1、2021年天津市高考数学模拟试卷一选择题（共9小题）.1体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目设集合U甲班全体同学，集合A参加跳高的甲班同学，集合B参加跳远的甲班同学，则U（AB）表示的是（）A既参加跳高又参加跳远的甲班同学B既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C参加跳高或跳远的甲班同学D不同时参加跳高和跳远的甲班同学2“函数在（0，+）上是减函数”是“函数ykx在R上是增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3函数f（x）cos（x）ln（ex+ex）的图象大致为（）ABCD4某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取
2、100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克），其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（）A采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化B采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高C采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了D新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大5一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）ABCD6已知椭圆的两焦点F1，F2和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最小值为（）ABCD7已知函数f（x）sin（x+）（0，|），其图象相邻两条对称轴之间
3、的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数f（x）的图象关于点（，0）对称C函数f（x）在，上单调递增D函数f（x）的图象关于直线x对称8已知函数，其中m0，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）k0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是（）A（，3）BC3，0）D9已知实数a0.70.2，blog20.7，c20.7，则实数a，b，c的大小是（）AabcBbacCbcaDacb二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10已知复数z+（a1）i的虚部为零，i为虚数单位，则实数a 11二
4、项式的展开式中的常数项为 12已知圆C：（x1）2+（y2）29，圆C以（1，3）为中点的弦所在直线的斜率k 13由1，2，3，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则的概率为 14已知正实数m，n满足，则m+2n的最小值是 15设向量，不平行，若向量+与2平行，则实数的值为 三解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC中，AC6，cosB，C（1）求AB的长；（2）求cos（A）的值17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PAPB2，若点E，F
5、分别为AB和CD的中点（）求证：平面ABCD平面PEF；（）若二面角PABC的平面角的余弦值为，求PC与平面PAB所成角的正弦值18设椭圆C：1（ab0）的一个焦点为，四条直线xa，yb所围成的区域面积为4（1）求C的方程；（2）设过D（0，3）的直线l与C交于不同的两点A，B，设弦AB的中点为M，且|OM|AB|（O为原点），求直线l的方程19已知数列an的各项均不为零，设数列an的前n项和为Sn，数列an2的前n项和为Tn，且3Sn24Sn+Tn0（nN*）（1）求a1，a2的值；（2）设bn（2n1）2n，求数列bn前n项和Bn；（3）证明：数列an是等比数列20已知函数f（x）x3+x
6、2ax（aR），g（x）xlnx（1）求曲线g（x）在x1处的切线方程；（2）对任意x（0，a，f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当x（0，a时，试求方程f（x）g（x）的根的个数参考答案一选择题（共9小题）.1体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目设集合U甲班全体同学，集合A参加跳高的甲班同学，集合B参加跳远的甲班同学，则U（AB）表示的是（）A既参加跳高又参加跳远的甲班同学B既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C参加跳高或跳远的甲班同学D不同时参加跳高和跳远的甲班同学解：集合U甲班全体同学，集合A参加跳高的甲班同学，集合B参加跳远的甲班同学，则U（AB）表示的是不同时参
