1、试验最优化方法也称为试验最优化方法也称为试验设计试验设计（Experimental Experimental DesignDesign），是以概率论和数理统计为理论基础，经），是以概率论和数理统计为理论基础，经济地、科学地安排试验的一项技术济地、科学地安排试验的一项技术.在自然科学中，在自然科学中，有些规律尚未被人们所认识，开始往往通过试验获有些规律尚未被人们所认识，开始往往通过试验获得其统计规律，在此基础上提出科学猜想得其统计规律，在此基础上提出科学猜想,再从理再从理论或实践上证明这些猜想论或实践上证明这些猜想.例如在工农业生产中希例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优产、低消耗；新产品
2、开发，望通过试验达到高质、优产、低消耗；新产品开发，未 知 的 东 西 很 多，要 通 过 试 验 来 摸 索未 知 的 东 西 很 多，要 通 过 试 验 来 摸 索 工艺条件或配方等工艺条件或配方等.如何安排试验，能达到好的试验效果，而又使试如何安排试验，能达到好的试验效果，而又使试验次数尽量少呢？这是经常会碰到的问题验次数尽量少呢？这是经常会碰到的问题.由于这由于这类问题没有用数学公式表示的目标函数，所以不类问题没有用数学公式表示的目标函数，所以不能直接使用微积分中的求解约束极值问题的最优能直接使用微积分中的求解约束极值问题的最优化方法化方法.解决这类问题的方法，称为试验最优化方解决这类
3、问题的方法，称为试验最优化方法，也称为法，也称为“试验设计试验设计”.如何做试验，其中大有如何做试验，其中大有学问学问.试验设计得好，会事半功倍；反之会事倍功试验设计得好，会事半功倍；反之会事倍功半，甚至劳而无功半，甚至劳而无功.6.1 6.1 什么是优选法什么是优选法6.2 6.2 单因素优选法单因素优选法6.3 6.3 多因素优选法多因素优选法6.4 6.4 优选法的本质优选法的本质函数极值问题函数极值问题6.5 6.5 什么是试验设计什么是试验设计6.6 6.6 正交表及其应用正交表及其应用6.7 6.7 进一步思考的问题进一步思考的问题6.8 6.8 有交互作用的试验有交互作用的试验第
4、六章 试验最优化方法6.1 6.1 什么是优选法什么是优选法6.1 什么是优选法什么是优选法概述优选法亦称试验最优化方法，是一类实用的直接最优化方法.在生产实践和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗的目的，需要对有关因素的最优点进行选择.这类问题统称为选优问题。优选法就是针对选优问题，利用数学原理，合理地安排试验点，使之较快地找到最优点或近似最优点的一类方法。优选法中比较成熟和著名的方法是解决单因素优选法中比较成熟和著名的方法是解决单因素（指影响试验结果的因素只有一个）选优问题的（指影响试验结果的因素只有一个）选优问题的斐斐波那契法波那契法和和近似黄金分割法近似黄金分割法（0.6180.
5、618法法）。在目标）。在目标函数（尽管该目标函数不能用数学公式表示）为单函数（尽管该目标函数不能用数学公式表示）为单峰函数（指的是只有一个最优点）的条件下，峰函数（指的是只有一个最优点）的条件下，19531953年美国数学家基弗（年美国数学家基弗（J.C.KieferJ.C.Kiefer）证明了这两种方）证明了这两种方法在减少试验次数方面是最优的方法，以后欧美和法在减少试验次数方面是最优的方法，以后欧美和中国的一些学者又进一步给出其他的证明方法。除中国的一些学者又进一步给出其他的证明方法。除此之外还有常用的二分法、分批试验法等。此之外还有常用的二分法、分批试验法等。6.1 什么是优选法什么是
6、优选法单因素优选法的核心是比较与鉴别。单因素优选法的核心是比较与鉴别。0.6180.618法和法和斐波那契法的比较对象是两个试验点上的试验结斐波那契法的比较对象是两个试验点上的试验结果；二分法的比较对象是试验点上的试验结果与果；二分法的比较对象是试验点上的试验结果与标准；分批试验法的比较对象是每批试验中的所标准；分批试验法的比较对象是每批试验中的所有试验结果。有试验结果。6.1 什么是优选法什么是优选法6.1 什么是优选法什么是优选法华尔特（华尔特（D.J.WildeD.J.Wilde）把优选法分为两类：一类是）把优选法分为两类：一类是区间缩小法区间缩小法，即通过试验将最优值所在的范围逐，即通
