1、第五届数学竞赛初赛试题及答案（满分100分）一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（12分）2.1991199219921992-1992+199119911991二、填空题（48分）1.有A、B两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有25个数。A组数中前几个是这样排列的1，6，11，16，21；B组数中最后几个是这样排列的，105，110，115，120，125。那么，A、B这两组数中所有数的和是_（3分）2.某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图1。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给图1染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色。共有_种不同的染色方法。（5分）3.如图2的数阵是由77
2、个偶数排成的，其中20、22、24、36、38、40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180。把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660，那么，它们当中位于平行四边形左上角的那个数是_。（4分）4.在左边的乘法算式中，我、学、数、乐各代表四个不相同的数字。如果“乐”代表“9”，那么，“我”代表_，“数”代表_，“学”代表_。（4分）5.1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期_。6.一个小数去掉小数部分后得到一个整数，这个整数加上原来的小数与4的乘积，得27.6。原来这个小数是_。（5分）7.李志明、张斌、王大为
3、三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中有一个当了记者。一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者。”张斌说：“我不是记者。”王大为说：“李志明说了假话。”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么_是记者。（3分）9.在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整数，这个七位数最小是_。（5分）的个位数字1992个“8”是_，十位数字是_，百位数字是_。（3分）三、解答下面的应用题。（要写出列式解答过程。列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程。）（32分）1.张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货，到达省城后马上卸货并随即沿原路返回。他驾驶的这辆汽车去
4、时每小时行64千米，返回时每小时行56千米，往返一趟共用去12小时（在省城卸货所用时间略去不计）。张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了多少千米？（5分）2.一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形。求原来长方形的面积。（5分）3.有两堆煤，第一堆是第二堆的4倍。当第二堆煤运走6.25吨后，第一堆煤是第二堆煤的6倍。第二堆煤原有多少吨？（5分）分数是80分。求不及格的人的平均分数。（5分）5.启蒙书社五天内卖出中学生手册和小学生手册共120本。中学生手册每本5元，小学生手册每本3.75元。营业员统计的结果表明：这五天内所卖中学生手册
5、的收入比卖小学生手册的收入多162.5元。这五天内启蒙书社卖出的中学生手册和小学生手册各多少本？（6分）6.如图3，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，AE与BD相交于O点。已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大四、长方形ABCD的长是4厘米、宽3厘米。从这个长方形中剪去两个长2厘米、宽1厘米的小长方形后得到一个“T”形（如图4）。请你沿直线（用虚线在图上画出这样的直线）把这个“T”形剪两刀，并使剪开的部分恰好能拼成一个正方形。（8分）详解与说明一、计算题说明：本题的算式看上去挺繁，但细心观察不难发现括号内的三个乘（除）式都含有因数“3”，把“3”作为公因数提
6、取后计算就简便多了。数学之友（7）第63页上有一道十分类似的计算题。2.解：1991199219921992-1992199119911991=19911992（100010001-100010001）=199119920=0说明：解本题的关键是迅速观察到被减数和减数含有公因数19911992，这个乘积可以暂时保留在式中，看括号内的计算结果是不是便于立即能口算出答案。本题同数学之友（7）综合练习十的第2题也很相似。数列的各项依次对应相加所得到的。看出这一层关系，就容易想到把式中每”栏目内专门作了介绍。二、填空题1.（1125）25=3150说明：首先通过观察容易发现A、B两组数的排列规律。这两
