1、2021年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分在每小題给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（4分）在3，1，0，2这四个数中（）A3B1C0D22（4分）计算a3（a）的结果是（）Aa2Ba2Ca4Da43（4分）2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约320000000千米数320000000用科学记数法表示为（）A32107B3.2108C3.2109D0.321094（4分）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）ABCD5（4分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平
2、均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：甲乙丙丁9899S21.60.830.8根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）A甲B乙C丙D丁6（4分）要使分式有意义，x的取值应满足（）Ax0Bx2Cx2Dx27（4分）如图，在ABC中，B45，ADBC于点D，BD，F分别为AB，BC的中点（）ABC1D8（4分）我国古代数学名著张邱建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗今持粟三斛，得酒五斗，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗（）ABCD9（4分）如图，正比例函数y1k1x（k10）的图象与反
3、比例函数y2（k20）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为21y2时，x的取值范围是（）Ax2或x2B2x0或x2Cx2或0x2D2x0或0x210（4分）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O当AEO，BFO，CGO，下列结论一定成立的是（）AS1S2BS1S3CABADDEHGH二、填空题（每小题5分，共30分）11（5分）5的绝对值是 12（5分）分解因式：x23x 13（5分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个
4、黑球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 14（5分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如图，AC，D，延长AC，BD交于点P若P120，则图中的长为 cm（结果保留）15（5分）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意臥点A（x，y），我们把点B（，），矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上（x0）的图象与DE交于点A若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上 16（5分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，CF交于M，N两点若BMBE，则BN的长为 ，sinAFE的值为 三、解答
5、题（本大题有8小题，共80分）17（8分）（1）计算：（1+a）（1a）+（a+3）2（2）解不等式组：18（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的64的网格，点A，B均在格点上（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上19（8分）如图，二次函数y（x1）（xa）（a为常数）的图象的对称轴为直线x2（1）求a的值（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式20（10分）图1表示的是某书店今年15月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店
6、“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况若该书店15月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2（1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图（2）求5月份“党史”类书籍的营业额（3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由21（8分）我国纸伞的制作工艺十分巧妙如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D的位置，B，D三点共线，AD40cm，伞完全张开（1）求AB的长（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离（参考数
7、据：sin700.94，cos700.34，tan702.75）22（12分）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：A方案B方案C方案每月基本费用（元）2056266每月免费使用流量（兆）1024m无限超出后每兆收费（元）nnA，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）（1）请直接写出m，n的值（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）（兆）之间的函数关系式（3）在这三种方案中，当每月使用的流理超过多少兆时，选择C方案最划算？23（12分）【证明体验】（1）如图1，AD为ABC的角平分线，ADC60，AEAC求证：DE平分ADB【
8、思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，DG2，CD3【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，点E在AC上，EDCABC若BC5，AD2AE，求AC的长24（14分）如图1，四边形ABCD内接于O，BD为直径，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F（1）若DBC，请用含的代数式表示AGB（2）如图2，连结CE，CEBG求证：EFDG（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG若tanADB，求FGD的周长求CG的最小值答案与卡片一、选择题（每小题4分，共40分在每小題给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1参考答案解：这四个数在数轴上的位置如图所示
9、：由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是3故选：A2参考答案解：a3（a）a3aa4故选：D3参考答案解：3200000003.2102，故选：B4参考答案解：从正面看，底层是一个比较长的矩形故选：C5参考答案解：甲、丙、丁射击成绩的平均环数较大，丁的方差甲的方差丙的方差，丁比较稳定，成绩较好状态稳定的运动员是丁，故选：D6参考答案解：要使分式有意义，解得：x2故选：B7参考答案解:ADBC,ADBADC90,B45,BD,ADBD,C60,DC1,ACDC3,E，F分别为AB，EFAC3故选：C8参考答案解：设清酒x斗，醑酒y斗，依题意得：故选：A9参考答案解：由反比例函数与一次函数相交于点
10、A、B，可得点A坐标与点B坐标关于原点对称故点A的横坐标为2当y1y6时，即正比例函数图象在反比例图象上方，观察图象可得，当x<<x<2时满足题意故选：C10参考答案解：如图，连接DG,过点O作OJDE于J四边形EFGH是矩形，OHOF,EFGH,OJDE,OJHHEF90,OJEF,HOOF,HJJE,EFGH2OJ,SDHODHOJ,SDHGDEGH,SDGH3SDHO,同法可证SAEH2SAEO,SDHOSAEO,SDGHSAEH,SDGCCGDH,SADHDHAE,SDGCSADH,SDHCSADE,S5S2,故选：A二、填空题（每小题5分，共30分）11参考答案解：
11、根据负数的绝对值是它的相反数，得|5|512参考答案解：原式x（x3），故答案为：x（x3）13参考答案解：一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，共有7个球，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为故答案为：14参考答案解：如图所示，连接OC，OP，AC，BD分别与O相切于点C，D，故OCPODP90，又OCOD，OPOP，则RtOCPRtODP（HL）P120，OPCOPD60，COPDOP30，COD60的长为故答案为：215参考答案解：设点A的坐标为（m,）,点B是点A的“倒数点”，点B坐标为（,）,点B的横纵坐标满足,点B在某个反比例函数上，点B不可能在OE,OC上，分两种情况：点B在E