7、过试验将最优值所在的范围逐步缩小，直至缩小到要求的精度为止步缩小，直至缩小到要求的精度为止.前面提到的前面提到的斐波那契法、近似黄金分割法（斐波那契法、近似黄金分割法（0.6180.618法）、二分法）、二分法等都属于这类方法法等都属于这类方法.另一类是另一类是爬山法爬山法，如爬山一，如爬山一样，从已知的信息逐步向更加好的方向移动，爬样，从已知的信息逐步向更加好的方向移动，爬山法的比较对象是前后两个试验点上的试验结果。山法的比较对象是前后两个试验点上的试验结果。对极大化问题使目标函数值逐步上升，对极小化对极大化问题使目标函数值逐步上升，对极小化问题使目标函数值逐步下降，直到不能再改进目问题使目
8、标函数值逐步下降，直到不能再改进目标值为止标值为止 。6.2 6.2 单因素优选法单因素优选法6.2 单因素优选法单因素优选法在生产实践和科学试验中存在大量的单因素选优问题。在生产实践和科学试验中存在大量的单因素选优问题。.某炼钢车间要炼一种特种钢，用某种化学元素某炼钢车间要炼一种特种钢，用某种化学元素来加强其强度，太少不好，太多也不好。例如，碳太多来加强其强度，太少不好，太多也不好。例如，碳太多了成为生铁，碳太少了成为熟铁，都不成钢材，每吨要了成为生铁，碳太少了成为熟铁，都不成钢材，每吨要加多少碳才能达到强度最高？假定已经估计出（或从理加多少碳才能达到强度最高？假定已经估计出（或从理论上算出
9、）每吨的加碳量在论上算出）每吨的加碳量在10001000克到克到20002000克之间，如何克之间，如何又好又快地找到最适当的加碳量？又好又快地找到最适当的加碳量？卡那霉素发酵液的生物测定，国内外卡那霉素发酵液的生物测定，国内外都规定培养温度为都规定培养温度为,培养时间培养时间1616小时以上小时以上.某某制药厂为缩短时间，决定优选培养温度。试制药厂为缩短时间，决定优选培养温度。试验范围定为验范围定为29295050，精确度要求为。应该如，精确度要求为。应该如何安排试验，能又好又快地找到最佳培养温何安排试验，能又好又快地找到最佳培养温度？度？6.2 单因素优选法单因素优选法 某炼油厂试制硫酸钡
10、，其原料硫酸是某炼油厂试制硫酸钡，其原料硫酸是1818号号硫化油经乙醇水溶液萃取出来的硫化油经乙醇水溶液萃取出来的.试验目的是选择试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出的白油乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离出的白油最多最多.根据经验，乙醇水溶液浓度的变化范围是根据经验，乙醇水溶液浓度的变化范围是50%90%50%90%（体积百分比，指乙醇体积占全部乙醇（体积百分比，指乙醇体积占全部乙醇水溶液体积的百分比），用量变化范围是水溶液体积的百分比），用量变化范围是30%30%70%70%（重量百分比，指乙醇水溶液重量占原料总重（重量百分比，指乙醇水溶液重量占原料总重量的百分比），精度为量
11、的百分比），精度为%应该如何安排试验，能又应该如何安排试验，能又好又快地找到乙醇水溶液的合适浓度和用量？好又快地找到乙醇水溶液的合适浓度和用量？6.2 单因素优选法单因素优选法6.2 单因素优选法单因素优选法1.0.6181.0.618法法0.618这个数来源于黄金分割数 6180339887.0215的近似值。的近似值。三种常见方法：6.2 单因素优选法单因素优选法结合问题1，介绍0.618法的实施过程：用一张有刻度的纸条表达问题1的试验范围10002000克，在这张纸条长度的0.618处画一条竖线，该刻度代表1618克，按照加碳量1618克做第一次试验，并记下试验结果.然后把纸条对折，16
12、18点关于折痕（即纸条的中点）的对称点就是1382点，按照加碳量1382克做第二次试验，并记下试验结果。把两次试验结果加以比较：如果把两次试验结果加以比较：如果13821382克处的效果较好（称为克处的效果较好（称为好点），我们在好点），我们在16181618处把纸条的右边一段剪掉，得到下图：处把纸条的右边一段剪掉，得到下图：（如果（如果16181618克的效果较好，我们在克的效果较好，我们在13821382处把纸条的左边一段处把纸条的左边一段剪掉）。如果剪掉）。如果13821382克处的效果达到要求，优选到此为止；否克处的效果达到要求，优选到此为止；否则，继续优选。再把留下的纸条对折，找到与