7、加跳高和跳远的甲班同学，故选：D2“函数在（0，+）上是减函数”是“函数ykx在R上是增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：函数y在（0，+）上是减函数，k0，函数ykx在R上是增函数，故是充分条件；若函数ykx在R上是增函数，则：k0；推出函数y在（0，+）上是减函数，故是必要条件，故选：C3函数f（x）cos（x）ln（ex+ex）的图象大致为（）ABCD解：（x）cos（x）ln（ex+ex）sinxln（ex+ex），f（x）sinx（x）ln（ex+ex）sinxln（ex+ex）f（x），函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排
8、除D，yex+ex22，当且仅当x0时取等号，ln（ex+ex）ln2ln10，当x0，）时，sinx0，当x，2）时，sinx0，当x0，）时，f（x）0，当x，2）时，f（x）0，故排除AB，故选：C4某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克），其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（）A采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化B采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高C采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了D新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大解：由频率分布直方图得：
9、在A中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化，故A正确；在B中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高，故B正确；在C中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了，故C正确；在D中，新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响较大，故D错误故选：D5一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）ABCD解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，设底面三角形外接圆的半径r，由正弦定理可得，2r，r，所以R，所以球的表面积S4故选：A6已知椭圆的两焦点F1，F2和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一
10、个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最小值为（）ABCD解：不妨设椭圆方程为+1（ab0），双曲线方程为1（m0，n0）再设|PF1|s，|PF2|t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t2a，st2m，解得sa+m，tam，在三角形F1PF2中，可得4c2s2+t22sta2+m2+2am+a2+m22am（a2m2），即有3a2+5m28c2，可得+8，即为+8，则e12+e22（+ ）（e12+e22）（8+）（8+2）（8+2）1+，当且仅当，即e22e12，取得最小值1+故选：A7已知函数f（x）sin（x+）（0，|），其图象相邻两条对称轴之间的距离
11、为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数f（x）的图象关于点（，0）对称C函数f（x）在，上单调递增D函数f（x）的图象关于直线x对称解：函数f（x）sin（x+）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，函数f（x）的周期T，故A错误；02，函数f（x+）的解析式为：f（x）sin2（x+）+sin（2x+），函数f（x+）是偶函数，+k+，kZ，又|，解得：f（x）sin（2x+）由2x+k，kZ，解得对称中心为：（ ，0），kZ，故B错误；由2k2x+2k+，kZ，解得单调递增区间为：k，k+，kZ，故C正确由2x+k+，kZ，解得对称轴是：x+，
12、kZ，故D错误；故选：C8已知函数，其中m0，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）k0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是（）A（，3）BC3，0）D解：当m0时，作出函数的图象如下图所示，当xm时，f（x）x22mx+6（xm）2+6m26m2，所以若要存在实数k，使得关于x的方程f（x）k0恰有三个不同的实数根，则必须6m2m2（m0），解得，所以m的取值范围是故选：B9已知实数a0.70.2，blog20.7，c20.7，则实数a，b，c的大小是（）AabcBbacCbcaDacb解：00.70.20.701，log20.7log210，20.7201，bac故选：B二填空题：本大题
13、共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10已知复数z+（a1）i的虚部为零，i为虚数单位，则实数a解：z+（a1）i+（a1）i+（a1）i+（a）i，因为其虚部为零，所以，即故答案为：11二项式的展开式中的常数项为112解：展开式的通项为Tr+1（2）rC8r，令0得r2，所以展开式中的常数项为（2）2C82112故答案为：11212已知圆C：（x1）2+（y2）29，圆C以（1，3）为中点的弦所在直线的斜率k2解：根据题意，圆C：（x1）2+（y2）29，其圆心C（1，2），设P（1，3），要求斜率的弦所在的直线为l，若要求弦以P（1，3）为中
