1、湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1（5分）设集合M=x|x2=x，N=x|lgx0，则MN=（）A0，1B（0，1C0，1）D（，12（5分）已知函数f（x）=x2+1，那么f（a+1）的值为（）Aa2+a+2Ba2+1Ca2+2a+2Da2+2a+13（5分）的值是（）ABCD4（5分）要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x）的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位5（5分）设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b
2、，c的大小关系是（）AbcaBacbCbacDabc6（5分）函数y=的最小正周期为（）A2BCD7（5分）已知函数是定义在（b，b）上的奇函数，（a，bR且a2），则ab的取值范围是（）ABCD8（5分）若sin（）=，且a（，），则sin（+）=（）ABCD9（5分）若函数f（x）的零点与g（x）=lnx+2x8的零点之差的绝对值不超过0.5，则f（x）可以是（）ABf（x）=（x4）2Cf（x）=ex21Df（x）=3x610（5分）定义在R上的函数f（x）对任意0x2x1都有1且函数y=f（x）的图象关于原点对称，若f（2）=2，则不等式f（x）x0的解集是（）A（2，0）（0，2）B
3、（，2）（2，+）C（，2）（0，2）D（2，0）（2，+）11（5分）f（x）=Asin（x+）（A0，0）在上单调，则的最大值为（）ABC1D12（5分）若函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A（）B（）C（）D（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若函数f（x）=的定义域为0，2，则函数g（x）=的定义域为 14（5分）计算：= 15（5分）已知（，），+=2，则cos（2+）的值为 16（5分）已知集合|f（x）=sin（x2）+cos（x2）为奇函数，且|loga|1的子集个数为4
4、，则a的取值范围为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10分）已知幂函数f（x）=x（mN*）的图象经过点（1）试求m的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f（1+a）f（3）的实数a的取值范围18（12分）已知（1）化简f（）；（2）若是第三象限角，且，求f（）的值19（12分）已知函数f（x）=2x（）若f（x）=2，求x的值；（）若2tf（2t）+mf（t）0对于t1，2恒成立，求实数m的取值范围20（12分）已知函数为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为（1）求的值；（2）将y=f（x）的图象向右平移个单位后
5、，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调区间，并求其在上的最值21（12分）现有一圆心角为，半径为12cm的扇形铁皮（如图）P，Q是弧AB上的动点且劣弧的长为2cm，过P，Q分别作与OA，OB平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT，将该多边形面积表示为角的函数，并求出其最大面积是多少？22（12分）函数fn（x）=xn+bx+c（nZ，b，cR）（1）若n=1，且f1（1）=f1（）=4，试求实数b，c的值；（2）设n=2，若对任意x1，x21，1有|f2（x1）f2（x2）|4恒成立，求b的取值范围；（3）当n=1
6、时，已知bx2+cxa=0，设g（x）=，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f1（g（m），f1（g（n），f1（g（p）为边长的三角形？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1（5分）设集合M=x|x2=x，N=x|lgx0，则MN=（）A0，1B（0，1C0，1）D（，1【解答】解：由M=x|x2=x=0，1，N=x|lgx0=（0，1，得MN=0，1（0，1=0，1故选：A2（5分
7、）已知函数f（x）=x2+1，那么f（a+1）的值为（）Aa2+a+2Ba2+1Ca2+2a+2Da2+2a+1【解答】解：函数f（x）=x2+1，f（a+1）=（a+1）2+1=a2+2a+2故选：C3（5分）的值是（）ABCD【解答】解：原式=sin（+）cos（）tan（）=sin（cos）（tan）=（）（）=故选A4（5分）要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x）的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【解答】解：由于函数y=sinx=cos（x），故只需将函数的图象象右平移可得函数y=cos（x）的图象，故选A5（5分）设a=20.