13、则，继续优选。再把留下的纸条对折，找到与13821382点对称的点对称的12361236点，如下图：点，如下图：6.2 单因素优选法单因素优选法按照加碳量按照加碳量12361236克做第三次试验，将试验结果与克做第三次试验，将试验结果与13821382克处克处的结果比较的结果比较.如果仍是如果仍是13821382克处的效果较好，我们在克处的效果较好，我们在12361236处把纸条的左边一段剪掉，如此等等处把纸条的左边一段剪掉，如此等等.15(1 0.382)10000.73251克克克这样，经过试验、比较，再试验、再比较，逐步找到最好的这样，经过试验、比较，再试验、再比较，逐步找到最好的加碳量
14、或达到生产要求加碳量或达到生产要求.在这个过程中，最多做在这个过程中，最多做1515次试验，就次试验，就可以找出最好的加碳量可以找出最好的加碳量.这是因为这是因为6.2 单因素优选法单因素优选法也可以通过两个基本公式直接算出试验点：设试验范围是区间 ，第一次试验点（简称分割点）的计算公式：分割点 以后各次试验点（简称对称点）的计算公式：对称点 分割点 使用这两个公式时需要注意：随着试验范围的缩小，大头、小头、分割点的取值也在变化。,a b()0.618baa()ba6.2 单因素优选法单因素优选法如上例：试验范围是区间，第一次试验点（分割点）第二次试验点（对称点）由于第二次试验效果比第一次好，
15、去掉子区间，新的试验范围是区间 ，故第三次试验点,1000,2000a b(2000 1000)0.618 1000 1618(20001000)16181382(1618,20001000,161810001618 13821236 这就是这就是0.618法的全过程法的全过程.6.2 单因素优选法单因素优选法2 2、斐波那契法（分数法）数学的各个领域常常出乎意料地奇妙的联系在一起。斐波数学的各个领域常常出乎意料地奇妙的联系在一起。斐波那契数列那契数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,233,从
16、第三项开始，每个数都是它前面两个数的和从第三项开始，每个数都是它前面两个数的和 。若第个斐波那契数记为，则这个数列有下面的递推关系若第个斐波那契数记为，则这个数列有下面的递推关系 由此出发，借助于数学归纳法可以导出通项公式由此出发，借助于数学归纳法可以导出通项公式 这个公式是由法国数学家比内（这个公式是由法国数学家比内（BinetBinet）求出的。）求出的。nnnFFF121125125151nnnF6.2 单因素优选法单因素优选法如果按照公式 构造数列，得到：随着的增大，它们越来越接近于黄金分割数 1nnnFuF，2,3,.n 1235813,.235813216180339887.021
17、56.2 单因素优选法单因素优选法事实上，极限 分数列（分数列（6.16.1）是黄金分割数）是黄金分割数 的近似值数列的近似值数列.nlimnu1nnFFnlimnlim22112512515125125151nnnnlimn 11515125125151511nn510.618033988722156.2 单因素优选法单因素优选法 分数法优选的步骤：分数法优选的步骤：（1 1）根据经验确定试验范围和试验总次数；）根据经验确定试验范围和试验总次数；（2 2）在分数列（）在分数列（6.16.1）中选取分母与试验总次数相同或最）中选取分母与试验总次数相同或最接近的分数；接近的分数；（3 3）以所取
18、分数的分子的数值为第一个试验点，取该点的）以所取分数的分子的数值为第一个试验点，取该点的对称点为第二个试验点进行试验，并记录两次试验结果；对称点为第二个试验点进行试验，并记录两次试验结果；（4 4）比较两次试验结果，按照）比较两次试验结果，按照0.6180.618法决定取舍法决定取舍.在留下的在留下的范围内，取好点的对称点继续进行试验；范围内，取好点的对称点继续进行试验；（5 5）重复上述步骤，直至找到满意点为止）重复上述步骤，直至找到满意点为止.6.2 单因素优选法单因素优选法【例6.1】某企业机加工车间为提高一种工件的质量，对车床转速进行优选.在C6140车床上，转速分为12挡，排列次序见