12、D上，由EDx轴，点B、点A的纵坐标相等，即，m2，（2舍去），点B纵坐标为6，此时，SOBC81；点B在DC上，点B横坐标为3，即5，点B纵坐标为：，此时，SOBC5；故答案为：或16参考答案解：BMBE，BEMBME，ABCD，BEMGCM，又BMEGMC，GCMGMC，MGGC1，G为CD中点，CDAB2连接BF,FM，由翻折可得FEMBEM，BEEF,BMEF，BEMBME，FEMBME，EFBM，四边形BEFM为平行四边形，BMBE，四边形BEFM为菱形，EBCEFC90，EFBG，BNF90，BF平分ABN，FAFN，RtABFRtNBF(HL)，BNAB7FEFM,FAFN，Rt
13、AEFRtNMF(HL)，AENM，设AENMx，则BEFM2x，NGMGNM1x，FMGC，FMNCGN，,即,解得x7+(舍)或x2，EFBE2x，sinAFE1故答案为：2；1三、解答题（本大题有8小题，共80分）17参考答案解：（1）原式1a2+a2+6a+98a+10；(2),解得：x7,解得：x3,原不等式组的解集是：3x818参考答案解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）（2）如图2中，四边形AEBF即为所求19参考答案解：（1）由二次函数y（x1）（xa）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，3）对称轴为直线x2，2解得a3；（2）由（1）知，a6抛
14、物线向下平移3个单位后经过原点平移后图象所对应的二次函数的表达式是yx4x20参考答案解：（1）该书店4月份的营业总额是：182（30+40+25+42）45（万元），补全统计图如下：（2）4225%10.5（万元），答：8月份“党史”类书籍的营业额是10.5万元；（3）4月份“党史”类书籍的营业额是4520%7（万元），10.59，且73月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4，3月份“党史”类书籍的营业额最高21参考答案解：（1）B为AD中点，ABAD,AD40cm，AB20cm；（2）如图，过点B作BEAD于点E,ABBD,AD5AE,AP平分BAC,BAC1
15、40,BAEBAC70,在RtABE中，AB20cmAEABcos70205.346.8(cm),AD7AE13.6(cm),AD40cm，4013.626.3(cm)伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm22参考答案解：（1）根据题意，m3072，n（5620）（11441024）0.3；（2）设在A方案中，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为ykx+b（k4），把（1024，20），56）代入，解得，y关于x的函数关系式为y0.3x287.8（x1024）；（3）3072+（26656）0.33772（兆），由图象得，当每月使用的流理超过3772兆时23参考
16、答案（1）证明：如图1，AD平分BAC，EADCAD，AEAC，ADAD，EADCAD（SAS），ADEADC60，BDE180ADEADC180606060，BDEADE，DE平分ADB（2）如图2，FBFC，EBDGCD；BDECDG60，BDECDG，；EADCAD，DECD6，DG2，BD.（3）如图3，在AB上取一点F，连结CFAC平分BAD，FACDAC，ACAC，AFCADC（SAS），CFCD，FCADCA，FCA+BCFBCA4DCA，DCABCF，即DCEBCF，EDCABC，即EDCFBC，DCEBCF，DECBFC，BC5，CFCD2，CE8；AED+DEC180，AF
17、C+BFC180，AEDAFCADC，EADDAC（公共角），EADDAC，AC3AD，AD2AE，AC4AECE24参考答案解：（1）BD为O的直径，BAD90，ABGDBC，AGB90；（2）BD为O的直径，BCD90，BECBDC90，BECAGB，CEF180BEC，BGD180AGB，CEFBGD，又CEBG，ECFGBD，CFEBDG(ASA)，EFDG；（3）如图，连接DE，BD为O的直径，ABED90，在RtABD中，tanADB，AB,AD，+，即，ADCE，CEBG，BGAD8，在RtABG中，sinAGB,AGB60，AG，EFDGADAG1，在RtDEG中，EGD60，
18、EGDGDG,在RtFED中，DF,FG+DG+EF，FGD的周长为；如图，过点C作CHBF于H，BDGCFE，BDCF，CFHBDA，BADCHF90，BADCHF(AAS)，FHAD，ADBG,FHBG,BCF90,BCH+HCF90,BCH+HBC90,HCFHBC,BHCCHF90,BHCCHF,设GHx,BH4x，CH22(7x)，在RtGHC中，CG2GH2+CH8,CG2x2+4(2x)(x1)8+3，当x1时，CG2的最小值为3，CG的最小值为考点卡片1绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值
19、等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数有理数的绝对值都是非负数 （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数a；当a是零时，a的绝对值是零即|a|a（a0）0（a0）a（a0）2有理数大小比较（1）有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小（2）有理数大小比较的法则：正数都大于0； 负数都小于0； 正数大于一切负数； 两个负
20、数，绝对值大的其值反而小【规律方法】有理数大小比较的三种方法1法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数两个负数比较大小，绝对值大的反而小2数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数3作差比较：若ab0，则ab；若ab0，则ab；若ab0，则ab3科学记数法表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法【科学记数法形式：a10n，其中1a10，n为正整数】（2）规律方法总结：科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数
21、的整数位数，即可求出10的指数n 记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号4数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等平时要注意多观察，留意身边的小知识5无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数 如圆周率、2的平方根等（2）、无理数与有理数的区别：把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如44.0，130.33333而无理数只能写成无限不循环小数
22、，比如21.414213562所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，如分数2是无理数，因为是无理数无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003（两个3之间依次多一个0）（3）含有的绝大部分数，如2注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果如是有理数，而不是无理数6同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加amanam+n（m，n是正整数）（2）推广：amanapam+n+p（m
23、，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（xy）2与（xy）3等；a可以是单项式，也可以是多项式；按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂7单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式注意：在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；注意按
24、顺序运算；不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；此性质对于多个单项式相乘仍然成立8完全平方公式（1）完全平方公式：（ab）2a22ab+b2可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”（2）完全平方公式有以下几个特征：左边是两个数的和的平方；右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同（3）应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式9平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于
