做弦，如AC、BC； (2)直径：经过直径：经过_的弦叫做直径，直径等于半径的的弦叫做直径，直径等于半径的2倍；倍； (3)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做_， 如如 ，小于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做_，如，如 、 、 ； (4)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如ACB； (5)圆心角：顶点在圆心角：顶点在_的角叫做
4、圆心角，如的角叫做圆心角，如AOB； (6)弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距，如弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距，如OD. 4. 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是任意一条圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是任意一条_ 所在的直线，对称中心是所在的直线，对称中心是_ ABACBC 线段线段 圆心圆心 优弧优弧 劣弧劣弧 圆心圆心 直径直径 圆心圆心 返回思维导图返回思维导图 垂径定理及其推论垂径定理及其推论 考点考点 2 1. 定理：垂直于弦的直径定理：垂直于弦的直径_弦，并且弦，并且_弦所对的两条弧；弦所对的两条弧； 如图，在如图，在O中，中， CDAB
5、 CD是直径是直径 AMBM_AB, , AC ADBD 2. 推论：平分弦推论：平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径_于弦，并且于弦，并且_弦所弦所 对的两条弧；对的两条弧； 如图，在如图，在O中，中， AMBM CD是直径是直径 CDAB AC ADBD BC 平分平分 平分平分 1 2 BC 垂直垂直 平分平分 返回思维导图返回思维导图 【提分要点】垂径定理及其推论的延伸：根据圆的对称性，在以下五个结论中：【提分要点】垂径定理及其推论的延伸：根据圆的对称性，在以下五个结论中： ； ；AMBM；ABCD；CD是直径，只要满是直径，只要满 足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即足其中两个
6、结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三知二推三” ACBCADBD 返回思维导图返回思维导图 弦、弧、圆心角的关系弦、弧、圆心角的关系 考点考点 3 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦也，所对的弦也_； 如图，在如图，在O中，中，AOBCOD , AB_ AB 2. 推论：推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_， 所对的弦所对的弦_； 如图，在如图，在O中，中， ； ABCD AOB , AB_ 相等相等 相等相等 CD CD 相等相等 相等相等
7、 COD CD 返回思维导图返回思维导图 (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_，所对的优，所对的优 弧与劣弧分别弧与劣弧分别_； ABCD AOB , _ 【提分要点】【提分要点】(1)理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，注意一条弦对着两条理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，注意一条弦对着两条 弧，一条弧对应无数个圆周角弧，一条弧对应无数个圆周角(2)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两 条弧中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等条弧中如果有一组量相等，则它们所对应的
8、其余各组量也相等 相等相等 相等相等 COD CD 返回思维导图返回思维导图 AB 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论 考点考点 4 1. 定理定理 内容内容 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_ 常见图形常见图形 结论结论 APB_ 一半一半 1 2AOB 返回思维导图返回思维导图 2. 推论推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角_；如图，在；如图，在O中，中，A和和_是是 所对的圆所对的圆 周角周角A_； A_； BC BCBD (2)半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角是所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_； 如图，在如图，在O中，中，AB
9、是直径是直径ACB_ 【提分要点】在遇到与直径有关的问题时，一般要构造直径所对的圆周角，由【提分要点】在遇到与直径有关的问题时，一般要构造直径所对的圆周角，由 直径转化出直角直径转化出直角 相等相等 D D BCD 直角直角(或或90) 直径直径 90 返回思维导图返回思维导图 三角形的外接圆三角形的外接圆 考点考点 5 1. 定义：经过三角形的三个顶点形成的圆定义：经过三角形的三个顶点形成的圆 2. 圆心：外心圆心：外心(三角形外接圆的圆心或三角形三角形外接圆的圆心或三角形 _的交点的交点) 3. 性质：三角形的外心到三角形性质：三角形的外心到三角形_的距离相等的距离相等 三边垂直平分线三边
10、垂直平分线 三个顶点三个顶点 返回思维导图返回思维导图 圆与多边形圆与多边形 考点考点 6 1. 圆内接四边形的概念：如图，四边形圆内接四边形的概念：如图，四边形ABCD的所有顶点都在同一个圆上，这的所有顶点都在同一个圆上，这 个四边形叫做圆内接四边形个四边形叫做圆内接四边形 2. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的性质：(如图如图) (1)圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角_，如，如ABCD_，BD_； (2)圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的_，如，如DCE_ 互补互补 180 180 内对角内对角 A 返回思维导图返回思维导图 3. 圆与正多边