14、点，则CPl，又由kCP，则直线l的斜率k2，故答案为：213由1，2，3，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则的概率为解：由1，2，3，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，P（）1P（），a，P（），则的概率P（）1故答案为：14已知正实数m，n满足，则m+2n的最小值是解：正实数m，n满足，设am+2n，b+，ab（m+2n）（+）+2+2，当且仅当mn时取等号，a+b，a（a），解得a3，故m+2n的最小值为故答案为
15、：15设向量，不平行，若向量+与2平行，则实数的值为解：向量+与2平行，存在实数k使得+k（2），化为+，向量，不平行，解得故答案为：三解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC中，AC6，cosB，C（1）求AB的长；（2）求cos（A）的值解：（1）ABC中，cosB，B（0，），sinB，AB5；（2）cosAcos（A）cos（C+B）sinBsinCcosBcosCA为三角形的内角，sinA，cos（A）cosA+sinA17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PAPB2，若点E，F分别为AB和CD的中点（）求证：平面
16、ABCD平面PEF；（）若二面角PABC的平面角的余弦值为，求PC与平面PAB所成角的正弦值解：（）PAPB，ABPE而ABEF，所以AB平面PEF，又AB平面PEF，所以平面ABCD平面PEF（）结合（）可知，PEF即为二面角PABC的平面角如图，作POEF于O，则，如图建立空间直角坐标系，则设平面PAB的法向量为，则，令z1，则，故PC与平面PAB所成角的正弦值为18设椭圆C：1（ab0）的一个焦点为，四条直线xa，yb所围成的区域面积为4（1）求C的方程；（2）设过D（0，3）的直线l与C交于不同的两点A，B，设弦AB的中点为M，且|OM|AB|（O为原点），求直线l的方程解：（1）由题
17、意，可知c，4ab4，则，解得椭圆C的方程为+y21（2）由题意，当斜率不存在时，点M即为O点，不满足|OM|AB|，故斜率存在，设斜率为k，则直线l：ykx+3设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（3k2+1）x2+18kx+240则x1+x2，x1x2|AB|设点M（xM，yM），则xM，yMk+3|OM|OM|AB|，即3化简，整理得3k432k2110，解得k211，或k2（舍去）k直线l的方程为yx+319已知数列an的各项均不为零，设数列an的前n项和为Sn，数列an2的前n项和为Tn，且3Sn24Sn+Tn0（nN*）（1）求a1，a2的值；（2）设bn（2n1）
18、2n，求数列bn前n项和Bn；（3）证明：数列an是等比数列【解答】解（1）：3Sn24Sn+Tn0，令n1，得3a124a1+a120a10，a11令n2，得2（1+a2）24（1+a2）+（1+a22）0即2a22+a20a20，a2；（2）bn（2n1）2n，Bn12+322+523+（2n1）n2n，2Bn122+323+524+（2n1）2n+1，得Bn2+2（22+23+2n）（2n1）2n+12+2（2n1）2n+16+2n+2（2n1）2n+16（2n3）2n+1，Bn（2n3）2n+1+6证明（3）3Sn24Sn+Tn0，3Sn+124Sn+1+Tn+10，得：3（Sn+1+
19、Sn）an+14an+1+an+120，an+10，3（Sn+1+Sn）4+an+10，3（Sn+Sn1）4+an0，当n2时，得：3（an+1+an）+an+1an0，即an+1an，an0，又由（1）知，a11，a2，数列an是以1为首项，以为公比的等比数列20已知函数f（x）x3+x2ax（aR），g（x）xlnx（1）求曲线g（x）在x1处的切线方程；（2）对任意x（0，a，f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当x（0，a时，试求方程f（x）g（x）的根的个数解：（1）g（x）xlnx，则 g（x） 的定义域为 （0，+），g（x）lnx+1，g（1）1，g（1）0，则切
20、点为 （1，0）， 曲线 g（x） 在 x1 处的切线方程是：yx1（2）对任意 x（0，a，f（x）g（x） 恒成立， 对任意 x（0，a，x2+xalnx 恒成立，即 x2+xlnxa0 恒成立，令 （x）x2+xlnxa，x（0，a，则 ，当 时，当 x（0，a时，（x）0，（x） 在 （0，a上单调递减，当 时，当 时，（x）0，（x） 在 上单调递减，当 时，（x）0，（x） 在 单调递增，综上，实数 a 的取值范围是 （3）当 时，由（2）得，方程 f（x）g（x） 的根的个数为 0，当 时，由（2）得，当 时，f（x）g（x）0，方程 f（x）g（x） 的根的个数为 1，当 时，（ea）e2a+ea0，根据零点存在性定理，（x） 在 上至少存在 1 个零点，又在 上单调递减，（a）a2lnaa2a0，同理，（x） 在 上只有 1 个零点， 方程 f（x）g（x） 的根的个数为 2，综上，当 时，方程 f（x）g（x） 的根的个数为 0；当 时，方程 f（x）g（x） 的根的个数为 1；当 时，方程 f（x）g（x） 的根的个数为 2
