1、 期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 命题p：“x0R，x02-x00”，则p是（）A. x0R，x02-x00B. x0R，x02-x00C. xR，x2-x0D. xR，x2-x02. 抛物线y2=4x上的点M（4，y0）到其焦点F的距离为（）A. 3B. 4C. 5D. 63. 圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（）A. B. C. D. 4. 若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，m，则mB
2、. 若m，nm，则nC. 若m，n，m，n，则D. 若m，m，=n，则mn5. 九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（A|B）=（）A. B. C. D. 6. （1+x-x2）（x+）6展开式中x2项的系数为（）A. B. C. D. 7. 我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和历史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（）A. 8B. 12C. 18D. 198. 如表是某厂1
3、4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，其中有一个数据模糊不清，已知原来根据该数据由最小二乘法求得回归直线方程为y=-0.7x+5.25，则表中模糊不清的数据为（）月份x1234用水量y4.532.5A. 2.5B. 4.5C. 3D. 49. 某学期某大学数学专业的6名在校大学生到我校实习，则实习大学生按人数2，2，1，1安排到不同的四个年级的方案共有（）A. 1080B. 540C. 180D. 9010. 平行四边形ABCD的四个顶点均在双曲线=1（a0，b0）上，直线AB，AD的斜率分别为，1，则该双曲线的渐近线方程为（）A. xy=0B. xy=0C. xy=0D. xy=011. 观
4、察：47=223+1，23=211+1，11=25+1，5=22+1，2=21+0，1=20+1，从而得到47的二进制数为101111，记作：47（2）=101111，类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则47（3）=（）A. 202B. 1202C. 021D. 202112. 定义在（0，+）上的函数f（x）满足xf（x）lnx+f（x）0（其中f（x）为f（x）的导函数），则下列各式成立的是（）A. ef（e）1B. ff（e）1C. ff（e）1D. ff（e）1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为
5、4的样本，已知学号为3号、16号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为_14. 已知随机变量X，Y满足XB（5，），Y=2X+3，D（Y）=_15. 设（1-ax）2020=a0+a1x+a2x2+a2020x2020，若a1-2a2+3a3-4a4+20019a2019-2020a2020=2020a，则非零实数a=_16. 某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体外接球的表面积_三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标
6、方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线与曲线C交于A，B两点，点P（1，2），求|PA|-|PB|的值18. 我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示（）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用表示抽到成绩为86分的人数，求的分布列和数学期望；（）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的22列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.0
7、25的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19. 如图，已知多面体PABCDE的底面是边长为2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA=2ED=2（1）证明：CE平面PAB；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45，求二面角P-AC-E的大小20. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元，根据历史资料，得到销售
8、季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了120t的该农产品，以X（单位t：100X150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该产品的利润（1）根据直方图估计下一个销售季度市场需求量X的平均数、中位数和众数；（2）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x（100，110），则取X=105，且X=105的概率等于需求量落入100，110）的频率，）求利润T的分布列和数学期望21. 椭圆C：=1（ab0）的左焦点为F1（-1，0），点P（1，）在椭
9、圆上（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上另一点M满足ABM的重心为坐标原点O，求ABM的面积22. 已知函数f（x）=，g（x）=lnx-x（1）若函数h（x）=af（x）+g（x）（aR）在1，+）单调递增，求实数a的取值范围；（2）若g（x）mx+n（mR，n0）恒成立，求（m+1）n的最小值（n）的最大值答案和解析1.【答案】D【解析】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：“x0R，x02-x00”，则p：“xR，x2-x0”故选：D运用特称命题的否定为全称命题，注意量词和不等号的变化，即可得到所求结论本题考查命题的否定，注意运用特称命题