11、形圆与正多边形 如图，设正如图，设正n边形的边长为边形的边长为a，则边心距，则边心距r ；正；正n边形的周长边形的周长Lna； 正正n边形的面积边形的面积S Lr nar；中心角；中心角 . 2 2 2 a R 1 2 1 2 360 n 。 返回思维导图返回思维导图 回归教材回归教材 题图 证明：圆内接四边形对角互补证明：圆内接四边形对角互补 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD为为O的内接四边形的内接四边形 求证：求证：BD180. 【自主解答】【自主解答】 解图 证明：证明： 证法一：如解图证法一：如解图，连接，连接AO、CO， 由圆周角定理得：由圆周角定理得： B1 21，D
12、1 22， 12360 ， BD1 21 1 22 1 2(12)180 . 证法二：证法二： 如解图如解图，连接，连接CA、BD， 12，34， ADC1324， ADCABC24ABC180. 解图 典例典例“串串”考点考点 例题图 例例 如图，在如图，在O中，中，AB为为O的直径，点的直径，点C为为O上异上异 于于A，B的点的点 (1)如图如图，ACB_. (2)如图如图，连接，连接OC，若，若COB110，则，则CAB_. (3)如图如图，点，点D为为O上异于上异于A、B、C的一点，且位于的一点，且位于AB上方，上方， 连接连接AD、BD、CD，并延长，并延长BD至点至点E，若，若AB
13、C30. CDE_； 连接连接OC，OD，若，若ACBD，则，则COD_； 90 55 60 60 若点若点C是弧是弧 的中点，连接的中点，连接OC交交AD于点于点F，AD8，则，则CAD_， O的半径为的半径为_ (4)如图如图，点，点D为为O上异于上异于A、B、C的一点，且位于的一点，且位于AB下方，连接下方，连接BD、CD. 若若CAB50，CDBD，则，则ABD_； 若若ABCD于点于点E，CD8，AE2，则，则O的半径为的半径为_； 若点若点D为弧为弧 的中点，连接的中点，连接OD，cosABC ，AC6，则，则BD的长为的长为_， CD的长为的长为_ AD AB 4 5 30 8
14、3 3 25 5 5 2 7 2 陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法 垂径定理及圆周角定理的相关垂径定理及圆周角定理的相关（5年年4考考） 命题点命题点 1 第1题图 类型一类型一 圆周角定理的相关计算圆周角定理的相关计算(5年年2考考) 1. (2018陕西陕西9题题3分分)如图，如图，ABC是是O的内接三角形，的内接三角形，ABAC，BCA65， 作作CDAB，并与，并与O相交于点相交于点D，连接，连接BD，则，则DBC的大小为的大小为( ) A. 15 B. 35 C. 25 D. 45 A 第2题图 2. (2019陕西陕西9题题3分分)如图，如图，AB是是O的直径，的
15、直径，EF、EB是是O的弦，且的弦，且EFEB， EF与与AB交于点交于点C，连接，连接OF.若若AOF40，则，则F的度数是的度数是( ) A. 20 B. 35 C. 40 D. 55 第3题图 3. (2017陕西副题陕西副题9题题3分分)如图，矩形如图，矩形ABCD内接于内接于O，点，点P是是 上一点，连接上一点，连接PB、 PC.若若AD2AB，则，则sinBPC的值为的值为( ) A. B. C. D. 5 5 2 5 5 3 5 3 5 10 AD B B 类型二类型二 垂径定理与圆周角定理结合的相关计算垂径定理与圆周角定理结合的相关计算(5年年2考考) 4. (2016陕西副题
16、陕西副题9题题3分分)如图，在如图，在O中，弦中，弦AB垂直平分半径垂直平分半径OC，垂足为，垂足为D.若点若点 P是是O上异于点上异于点A、B的任意一点，则的任意一点，则APB( ) A30或或60 B60或或150 C30或或150 D60或或120 第4题图 5. (2016陕西陕西9题题3分分)如图，如图，O的半径为的半径为4，ABC是是O的内接三角形，连接的内接三角形，连接OB、 OC.若若BAC与与BOC互补，则弦互补，则弦BC的长为的长为( ) A. B. C. D. 第5题图 3 34 35 36 3 D B 6. (2017陕西陕西9题题3分分)如图，如图，ABC是是O的内接
17、三角形，的内接三角形，C30，O的半径的半径 为为5.若点若点P是是O上的一点，在上的一点，在ABP中，中，PBAB，则，则PA的长为的长为( ) A. 5 B. C. D. 5 3 2 5 25 3 第6题图 7. (2019陕西副题陕西副题9题题3分分)如图，如图，O的半径为的半径为5，ABC内接于内接于O，且，且BC8， ABAC，点，点D在在 上若上若AODBAC，则，则CD的长为的长为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 AC 第7题图 D B 圆内接四边形圆内接四边形 命题点命题点 2 8. (2018陕西副题陕西副题9题题3分分)如图，四边形如图，四边形ABCD是是O的
18、内接四边形，的内接四边形，ADBC.若若 BAC45，B75，则下列等式成立的是，则下列等式成立的是( ) A. AB2CD B. AB CD C. AB CD D. AB CD 3 2 3 2 B 第8题图 命题点命题点 3 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题（2015.14，近，近4年填空题未考查此题型，年填空题未考查此题型， 但在第但在第25题利用辅助圆解题时会涉及题利用辅助圆解题时会涉及） 9. (2015陕西陕西14题题3分分)如图，如图，AB是是O的弦，的弦，AB6，点，点C是是O上的一个动点，上的一个动点， 且且ACB45.若点若点M、N分别是分别是AB、BC的中点，则的中点，则MN长的最大值是长的最大值是_ 10. (2015陕西副题陕西副题14题题3分分)如图，如图，A、B是半圆是半圆O上的两点，上的两点，MN是直径，是直径， OBMN.若若AB4，OB5，P是是MN上的一动点，则上的一动点，则PAPB的最小值为的最小值为_ 第9题图 第10题图 3 2 2 21 点击链接至练习册点击链接至练习册