7、组数都排成等差数列，并且每组数都有25个数。用等差数列的求和公式可以算出结果，但必须先推算出A组数的第25个及B组数的第1个。如果选手们能从“两组数个数相等”与“两组数都是公差为5的等差数列”这两个条件入手，用“首尾配对，变加为乘”（见本报1991年9月25日“教你思考”栏）的技巧来解，那么计算简便多了。2.解：把该沿海城市地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G（如图5）。为了便于观察，可以把图5改画成图6（相邻关系不改变）。我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5433333=4860（种）不同的染色方法。说明：“加法
8、原理与乘法原理”是本报223期“奥林匹克学校”栏所介绍的内容，但应用乘法原理来解本题，要谨防遗漏。为了避免遗漏，就应适当选择染色的顺序。或许有的选手会问：既然要讲究染色的顺序。那么“按A、B、C、D、E、F的顺序”前又怎么可以加“不妨”二字呢？对了，我们这里所说的“适当选择染色顺序”，不是说染色方法与染色顺序有关，而是说选择某些染色次序很可能算错。比如说，如果我们选择B、C、G、D、A、E、F的染色顺序，那么，根据乘法原理算得的结果是5443233=4320（种）。这当中遗漏了540（种），为什么会遗漏呢？因为在给B、C染色之后，再给G染色时，没有分“G与B同色”、“G与B不同色”两种情况。举
9、个简单的例子，如图7，如果按的顺序染色，容易误算为5442=160（种），而实际上，应分两种情况：（1）与同色时有5413=60（种）染法（2）与不同色时，有5432=120（种）染法共有60120=180（种）染法，而不是160种。3.解法一：以平行四边形左上角那个数为标准，其余五个数分别比它大2、4、16、18、20。如果从平行四边形内六个数的和中依次减去2、4、16、18、20，那么剩下的数就是左上角那个数的6倍。根据题意，可求出平移后的平行四边形内左上角那数为660-（24161820）6=100解法二：移动前平行四边形内6个数的和是202224362840=180。移动后，这六个数的
10、和增加到660，增加了660-180=480。由于移动过程中平行四边形内每个数增加得一样多，因而容易求出从“180”到“660”，每个数都增加了（660-180）6=80。这样，可知道左上角的数增加到2080=100。解法三：通过观察可知，平行四边形内上一行左、中、右三数与下一行下一行右边的那个数与上一行左边那个数相减，差都是20。这样，求左上角那个数就变成了一个“和差问题”。算式为（6603-20）2=100说明：本题的解法很多，因为题中的数阵隐藏着许多有趣的规律，选择不同的规律，将会得到不同的解法。本题是根据1991年11月5日第一版“教你思考”栏中一题改编而成的。4.解：由“乐”代表9，
11、可推到“学”代表1，“数”代表6；由积是一个十位数，并且前两位数都是6，可推知“我”代表8。说明：本题是把1992年5月25日第四版上谈祥柏先生写的“六一专稿”里一题变了一下形式。要推知“乐”、“学”、“数”各代表什么数字，只要运用所学的“自然数平方尾数性质”及进位的知识，就会立即得到结果。再推“我”代表几就稍难些。需要用估值法：因为8000026661661161900002所以8我9显然，“我”只能是8。5.解：画一个日历表，从表中马上看出：1993年1月4日星期一。说明：根据“有五个星期五”，可知从第一个星期五到第五个星期五之间共有29天。31-29=2（天），这多余的2天是在第一个星期
12、五前，还是在第五个星期五之后呢？如果在第一个星期五之前，那就多一个星期四，这与题中条件不符。所以应把多余的2天排在月末。这种借助日历表推算的方法，本报1992年3月25日第一版“小读者园地”栏目中介绍过。7.解：张斌是记者。说明：这是根据本报1992年3月15日“奥林匹克学校”栏推理问题例1改编而成的。具体推理过程是假设李志明是记者，那么李志明、张斌都说了真话，而三人中只有一人说真话。这说明假设不正确，李志明不是记者（李志明说了假话）。也就是说，王大为说了真话。另一个说假话的是张斌。从而推知：张斌是记者。也就是5X765Y又因为X、Y是两个连续自然数所以，必有X=15，Y=16解法二：根据分数
13、的基本性质由“X、Y是连续自然数”推知X=15，Y=16。说明：仅从题中的不等式不容易判断X、Y的取值范围，这就想到了通分；要通分，就要运用“分数的基本性质”。有了X、Y的取值范围，再附加“X、Y是连续自然数”这个条件的限制，X、Y的值也就不难判断了。本报207期第三版上曾登过类似的题。因为2|A，5|A，所以，c=0；因为3|A，所以3|（ab）；因为11|A，所以a-b=1考虑到所组成的七位数应该最小，因而取ab=3。这就推出：a=2，b=1。即要求的最小的七位数是1992210。说明：解答本题需要熟悉能被2、5、3、11整除的数的特征，再把根据这些特征推出的结果综合在一起，加上“最小”这
14、一条件，就可以确保答案是唯一的。这道题比本报第226期“赛前训练”的第3题还要略简单些。222222=2111111=21111001而1001=71113所以222222能被13整除。因为1998=6333，2213=19所以，要求的余数是9。说明：读者容易联想到：本报第240期“小读者园地”栏目介绍了“1001”的两条性质，因为222222=2111111。运用“111111=1111001”与“1001=71113”这两个等式，可把题目转化为“求2213的余数是几”。有些选手分别计算2、22、222、2222，被13除所得的余数，再从中找出周期性规律，也同样能求得余数是9，但这样做太麻烦