8、1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）AbcaBacbCbacDabc【解答】解：20.120=1=lg10lg0log3，abc，故选：D6（5分）函数y=的最小正周期为（）A2BCD【解答】解：y=tan（2x+），T=故选C7（5分）已知函数是定义在（b，b）上的奇函数，（a，bR且a2），则ab的取值范围是（）ABCD【解答】解：是奇函数，f（x）=f（x），解得a=2f（x）=lg，其定义域是（，）0b，1ab，故选：A8（5分）若sin（）=，且a（，），则sin（+）=（）ABCD【解答】解：sin（）=sin=，且（，），cos=，cos=2cos21，（，）
9、，cos=，则sin（+）=cos=故选B9（5分）若函数f（x）的零点与g（x）=lnx+2x8的零点之差的绝对值不超过0.5，则f（x）可以是（）ABf（x）=（x4）2Cf（x）=ex21Df（x）=3x6【解答】解：由于g（x）=lnx+2x8为（0，+）上的增函数，且g（3）=ln320，g（4）=ln40，故函数g（x）的零点在区间（3，4）内由于函数y=ln（x）的零点为x=3.5，故函数g（x）的零点与函数y=ln（x）的零点差的绝对值不超过0.5，故f（x）可以是ln（x），另外三个均不符合，故选：A10（5分）定义在R上的函数f（x）对任意0x2x1都有1且函数y=f（x）
10、的图象关于原点对称，若f（2）=2，则不等式f（x）x0的解集是（）A（2，0）（0，2）B（，2）（2，+）C（，2）（0，2）D（2，0）（2，+）【解答】解：令x1=x2，x2=2，则0x2x1，则有=1，即f（x）2x2，即x2时，f（x）x0，令0x=x22，x1=2，则0x2x1，则有=1，即f（x）2x2，即0x2时，f（x）x0，又由函数y=f（x）的图象关于原点对称，2x0时，f（x）x0，x2时，f（x）x0，综上可得：不等式f（x）x0的解集（，2）（0，2），故选：C11（5分）f（x）=Asin（x+）（A0，0）在上单调，则的最大值为（）ABC1D【解答】解：画出函
11、数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的图象，如图所示；令Asin（x+）=A，得x+=，解得x=；函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）在，上单调，故，1，的最大值是max=1故选：C12（5分）若函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A（）B（）C（）D（）【解答】解：由题意可得：存在x0（，0），满足x02+ex0=（x0）2+ln（x0+a），即ex0ln（x0+a）=0有负根，当x趋近于负无穷大时，ex0ln（x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=exln（x+a）为增函数，h（0）=e0lna0，
12、lnaln，a，a的取值范围是（，），故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若函数f（x）=的定义域为0，2，则函数g（x）=的定义域为0，1）【解答】解：函数f（x）的定义域为0，2，函数y=f（2x）的定义域为2x0，2，解得0x1，因此函数g（x）=的定义域满足：，可得0x1函数g（x）=的定义域为：0，1）故答案为：0，1）14（5分）计算：=2【解答】解：原式=lg4+lg9+2（1lg6）=+2=2故答案为：215（5分）已知（，），+=2，则cos（2+）的值为【解答】解：，sin0，cos0，=2，即sin+cos=2sincos0，（，），2（
13、，2）再根据sin+cos=，2sincos=，sincos= （舍去），或sincos=，即sin2=，2=，cos2=则=cos2cossin2sin=（）=，故答案为：16（5分）已知集合|f（x）=sin（x2）+cos（x2）为奇函数，且|loga|1的子集个数为4，则a的取值范围为（）（）【解答】解：集合|f（x）=sin（x2）+cos（x2）为奇函数，f（0）=sin（2）+cos（2）=cos2sin2=0，cos2=sin2，即tan2=1，2=k+，则=+，kZ验证=+，kZ时，f（x）=sin（x2）+cos（x2）=sin（xk）+cos（xk）=sin（x）+cos
14、（）=为奇函数=+，kZ集合|f（x）=sin（x2）+cos（x2）为奇函数，且|loga|1的子集个数为4，满足|loga|1的有2个，即满足1loga1的有2个分别取k=0，1，2，3，得到=，若0a1，可得a（）时，满足1loga1的有2个；若a1，可得a（）时，满足1loga1的有2个则a的取值范围为（）（）故答案为：（）（）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10分）已知幂函数f（x）=x（mN*）的图象经过点（1）试求m的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f（1+a）f（3）的实数a的取值范围【解答】解：（1）幂函数f（x）