25、这两个数的平方差（a+b）（ab）a2b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方；公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便10因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的
26、相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数成为正数提出“”号时，多项式的各项都要变号3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因
27、式的项数与原多项式的项数相同11分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零（2）分式无意义的条件是分母等于零（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号12由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相符（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系将问题中给出的
28、条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系13解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小
29、找不到14一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数3、概括整合（1）简单的一次函数问题：建立函数模型的方法；分段函数思想的应用（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键15反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂
30、足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变16反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数yk/x（k为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xyk；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在yk/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|17反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点（2）判断正比例函数yk1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个
31、数可总结为：当k1与k2同号时，正比例函数yk1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；当k1与k2异号时，正比例函数yk1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点18二次函数的性质二次函数yax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当a0时，抛物线yax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线yax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物
32、线的最高点抛物线yax2+bx+c（a0）的图象可由抛物线yax2的图象向右或向左平移|个单位，再向上或向下平移|个单位得到的19二次函数图象上点的坐标特征二次函数yax2+bx+c（a0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式顶点是抛物线的最高点或最低点抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x20二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上
33、任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式21抛物线与x轴的交点求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标，令y0，即ax2+bx+c0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标（1）二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c0根之间的关系b24ac决定抛物线与x轴的交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点（2）二次函数的交点式：ya（xx1）（xx2）（a，b，c是常数，a0），可直接得到
34、抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）22全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形23含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数（3）注意：该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三
35、角形不能应用；应用时，要注意找准30的角所对的直角边，点明斜边24勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c2（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式a2+b2c2 的变形有：a，b及c（4）由于a2+b2c2a2，所以ca，同理cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边25等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质即：两
36、个锐角都是45，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r1，则外接圆的半径R+1，所以r：R1：+126三角形中位线定理（1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半（2）几何语言：如图，点D、E分别是AB、AC的中点 DEBC，DEBC27平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（2）平行四边形的性质：边：平行四边形的
37、对边相等角：平行四边形的对角相等对角线：平行四边形的对角线互相平分（3）平行线间的距离处处相等（4）平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等28矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半29四边形综合题四边
38、形综合题30垂径定理（1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧31切线的性质（1）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直（3）切线性质的运用由
39、定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直32弧长的计算（1）圆周长公式：C2R（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长题设未标明精确度的，可以将弧长用表示正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一33圆的综合题圆的综合题34作图应用与设计作图应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中首先要理解题意，弄清
40、问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图35轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线由轴对称的性质得到一下结论：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线36解直角三角形（1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形（2）解直角三角形要用到的关系锐角、直角之间的关系：A+B90；三边之间的关系：a2+b2c2；边角之间的关系：sinA，cosA，tanA（a，b，c分别是A、B、C的对边）37解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角