10、的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化能力，属于基础题2.【答案】C【解析】解：由抛物线y2=4x，得F（1，0），如图，|FM|=4+，故选：C利用焦半径公式可得FM的长度如果抛物线的方程为y2=2px（p0），则抛物线上的点M（x0，y0）到焦点F的距离为3.【答案】A【解析】解：由题意可得：S圆=82=64，S正方形=44=16，由几何概型中的面积型可得：该粒米落入小孔内的概率为P=，故选：A由几何概型中的面积型可得：该粒米落入小孔内的概率为P=，得解本题考查了几何概型中的面积型，属中档题4.【答案】D【解析】解：若，m，则m与可能平行也可能相交，故A错误；若m，nm，则n或
11、n或n与相交，故B错误；若m，n，m，n，则或与相交，故C错误；若m，m，=n，则mn，故D正确故选：D根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题5.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题确定P（A）=，P（B）=，P（AB）=，再利用条件概率公式，即可求得结论【解答】解：由题意P（A）=，P（B）=，P（AB）=，P（A|B）=，故选：B6.【答案】C【解析】解：由（x+）6的展开式的通项公式为Tr+1=x6-r（）r=2-rx6-2r，故（x+）6的二项展开式中的常数项为=，一次项系数为0，
12、二次项的系数为=，则（1+x-x2）（x+）6展开式中x2的系数为-=，故选：C考虑（x+）6的二项展开式中的常数项、一次项和二次项的系数后可得所求的系数二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求，属中档题7.【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有C42=6种选考方法种数；如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有C42=6种选考方法种数，综上，选考方法种数共有12种，故选：B根据题意，分2种情况讨论：如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，如果甲选考历
13、史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案本题考查分类计数原理的应用，解题时注意合理分类，属于基础题8.【答案】D【解析】解：设表中模糊不清的数据为x，则，回归直线方程y=-0.7x+5.25，解得x=4故选：D由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，属于基础题9.【答案】A【解析】解：根据题意，分2步进行分析：，先把6人按2，2，1，1分成4组，有=45种分组方法；，将分好的4组全排列，对应四个年级，有A44=24种安排方法，则有4524=1080种方案；故选：A根据题意
14、，分2步进行分析：，先把6人按2，2，1，1分成4组，将分好的4组全排列，对应四个年级，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题10.【答案】A【解析】解：双曲线=1（a0，b0）是中心对称的，故平行四边形ABCD的顶点B，D关于原点对称，设A（x0，y0），B（x1，y1），则D（-x1，-y1），故，整理得到：，即，故，即，渐近线方程为y=，即x，故选：A利用点差法可求，从而可得渐近线方程直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算，是中档题11.【答案】B【解析】解：因为47=315+2，15=35，5=31
15、+2，2=30+2，所以47=127+29+03+2，故47（3）=1202故选：B把47分解为47=127+29+03+2后可得其三进制数的表示本题为新定义题，弄清题设中一个正整数的二进制表示是如何得到的是关键，属于基础题12.【答案】C【解析】解：xf（x）lnx+f（x）0，f（x）lnx+0，即f（x）lnx0，令g（x）=f（x）lnx，则g（x）在（0，+）上为增函数，g（e）g（1）g（），即f（e）lne0f（）ln，亦即lnef（e）ln1ln，亦即ef（e）1，故选：C构建新函数令g（x）=f（x）lnx，可得g（x）在（0，+）上为增函数，从而得到g（e）g（1）g（），
16、化简后即可得出本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题13.【答案】29【解析】解：因为该班总共52人，样本容量为4，故样本间隔为524=13，故抽取的学号是公差为13的等差数列，故余下一个同学的学号为16+13=29故答案为：29依据系统抽样可知学号是公差为13的等差数列，从而可求余下一个同学的学号本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔，结合等差数列的性质是解决本题的关键14.【答案】【解析】解：因为XB（5，），所以D（X）=5=，又Y=2X+3，所以D（Y）=22D（X）=，故答案为：利用公式D（Y）=22D（X）直接计算即可本
17、题考查了二项分布及期望、方差的运算，属基础题15.【答案】-2【解析】解：对等式（1-ax）2020=a0+a1x+a2x2+a2020x2020，两边求导后可得：-a2020（1-ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+2020a2020x2019，令x=-1，则有-a2020（1+a）2019=a1-2a2+3a3-2020a2020=2020a，因为a0，则（1+a）2019=-1，即a=-2，故答案为：-2对题设中的等式两边求导后再令x=-1可得（1+a）2019=-1，从而求得a的值二项展开式中项的系数性质的讨论，可利用赋值法来求讨论，所赋之值应该根据解析式的特点作合
18、适选择，有时还需要对原有等式做合适的代数变形后（如求导等）再赋值，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来讨论，属中档题16.【答案】32【解析】解：图，几何体为三棱锥A-BCD，将三棱锥A-BCD补形为直三棱柱ADE=ECB，其中底面BCF为等腰直角三角形，其外接圆的半径为r=2，侧棱CD=4，故外接球的半径为R=2，故三棱锥A-BCD外接球的表面积为S=4R2=32故答案为：32三视图对应的几何体为三棱锥，补体后可求其外接球的表面积本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系17.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程可化为2sin2=8cos，因为，所以直角坐