19、下表：档档 次次1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12转速（转转速（转/分）分）23 33 48 67 95 135 170 240 350 485 690 1000 第一次试验在第第一次试验在第8档做；第二次试验在对称的第档做；第二次试验在对称的第5档做；档做；然后比较结果然后比较结果.如果用第如果用第8档加工质量较好，就去掉第档加工质量较好，就去掉第5档以下档以下各档（否各档（否 则，就去掉第则，就去掉第8档以上各档）档以上各档）.第三次试验在对称的第第三次试验在对称的第10档做；如果用第档做；如果用第10档加工质量较好，档加工质量较好，就去掉第就去掉第8档以下各档（否则，就
20、去掉第档以下各档（否则，就去掉第10档以上各档）档以上各档）.第四次试验在对称的第第四次试验在对称的第11档做档做.再比较，如果第再比较，如果第10档好，则在第档好，则在第9档做最后一次（否则，取第档做最后一次（否则，取第11档为最好的档）档为最好的档）.这样就可以找到最好的档这样就可以找到最好的档.过程如下：过程如下：6.2 单因素优选法单因素优选法3、黄金分割数的由来黄金分割数的由来 在目标为单峰函数的条件下，在目标为单峰函数的条件下，0.618法与斐波那契法这两种法与斐波那契法这两种方法在减少试验次数方面是最优的方法方法在减少试验次数方面是最优的方法.为了说明这一点，为了说明这一点，我们
21、考虑线段我们考虑线段:图6.1 1 2 3 4 5 6 7 （8）9 10 11 12 6 7 （8）9 （10）11 12 9 （10）（11）12 （9）（10）6.2 单因素优选法单因素优选法_ADABx_2AB xABAB x假定假定D在在A、B之间的位置已经取得最合适，即比例之间的位置已经取得最合适，即比例 最优最优.再取再取D关于中点的对称点关于中点的对称点C,比较比较C、D试验结果后，去掉试验结果后，去掉DB或或AC段。若去掉段。若去掉DB段，即段，即C在在AD段中与段中与D在原试验范围在原试验范围AB段中段中一样，也应有一个最合适位置存在，既然已设定一样，也应有一个最合适位置存
22、在，既然已设定 x 最优，最优，x=？不难导出不难导出整理后得到方程整理后得到方程210.xx 解方程得到解方程得到510.6182x6.2 单因素优选法单因素优选法4.4.一批可以做几个试验的情况一批可以做几个试验的情况1）将试验区间均分五份，在其中四个分点上做试验；如图1：2）比较四个试验中那个效果最好？留下最好的点及其左右的区间.然后将留下的再等分为六份.再在四个新点处做试验.如图2：3）继续留下最好的点及其左右的区间，重复（1）的过程，不断做下去，就能找到最优点.6.2 单因素优选法单因素优选法5.多峰情况的处理 若目标函数是多峰（指的是有多个局部最优点）情况，可以采取以下方法处理：（
23、1）开始找一个峰，若达到要求，先采用，然后再找其它峰.（2）先做一批分布得比较均匀的试验，若发现有多个峰，则在每个可能出现高峰的范围内做试验，把所有峰都找出来.6.2 单因素优选法单因素优选法6.3 6.3 多因素优选法多因素优选法6.3 多因素优选法多因素优选法概述概述 处理多个因素的优选方法称为多因素优选法。特别地，处理两个因素的优选方法称为双因素优选法，其本质上是通过试验找出二元函数的最大值（或最小值）及其对应的最大点（或最小点）。常用的多因素优选法有：纵横对折法，平行线法，坐标轮换法，陡度法，等等。本节我们结合实例介绍双因素优选问题的纵横对折法.6.3 多因素优选法多因素优选法例6.2
24、 考虑6.2中的问题3.记乙醇水溶液浓度为x%，用量为y%，由所给资料可知，(,),)5090,3070 xyxyxy蜽=（先横向对折，即将用量固定在50%，用单因素的0.618法选取最优浓度为80%（图6.5中点3）；然后纵向对折，将浓度固定在70%，用单因素的0.618法对用量进行优选，试点9最好.比较点3与点9的试验结果，点3比点9好.于是，丢掉试验范围左边的一半.见图6.6.在剩下的试验范围内再纵向对折，将浓度固定在在剩下的试验范围内再纵向对折，将浓度固定在80%，对用量进行优选对用量进行优选.试验了试验了11，12两个点，结果都不如点两个点，结果都不如点3好，于是找到了好点，就是点好