15、，又费时，不可取。11.解：81992=15936（个“1”）81991=15928（个“10”）81990=15920（个“100”）从上面竖式中看出：所求个位数字是6，十位数字是1，百位数字是2。说明：解答本题并不难，只要注意计数单位和进位制，再做简单的乘法、加法运算就可以了。详见本报第192期“教你思考”栏谢悠南文。12.解：本题答案不唯一，下面列出几种：说明：解本题有两种思路母（如12）的任意两个约数（如3、4），然后把它们的和分别同这两个约当我们把一个单位分数分解成两个单位分数后，又可以继续采用上面的方法，把其中某一个单位分数再一分为二。这样，只要重复分解，可以把一个单位分数分解成若
16、干个单位分数之和。三、应用题张师傅往返全程，共用了12小时。于是，省城和县城之间的路程是张师傅往返一趟共行了358.42=716.8（千米）解法二：设县城与省城之间的路程为X千米。根据题意，列方程2X=358.42=716.8（千米）答：张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了716.8千米。说明：本题的解法不止这两种，比如，还可以根据张师傅往、返的速度之间的关系，把往返一趟所用的时间分成“往”、“返”两部分，当同学们下学期学过正、反比例之后，会自然而然地想到这一点。不过，还是解法一比较简便，这种解法本报第187期巧用“包含除”一文中专门介绍过。2.解法一：画出图来，不难列出这样的算式（66-25
17、）（5+2）=8（厘米），长方形面积为88+66=130（平方厘米）解法二：设正方形边长为X厘米，根据题意可列方程（5+2）X2=66-25解方程，得X=8S长方形=8866=130（平方厘米）说明：解答本题，只要画一个草图，就不难找到题中的等量关系。然后用算术方法或代数方法解都很简单。本报第213期第3版有一道类似的题。解法二：6.254（6-4）+6.25=18.75（吨）答：第二堆煤原有18.75吨。说明：如果顺着题中的条件去想，那就不容易找到解题的思路，因为题中的“标准量”第2堆煤的数量在变，4倍与6倍也就联系不上。其实，只要反过来一想，把第一堆煤作为标准量，数量关系就明朗化了。解法一
18、的思路正是这样。还可以这样想：如果从第一堆煤中运走“6.254”吨，那么第一堆煤就是现在第二堆煤数量的4倍；如果一点都不运走的话，那么第一堆煤就是现在第二堆煤的6倍，从而，可求出现在第二堆还有6.254（6-4）=12.5（吨），再加上6.25吨，就是第二堆煤原来的吨数。这就是解法二的算理。本题是根据本报第197期反过来想想一文中第二题改编的。4.解法一：（704-803）（4-3）=40或（704K-803K）（4K-3K）=40（K为自然数）解法二：设不及格的人平均成绩为X分。根据题意列方程解方程，得X=40答：不及格的人的平均分数为40分。说明：本题是本报第238期“趣题巧解”中的原题，
19、解题思路详见报纸第241期为什么可以设全班人数为4呢一文。5.解法一：（等量假设法）假设所卖出的中学生手册和小学生手册的本数同样多，也就是各为60本，那么，所卖的中学生手册比小学生手册就要多收入（5-3.75）60=75（元），而实际多收入162.5元，相差162.5-75=87.5（元）。这就可以求出少算的中学生手册的本数为（162.5-75）（53.75）=10（本）6010=70（本）中学生手册的本数60-10=50（本）小学生手册的本数解法二：（同一假设法）假设所卖出的120本全是中学生手册，那么，仿照解法一就可以先求出小学生手册的本数（5120-162.5）（53.75）=50（本）
20、120-50=70（本）中学生手册的本数解法三：（列方程解）设中学生手册有X本，根据题意，列方程5X-（120-X）3.75=162.5解得 X=70120-X=50（本）答：这五天内共卖出中学生手册70本，小学生手册50本。说明：就这道题的“条件”和“问题”来看，挺有些像“鸡兔同笼问题”。解这类题常用的方法有算术（假设）和列方程两种方法，这是选手们已经掌握的（见本报216期插上想象的翅膀一文）。在解法一和解法二中，实际的“多收入”与假设后的“多收入”之间有个“差”，这个差是怎么来的，不是由于每卖1本中比卖1本小要多收入“5-3.75”元，而是因为如果有一本中被假设（换）成小，那么中比小多收入
21、的部分就减少了“53.75”元。这一点千万不能搞错。6.解：因为SBOE-SAOD=4平万米所以SABE-SABD=4平万米因为ABE与ABD对应于BE、AD边上的高相等，所以ABD的面积答：梯形面积是28平方米。说明：解答本题的关键是进行两次转化：（1）转化面积差：把已知条件“BOE的面积比AOD的面积大4平方米”，转化为“ABF的面积比ABD的面积大4平方米”；（2）转化数量关系：把是高相等）。具体算法还很多，但基本思路都是转化。本报第220期第一版有两篇文章中介绍过类似的转化技巧。四、解：剪拼方法不唯一，这里给出两种（如图9，图10）：说明：这是一道动手操作的“实验”题。不过，在动手之前
22、，先得算一算、想一想，也就是我们常说的“手脑并用”。剪之前，可以这样想：“T”形图的面积为43-212=8（平方厘米）这就是说，我们要拼成的正方形的面积应该是8平方厘米。这个正方形的边长是多少呢？这可难了。如果我们假设这个正方形已经拼成，那么，把它的两条对角线连起来后，这个正方形就被分成了4个等腰直角三角形，其中的两个可以拼成一个面积为4（边长为2）的正方形（如图11）。从图中看出所拼成的正方形的边长应该是面积为4平方厘米的正方形的对角线的长（图11中的AB）。根据以上推算，容易想到图9、图10的两种剪拼方法。所以，同学们今后碰到类似的动手操作题，应当先想想、算算，千万不能无把握地下手。不然的话，费了时间，还找不到正确解法。其实，选手们应当从本报第214期第四版等积变形一文中受到启发。
