1、高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“nN*，f（n）N*且f（n）n”的否定形式是（）AnN*，f（n）N*且f（n）nBnN*，f（n）N*或f（n）nC且f（n0）n0D或f（n0）n02（5分）若复数=2i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）抛物线x2=y
2、的准线方程是（）Ay=1By=1Cy=Dy=5（5分）在等差数列an中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A7B8C9D106（5分）已知ABC的两个顶点A（5，0），B（5，0），周长为22，则顶点C的轨迹方程是（）ABCD7（5分）函数，则（）Ax=e为函数f（x）的极大值点Bx=e为函数f（x）的极小值点C为函数f（x）的极大值点D为函数f（x）的极小值点8（5分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）ABCD9（5分）已知数列an，a1=1，则a10的值为（）A5BCD10（5分）若函数y=
3、x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A（，+）B（，C，+）D（，）11（5分）已知x，y（0，+），且满足，那么x+4y的最小值为（）ABCD12（5分）如图，F1，F2是双曲线C：=1（a0，b0）的左、右两个焦点若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A2+B2+CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若，则= 14（5分）= 15（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2A
4、B，则此椭圆的离心率为 16（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1f（1，1）2且1f（1，1）1，则f（2，1）的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）设数列an满足a1=1，an+1=3an，nN+（）求an的通项公式及前n项和Sn；（）已知bn是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列bn的通项公式18（12分）已知抛物线y2=2px（p0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，1）的直线交抛物线于A，B两点（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程19（12分）如图，直
5、三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2（）证明：BC1平面A1CD；（）求锐二面角DA1CE的余弦值20（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值21（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，PDAD，PDDC（）证明：平面PBC平面PBD；（）若二面角PBCD为，求A
6、P与平面PBC所成角的正弦值22（12分）设函数f（x）=x2ex（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）ax对x（，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）在区间（n，n+1）上有零点2017-2018学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“nN*，f（n）N*且f（n）n”的否定形式是（）AnN*，f（n）N*且f（n）nBnN*，f（n）N*或f（n）nC且f（n0）n0D或f（n0）n0
7、【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“nN*，f（n）N*且f（n）n”的否定形式是：或f（n0）n0故选：D2（5分）若复数=2i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：复数=2i，其中a，b是实数，a+i=（2i）（bi）=2b1（2+b）i，解得b=3，a=7则复数a+bi在复平面内所对应的点（7，3）位于第三象限故选：C3（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由“b2=ac”推不出
8、“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，反之成立，故选：A4（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）Ay=1By=1Cy=Dy=【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=，即p=，所以：=，所以准线方程y=故选：D5（5分）在等差数列an中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A7B8C9D10【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，d=，a8=1+7d=9，故选C6（5分）已知ABC的两个顶点A（5，0），B（5，0），周长为22，则顶点C的轨迹方程是（）ABCD【解答】解：ABC的两个顶点A（5，0），B（5
9、，0），周长为22，则顶点C的轨迹是椭圆，可知c=5，2a=12，解得a=6，c=则顶点C的轨迹方程是：故选：B7（5分）函数，则（）Ax=e为函数f（x）的极大值点Bx=e为函数f（x）的极小值点C为函数f（x）的极大值点D为函数f（x）的极小值点【解答】解：的定义域（0，+），求导f（x）=，令f（x）=0，解得：0xe，令f（x）=0，解得：xe，函数在（0，e）上递增，在（e，+）上递减，当x=e时，函数有极大值，故选A8（5分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）ABCD【解答】解：建立如图所示的坐标系，
10、设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），=（1，1，2），=（1，0，2），B1M与D1N所成角的余弦值为|=，故选：A9（5分）已知数列an，a1=1，则a10的值为（）A5BCD【解答】解：数列an，a1=1，=，=，=，由此猜想an=下面利用数学归纳法进行证明：，成立；假设ak=，则=，成立，a10=故选：D10（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A（，+）B（，C，+）D（，）【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y=3x2+2x+m0恒成立，即=412m0，