25、，于是找到了好点，就是点3.试验结束试验结束.我们找到乙醇我们找到乙醇水溶液的最佳浓度为水溶液的最佳浓度为80%，最佳用量为，最佳用量为50%.试验方案试验方案与数据见表与数据见表6.2.6.3 多因素优选法多因素优选法表表6.2试验方案与数据试验方案与数据多于两个因素的情况，可以采用多于两个因素的情况，可以采用“降维法降维法”处理处理.6.3 多因素优选法多因素优选法6.4 6.4 优选法的本质优选法的本质 函数极值问题函数极值问题 1.间接最优化方法 使用条件是：已知目标函数表式 ；目标函数 在可行区域上 连续可微，有许多算法还要求目标函数 具有某种凸性和二次连续可微性.即使求出解，还要判
26、断并且研究它是不是整体最优解.在“最优化理论与算法”中专门研究这类问题.6.4 优选法的本质优选法的本质函数极值问题函数极值问题12(,)nf x xxL12(,)nfx xxL12(,):,1,2,niix xxaxbinW=LL12(,)nfx xxL 2.直接最优化方法 许多实际问题不具备以上这些条件，甚至根本写不出目标函数表达式 ，尽管它是客观存在的.用统计回归虽然可找出目标函数表达式，然后再求最大（或最小）值，但统计学总是需要大量的试验，计算也不简单，而且计算出来的函数往往简单失真.既然不能回避做大量的试验，为什么不直接采用优选法呢？这样做就可以帮助我们又好又快地解决实际问题.下面将
27、要介绍的试验设计法就是一种有效的直接最优化方法.12(,)nf xxxL6.4 优选法的本质优选法的本质函数极值问题函数极值问题6.5 6.5 什么是试验设计什么是试验设计6.5 什么是试验设计什么是试验设计1.1.概述概述在许多情况下，例如新产品的试制和新工艺、新流程等在许多情况下，例如新产品的试制和新工艺、新流程等的研究，由于经验不足，各因素的重要程度一时难以分的研究，由于经验不足，各因素的重要程度一时难以分清，常常需要反复多次，经过一系列的试验和分析，才清，常常需要反复多次，经过一系列的试验和分析，才能有所认识能有所认识.对于生产和科学试验来说，除了寻找最优生对于生产和科学试验来说，除了
28、寻找最优生产条件之外，还希望能够认识各个因素间谁主谁次，因产条件之外，还希望能够认识各个因素间谁主谁次，因素与因素之间的交互作用等等素与因素之间的交互作用等等.基于这些要求，在进行试基于这些要求，在进行试验时能否以尽可能少的试验次数来达到呢？人们在长期验时能否以尽可能少的试验次数来达到呢？人们在长期的生产实践和科学试验中，总结出了一种解决这类安排的生产实践和科学试验中，总结出了一种解决这类安排多因素试验问题的数学方法多因素试验问题的数学方法试验设计法试验设计法.6.5 什么是试验设计什么是试验设计 20世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇 (R.A.Fisher，1890-1962）在试验设
29、计和统计分析方面 做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计 科学的一个分支.他的名著试验设计（The Design of Experiments）初版于1935年,至今仍不失为试验设计和统计分析领域的经典著作.试验设计的方法迅速在农业、工业、生物学、医学等领域得到应用和发展，一般原理与各领域的特殊规律紧密结合，产生了具有鲜明个性的各种各样的试验设计方法，使该分支在理论上日趋完善.第二次世界大战中，英国军火局把它作为一项秘密的军事技术，用来提高军火质量，起到了很大作用.6.5 什么是试验设计什么是试验设计 美国人戴明（W.E.Deming,1900-1993）教 授把这一方法引进日本.日本统计
30、 学家田口玄一在上个世纪50年代将 这一方法研究、简化并大力推广.60年代，他将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出，为试验设计的更广泛使用做出了众所周知的贡献.6.5 什么是试验设计什么是试验设计到70年代末，日本利用正交试验设计，在各项生产中做出明显成绩的项目达到了150万个以上.正交试验设计已成为日本工程人员与管理人员必备的技术.正交试验设计方法大大增强了日本产品的竞争力.正如1991年美国人J.格林姆对这个成就的评价：“这也是当今日本工业遥遥领先的主要原因.”6.5 什么是试验设计什么是试验设计20世纪70年代初，我国对田口玄一的方法进一步加以改进，并进行了推广.