19、标方程为y2=8x；（2）设直线l上A，B两点的参数分别为t1，t2，则A（1+t1，2+t1），B（1+t2，2+t2），将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得（2+t）2=8（1+t），化简得t2-4t-8=0，则，所以|PA|-|PB|=|t1|-|t2|=|t1+t2|=4【解析】（1）曲线C的极坐标方程可以化为2sin2=8cos，利用可得其直角坐标方程（2）把直线的参数代入抛物线的方程得到关于t的一元二次方程，利用参数t的几何意义可求|PA|-|PB|的值本题考查了极坐标方程与直角方程的互化，属中档题18.【答案】解：（）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60-9（0分）之间，而乙班数
20、学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高（3分）（）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，=0，1，2P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=（6分）则随机变量的分布列为012P数学期望E=0+1+2=人-（8分）（）22列联表为甲班乙班合计优秀31013不优秀171027合计202040（10分）K2=5.5845.024因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关（12分）【解析】（）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；（）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，=0，1，2，
21、求出概率，可得的分布列和数学期望；（）根据成绩不低于85分的为优秀，可得22列联表，计算K2，从而与临界值比较，即可得到结论本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题19.【答案】证明：（1）底面ABCD是菱形，ABCD，CD平面PAB，AB平面PAB，CD平面PAB同理，ED平面PAB，EDCD=D，平面CDE平面PAB，又CE平面CDE，CE平面PAB解：（2）PA底面ABCD，CPA即为直线PC与平面ABCD所成的角，故PCA=45，RtPAC中，AC=PA=2，又底面ABCD是边长为2的菱形，AB=AC=BC=2，取BC中点F，连结AF，则AFAD，以A为坐
22、标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（），C（），D（0，2，0），E（0，2，1），=（），=（0，2，1），PA底面ABCD，PABD，又底面ABCD是菱形，ACBD，BD平面PAC，平面PAC的法向量取=（-），设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，-），cos=-，由题意得二面角P-AC-E的平面角是锐角，二面角P-AC-E的大小为60【解析】（1）可证平面CDE平面PAB，从而可证CE平面PAB（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量可得二面角的余弦值，从而得到二面角的平面角的大小线面平行的证明
23、的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算20.【答案】解：（1）=1050.1+1150.2+1250.3+1350.25+1450.15=126.5，X中=120+10=126，X众=125，（2）T=，利润T的分布列为T480005600060000P0.10.20.7E（T）=480000.1+560000.2+600000.7=58
24、000（元）【解析】（1）利用组中值可求平均数，众数就是频率最大的组的中值，而中位数就是能把诸矩形面积平分的那个值（2）先求出利润与X的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，属于基础题21.【答案】解：（1）依题意：，解得，椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），由于ABM的重心为坐标原点O，联立，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，M在椭圆上，即，A，B在椭圆上，即，即，|AB|=，ABM的重心为坐标原点O，M到直线l的距离等于O到直线l的距
25、离的3倍，即d=，【解析】（1）列出关于a，b，c的方程组，求解可得椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），联立直线方程和椭圆方程，消元后可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，利用韦达定理可用k表示M的坐标，再利用M在椭圆上得到，利用该式化简ABM的面积表达式可得其值本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题22.【答案】解（1）h（x）=af（x）+g（x）=，函数h（x）在1，+）单调递增，对任意x1，+）恒成立，aex-10，因为在1，+）单调递减，当x=1时，故所求实数a的取值范围为（2），lnx-
26、（m+1）x-n0即令F（x）=lnx-（m+1）x-n，则F（x）0恒成立，若m+10，则当xen时F（x）0，与F（x）0恒成立矛盾，m+10，由F（x）=0得，当时F（x）0，F（x）单调递增；当时F（x）0，F（x）单调递减；，n0，（m+1）n的最小值（n）=ne-1-n又（x）=e-1-n-ne-1-n=（1-n）e-1-n，当n（0，1）时，（n）0，（n）单调递增；当x（1，+）时，（n）0，（n）单调递减，【解析】（1）由题设有h（x）0，x（1，+），参变分离后可得a的取值范围（2）等价于lnx-（m+1）x-n0，令F（x）=lnx-（m+1）x-n，分m+10和m+10后可得，其中m+10，故即m+1e-1-n，从而，令（n）=ne-1-n，利用导数可求其最大值本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数求函数的最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题