11、m故选C11（5分）已知x，y（0，+），且满足，那么x+4y的最小值为（）ABCD【解答】解：x，y（0，+），且满足，那么x+4y=（x+4y）=+，当且仅当x=2=时取等号故选：C12（5分）如图，F1，F2是双曲线C：=1（a0，b0）的左、右两个焦点若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A2+B2+CD【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入=1，可得x=，=c，2a2b2=（b2a2）c2，2a2（c2a2）=（c22a2）c2，2（e21）=e42e2，e44e2+2=0，e1，e2=2+，e=故选：C二、填空题（本大题
12、共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）若，则=7【解答】解：，则=（2，1，5）（7，2，1）=14+2+5=7；故答案为：714（5分）=1【解答】解：1edx=lnx|1e=lneln1=1，故答案为115（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，则此椭圆的离心率为【解答】解：如图所示，把x=c代入椭圆标准方程：+=1（ab0）则=1，解得y=取P，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），kAB=，=PF2AB，=，化为：b=2c4c2=b2=a2c2，即a
13、2=5c2，解得a=c，e=故答案为：16（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1f（1，1）2且1f（1，1）1，则f（2，1）的取值范围为【解答】解：f（x，y）=ax+by，若1f（1，1）2且1f（1，1）1，可得，画出不等式组的可行域如图：则f（2，1）=2a+b，当直线z=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，由可得B（，），f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）设数列an满足a1=1，an+1=3an，nN+（）求an的通项公式及前n项和Sn；（）已知bn
14、是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列bn的通项公式【解答】解：（）由题设可知an是首项为1，公比为3的等比数列，（2分）所以，（4分）（6分）（）设数列bn的公差为db1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，b3b1=10=2d，d=5，（8分）bn=5n2（10分）18（12分）已知抛物线y2=2px（p0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，1）的直线交抛物线于A，B两点（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8x；（2）方法一：设A（x1，y1
15、），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，又，相减整理得，所以直线AB的方程是y=4（x1）1，即4x+y3=0方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x1）1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x，得ky28y8k8=0，易知，又y1+y2=2所以，所以直线AB的方程是y=4（x1）1，即4x+y3=019（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2（）证明：BC1平面A1CD；（）求锐二面角DA1CE的余弦值【解答】解：（）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中
16、点，因为D为AB的中点，所以ODBC1，又因为OD平面A1CD，BC1平面A1CD，BC1平面A1CD（4分）（）由，可知ACBC，以C为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），设是平面A1CD的法向量，则即可取（6分）同理，设是平面A1CE的法向量，则，可取（8分）从而（10分）所以锐二面角DA1CE的余弦值为（12分）20（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）点A（2，0）
17、在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值【解答】解：（）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4故所求动点M的轨迹方程为（4分）（）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x1，y1），D（x2，y2）由消去x，得（m2+4）y2+2my3=0，易知=16m2+480，得（8分）=所以为定值（12分）方法二：（）当直线l斜率不存在时，所以（6分）（）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x1），B（x1，y1），D（x
18、2，y2）由消去y，得（1+4k2）x28k2x+4k24=0，易知=48k2+160，（8分）=所以为定值（12分）21（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，PDAD，PDDC（）证明：平面PBC平面PBD；（）若二面角PBCD为，求AP与平面PBC所成角的正弦值【解答】证明：（）PDAD，PDCDADCD=D，AD平面ABCDCD平面ABCDPD平面ABCD，BC平面ABCDPDBC（2分）又又，ADB=90，ADBD，又ADBCBCBD（4分）又PDBD=D，BD平面PBD，PD平面PBDBC平面PBD而BC平面PBC，平面PBC平面PBD（6分
19、）解：（）由（）所证，BC平面PBDPBD即为二面角PBCD的平面角，即PBD=而，所以PD=1（8分）分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A（1，0，0），P（0，0，1），=（1，0，0），设平面PBC的法向量为，则 ，即，取y=1，得（10分）AP与平面PBC所成角的正弦值为：（12分）22（12分）设函数f（x）=x2ex（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）ax对x（，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）在区间（n，n+1）上有零点【解答】解：（1）f（x）=（x2+2x）ex，f（1）=3e，所求切线方程为ye=3e（x1），即y=3ex2e；（2）f（x）ax，对x（，0）恒成立，设g（x）=xex，g（x）=（x+1）ex，令g（x）0，得x1，令g（x）0得x1，g（x）在（，1）上递减，在（1，0）上递增，；（3）令F（x）=0，得，当x0时，F（x）的零点在（0，+）上，令f（x）0，得x0或x2，f（x）在（0，+）上递增，又在（0，+）上递减，方程仅有一解x0，且x0（n，n+1），nZ，由零点存在的条件可得，则n=0