31、实践证明，用正交试验设计安排各种科学试验，简便易学.我国许多统计学家深入工厂、科研单位，用通俗的方法介绍正交试验设计，帮助工程技术人员进行试验的安排和数据分析，经济效益十分显著.6.5 什么是试验设计什么是试验设计 2.2.试验设计针对的实际问题试验设计针对的实际问题工业、农业、科学研究和军事科学的研究中，经常需要作各种试验，以研究各种因素之间的关系，找到最优的工艺条件或最好的配方.让我们先看两个例子.【例6.3】在一个化工产品生产过程中，考虑影响得率（产量）的三个因素：温度(A)，时间(B)和加碱量(C).为了便于试验的安排，每个因素都要根据以往的经验来选择一个试验范围，然后在试验范围内挑出
32、几个有代表性的值来进行试验，这些值称作该因素的水平.6.5 什么是试验设计什么是试验设计在该例中，我们选择的试验范围如下 温度：77.592.5；时间：75分165分；加碱量：4.5%7.5%.然后在上述范围内，每个因素各选三个水平，组成如下的因素水平表6.3：6.5 什么是试验设计什么是试验设计如果全面试验，需要如果全面试验，需要 次试验次试验.如何减少试验次数，以最少的试验次数，找到满意的配方？如何减少试验次数，以最少的试验次数，找到满意的配方？33276.5 什么是试验设计什么是试验设计【例6.4】某种钢质工件的质量标志是硬度.基本的生产工艺：把某种加工完毕的工件加热到某个温度，然后把它
33、投入某个液态的介质（例如水，油，又例如低熔点的金属，如液态锡等）中，物体骤然冷却，其硬度大为提高.可是这时的工件变脆.人们再把它加温到一定的温度，并保持一段时间后让它自然冷却，以释放其内应力.在现有的工艺参数下，硬度指标不能达到要求.能否改变工艺参数以提高硬度呢？热处理车间将所提出的问题简化成一个项目如下：6.5 什么是试验设计什么是试验设计项目：研究某种钢质工件的热处理工艺项目：研究某种钢质工件的热处理工艺.任务：提高钢材硬度任务：提高钢材硬度.指标：工件的硬度指标，记做指标：工件的硬度指标，记做.y因素及试验范围：因素及试验范围：A淬火温度（淬火温度（），范围是），范围是840860；B回
34、火温度（回火温度（），范围是），范围是410450；C回火时间回火时间(min)，范围是，范围是40min80min.水平：每个因素可以选三个水平，如表水平：每个因素可以选三个水平，如表6.4.6.4.6.5 什么是试验设计什么是试验设计如何安排试验，以最少的试验次数，找到满意的工艺参数？这些都是典型的试验设计问题.由于试验设计法的内容十分广泛，本节仅结合实际问题介绍正交试验设计法.6.5 什么是试验设计什么是试验设计3.3.正交试验设计简述正交试验设计简述虽然运筹学所研究的问题一般都具有精确的目标函数，具有准确的定义域，本质上是寻求目标函数最优（最大或最小）值.但实际当中许多问题不一定具有明
35、确的目标函数表达式和准确的定义域，不一定能够追求所谓的最优解，而只要求得在一定条件下的满意解.试验设计方法就是解决这类问题的一种有效方法.6.5 什么是试验设计什么是试验设计正交试验设计是试验设计中的一种，正交就是均衡、正常搭配的意思.它从数理统计学观点出发，利用正交性原理，从大量的试验点中挑选出适量的有代表性、典型性的试验点，根据正交表安排试验，再通过对试验结果的简单分析计算，达到在众多因素中分主次、选更好的一种试验设计方法.正交试验设计是非常有用、高效与简明的技术.6.5 什么是试验设计什么是试验设计为了介绍清楚正交试验设计方法，需要解释几个基本概念：因素：对试验有影响，要在试验中考虑的条
36、件；水平：在试验范围内，各因素所取的试验点；试验指标：描述试验结果的量；交互作用：当两个或两个以上因素对试验指标不是单独起影响作用，而是同时起影响作用，称这种作用为交互作用.正交试验设计应该包括如下的内容：(1)在明确的试验目的下，确定试验的结构和层次，以确保试验的可靠性.(2)分析对指标有影响的因素中谁是主要的.(3)应该选取多大的精度？(4)进行几次试验？因此，正交试验设计不仅要达到试验的目的，而且要以最经济、最快的方法达到目的.6.6 6.6 正交表及其应用正交表及其应用 6.6 正交表及其应用正交表及其应用1.正交表为了用正交试验设计的技术来解决类似上节例6.3、例6.4提出的那类问题
37、，我们先要熟悉一类数码表.所谓数码表就是一种全由阿拉伯数字组成的表.说它们是数码是因为我们假设这些数字之间只讨论异同，而不讨论加减乘除之类的运算问题.下面是两个最简单最常见的数码表，它们是 3449(2),(3)LL见表6.5，表6.6.6.6 正交表及其应用正交表及其应用两个特点：两个特点：（1）每个数码出现的）每个数码出现的 机会均等机会均等.（2）任意两列间数码）任意两列间数码 的搭配均衡的搭配均衡.6.6 正交表及其应用正交表及其应用还有许多的数码表（见本章末附的正交表），它们都具有出现的机会均等和搭配均衡的特点.我们称具有这两个特点的数码表为具有“正交性”，这种表叫做正交表.最简单的