15、的图象经过点，=，即m2+m=2，解得：m=1或m=2，mN*，故m=1，故f（x）=，x0，+）；（2）f（x）在0，+）递增，由f（1+a）f（3），得，解得：1a9，故a的范围是（1，918（12分）已知（1）化简f（）；（2）若是第三象限角，且，求f（）的值【解答】解：（1）=cos（2）若是第三象限角，且0，+为第四象限角，sin（+）=，f（）=cos=cos（+）=cos（+）cossin（+）sin=19（12分）已知函数f（x）=2x（）若f（x）=2，求x的值；（）若2tf（2t）+mf（t）0对于t1，2恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：（）当x0时f（x）=0，当x
16、0时，有条件可得，即22x22x1=0，解得，2x0，（）当t1，2时，即m（22t1）（24t1）22t10，m（22t+1）t1，2，（1+22t）17，5，故m的取值范围是5，+）20（12分）已知函数为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为（1）求的值；（2）将y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调区间，并求其在上的最值【解答】（本题满分为12分）解：（1）函数f（x）=sin（x+）cos（x+）=2sin（x+），1分因为函数是偶函数，所以=k+，kZ，解得：
17、=k+，kZ，0，=函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为，所以T=，T=，所以=2；f（x）=2sin（2x）=2cos2x，5分则f（）=2cos（2）=2cos（）=，6分（2）由函数图象的变换可知，y=g（x）=2cos（x），8分由2kx2k+，kZ，解得：4k+x4k+，kZ，即函数y=g（x）的单调递增区间为：4k+，4k+kZ，由2k+x2k+2，kZ，解得：4k+x4k+，kZ，即函数y=g（x）的单调递减区间为：4k+，4k+kZ，10分x，结合函数的单调性可知：当x=0，即x=时，y=g（x）最小值为211分当x=，即x=时，y=g（x）最大值为012分21（12分
18、）现有一圆心角为，半径为12cm的扇形铁皮（如图）P，Q是弧AB上的动点且劣弧的长为2cm，过P，Q分别作与OA，OB平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT，将该多边形面积表示为角的函数，并求出其最大面积是多少？【解答】解：连接OQ，OP，则POQ=设QOB=，多边形OHPRQT的面积为S，则POB=+，（0，），S=12sin12cos+12sin（+）12cos（+）12sin12cos（+）=（7272）sin（2+）+36，=，即POA=QOB=时，多边形OHPRQT的面积的最大值为7236（cm2）22（12分）函数fn（x）=xn+bx+c（nZ，b，cR）（1）若n=1
19、，且f1（1）=f1（）=4，试求实数b，c的值；（2）设n=2，若对任意x1，x21，1有|f2（x1）f2（x2）|4恒成立，求b的取值范围；（3）当n=1时，已知bx2+cxa=0，设g（x）=，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以f1（g（m），f1（g（n），f1（g（p）为边长的三角形？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）n=1，且，可得1+b+c=4，2+b+c=4，解得b=2，c=1；（2）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x21，1有|f2（x1）f2（x2）|4恒成立等价于f2（x）在1，1上的最大值
20、与最小值之差M4当1，即b2时，f2（x）在1，1递增，f2（x）min=f2（1）=1b+c，f2（x）max=f2（1）=1+b+c，M=2b4（舍去）；当10，即0b2时，f2（x）在1，递减，在（，1递增，f2（x）min=f2（）=c，f2（x）max=f2（1）=1+b+c，M=（+1）24恒成立，故0b2；当01即2b0时，f2（x）在1，递减，在（，1递增，f2（x）min=f2（）=c，f2（x）max=f2（1）=1b+c，M=（1）24恒成立，故2b0；当1，即b2时，f2（x）在1，1递减，f2（x）min=f2（1）=1+b+c，f2（x）max=f2（1）=1b+c
21、，M=2b4矛盾综上可得，b的取值范围是2b2；（3）设t=g（x）=，由x，可得t，1则y=t+在，1上恒有2yminymax当a（0，时，y=t+在，1上递增，ymin=+3a，ymax=a+1，又2yminymax则a，即有a；当a（，时，y=t+在，）递减，（，1）递增，可得ymin=2，ymax=max3a+，a+1=a+1，又2yminymax解得74a7+4，即有a；当a（，1）时，y=t+在，）递减，（，1）递增，可得ymin=2，ymax=max3a+，a+1=3a+，又2yminymax解得a，即有a1；当a1，+）时，y=t+在，1上递减，ymin=a+1，ymax=3a+，又2yminymax则a，即有1a综上可得，存在这样的三角形，a的取值范围是a第18页（共18页）