38、一类正交表的一般形式是用下面的符号所标示的数码表 每个每个正交正交设计表有一个记号，如设计表有一个记号，如 ，它有如下的，它有如下的含义含义:正交设计试验次数水平数因素的最大数55()qnL t6.6 正交表及其应用正交表及其应用()qnL t49(3)L例如例如 表中的表中的“9”表示总共要做表示总共要做9次试验，次试验，“3”表示每个表示每个因素都有因素都有3个水平，个水平，“4”表示这个表有表示这个表有4列，最多可以安排列，最多可以安排4个因素个因素.三个因子各有三个水平的试验三个因子各有三个水平的试验,共有共有27个合理组合个合理组合,正如图正如图6.6的的27个交点个交点.但如果每个
39、平面取三个点但如果每个平面取三个点,每条线段每条线段取一个点取一个点,一次可得九个点一次可得九个点,这正是这正是 111122133,ABC AB CAB C 等九个试验点等九个试验点,这就是正交表这就是正交表的来历的来历.图图6.66.6 正交表及其应用正交表及其应用6.6 正交表及其应用正交表及其应用常用的二水平表有 371531481632(2),(2),(2),(2);LLLL三水平表有 413927(3),(3)LL四水平表有 516(4)L还有一批混合水平的表在实际中也十分有用，如434336812161629128716161618(4 2),(23),(42),(42),(42
40、),(4 2),(8 2),(2 3).LLLLLLLL例如 3616(42)L表示要求做16次试验，允许最多安排三个“4”水平因素，六个“2”水平因素.6.6 正交表及其应用正交表及其应用2.利用正交表安排试验方案【例6.5】我们结合例6.3介绍如何使用正交表安排试验方案.具体过程如下：（1）选择合适的正交表.我们取 49(3).L（2）将A，B，C三个因素放到 49(3)L的任意三列的表头上，如放在前三列.（3）将A，B，C三列的“1”，“2”，“3”变为相应因素的三个水平.6.6 正交表及其应用正交表及其应用9 9次试验方案为：次试验方案为：第一号试验的工艺条件为：A1(80)，B1(9
41、0分)，C1(5%)；第二号试验的工艺条件为：A1(80)，B2(120分)，C2(6%)；第九号试验的工艺条件为：A3(90)，B3(150分)，C2(6%).这样试验方案就排好了.如表6.7所示.6.6 正交表及其应用正交表及其应用6.6 正交表及其应用正交表及其应用3.3.试验结果的分析试验结果的分析利用正交表的两个特点，能够有效地帮助我们分析许多试验的结果.【例6.6】现在结合例6.4介绍如何对试验结果进行分析.第一步：安排试验方案.6.6 正交表及其应用正交表及其应用6.6 正交表及其应用正交表及其应用第一号试验的工艺条件为：A1(840)，B1(410)，C1(40min)；第二号
42、试验的工艺条件为：A1(840)，B2(430)，C2(60min)；第九号试验的工艺条件为：A3(860)，B2(430)，C1(40min).6.6 正交表及其应用正交表及其应用第二步：做试验并记录试验结果.表6.9 试验报告表26.6 正交表及其应用正交表及其应用第三步：初步分析结果.比较九个试验结果，立刻发现方案6：A2B1C2即 淬火温度850，回火温度410，回火时间60min 的硬度指标212最大.可知方案6是九次试验中最好的，这个方案叫做初步优选方案.第四步：对各因素的分析.正交表的两条特性启发我们来进一步分析问题.希望回答以下两个问题：每个因素的最好水平是什么?三个因素的最好
43、水平搭配是什么?为此,我们进行一下分析:6.6 正交表及其应用正交表及其应用表6.10 试验报告表1111232145631789190200 175565,165 183212560,196 178 187561.yyyyyyyyy(1)(1)对各因素的水平分析对各因素的水平分析(虚拟试验分析虚拟试验分析).).其中其余类似.6.6 正交表及其应用正交表及其应用由于在这三个虚拟试验中，无论回火温度还是回火时间，三个水平都均衡出现.可以设想，硬度和数指标的不同是由于淬火的温度不同而造成的.把淬火温度叫做这三个虚拟试验的特异因素特异因素.可知水平1，即取A1（840）时，硬度和数指标是三者中最好
44、的.我们可以用类似的方法讨论其余因素的水平分析.表6.10 试验报告表1 6.6 正交表及其应用正交表及其应用(2)对各因素的极差分析将表6.10中每列的最大值减去最小值得到极差Rk把这些数据填入下表试验报告表4，见表6.11.表6.11 试验报告表4 6.6 正交表及其应用正交表及其应用看这三个特异因素所对应的最大指标分析出来的最好方案是：A1B1C2 称作虚拟最优方案虚拟最优方案.我们还没有用这个方案作过试验.根据极差可见，回火时间的为最大，回火温度的其次，最小是淬火温度.因此，三个因素对指标的影响由大到小的次序应该是 .CBA 在进行试验以至正式生产时，这个次序应作为重要程度的次序.现在
45、把上述分析结果用一张总表表示，见表6.12.6.6 正交表及其应用正交表及其应用 表6.12 试验报告总表6.6 正交表及其应用正交表及其应用第五步：初选最优方案与虚拟最优方案的比较.把初选最优方案A2B1C2：淬火温度850，回火温度410，回火时间60min与虚拟最优方案A1B1C2：淬火温度840，回火温度410，回火时间60min两个方案再各做一次试验，把所得的硬度指标进行比较，确定最终优化方案，它将是一个令人满意的方案.6.7 6.7 进一步思考的问题进一步思考的问题 6.7 进一步思考的问题进一步思考的问题我们应该注意以下几个问题：（1）提出项目，确定试验指标，确定影响试验的因素，
46、各个因素的水平设置以及选定正交表，经费、试验环境和时间的条件等等，这些工作主要由工程专业人员来担任.这是一件需要深思熟虑的事情.（2）正交试验设计所得到的最终优化方案能否再改进呢？换言之，能否在已得结果的基础上进一步开展工作？以例6.6的试验分析过程为例,改进的办法是：把9个虚拟试验的指标，画在直角坐标系中，如图6.7所示.6.7 进一步思考的问题进一步思考的问题图6.7 因素与硬度指标趋势图 6.7 进一步思考的问题进一步思考的问题直观地看到：回火时间从60min到80min，虚拟试验的指标大幅下降，也许在60min附近，例如50min到70min之间有可能达到更高的指标.回火温度比410更
47、低一些时，硬度指标可能更大些.当然，对淬火温度也可作相应的讨论，但因为这个因素本身的极差太小，不会有多大效果.设计另一轮试验以求更大的指标.例如，回火时间的水平改为50 min和60min，回火温度的水平改为390和410.而淬火温度的水平保持840不变.采用正交表 34(2)L再做一轮试验.6.7 进一步思考的问题进一步思考的问题（3）如果项目具有五个、六个，甚至多到几十个因素，可用两个思路来处理.一是寻找合适的正交表.二是抓主要矛盾，剔除或者合并那些不很重要的因素，以减少试验的数目.（4）对于一个因素，2，3，4个水平是适宜的.（5）对因素、水平数不相同的试验项目，可以寻找水平不等的混合正
48、交表来安排试验，例如采用正交表 48(4 2).L6.7 进一步思考的问题进一步思考的问题见表6.13.可以用它来安排一个四水平的因素和四个二水平的因素的试验，只需做8次试验.表6.13正交表 6.8 6.8 有交互作用的试验有交互作用的试验 6.8 有交互作用的试验有交互作用的试验酒能醉人，同时饮用两种以上的酒就更能醉人.就是说，酒对人的健康不仅有负作用，而且不同的酒之间对人更有负面的交互作用.蛋白质对人有营养，如果同时吃适量的动物性与植物性蛋白质的食物，效果更好.医学上的药物搭配作用也是如此.它们之间有正面的交互作用.了解因素之间的交互作用是重要的.【例6.7】设有一个化工项目，它的指标是
49、收得率（产量）.工程师确定了该项目是四因素二水平问题，如表6.14.6.8 有交互作用的试验有交互作用的试验表6.14现在需要研究因素A,B,C,D对于收得率的关系，还要研究反应温度A与反应时间 C的交互作用，记作AxB.可以用来研究交互作用的正交表，例如 78(2)L在使用这个表时，要顾及到交互作用的表头设计.其关系可见下表6.15，表6.16.6.8 有交互作用的试验有交互作用的试验表6.15 正交表 78(2)L表6.16 交互作用的正交表 78(2)L6.8 有交互作用的试验有交互作用的试验使用说明：从二列间交互作用表可查出正交表中任意二列的交互作用在哪一列.表中带有()的列的交点处就
50、是该二列的交互作用列.如第1、2列的交互作用是第3列，第2、4列的交互作用列是第6列等等.此表表明，如果我们将因素A放在第1列，因素B放在第2列，则交互作用AxB应该放在第3列.其他因素可以任意安排.例如，因素C放在第4列,因素D放在第7列.安排试验方案如下表6.18.6.8 有交互作用的试验有交互作用的试验表6.18试验总报告 6.8 有交互作用的试验有交互作用的试验交互因素交互因素AxB的极差为19，表明交互性是显著的.那么,A与B用什么水平为好呢？我们把四种可能的搭配列出，计算它们的指标，得到AxB交互作用的检核，见表6.19.表6.19 AxB交互作用的检核6.8 有交互作用的试验有交
