1、第第 1 1 页页 共共 5 5 页页 20172017 北京文北京文 【试卷点评】 2017 年北京高考数学试卷，试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知 识、基本技能以及数学思想方法的考查我先说一说 2017 年总体试卷的难度，2017 年文科也好、 理科也好，整个试卷难度较 2015、2016 年比较平稳，北京高考应该是从 2014 年以前和 2014 年以 后，2015、2016 年卷子难度都比较低，今年延续了前两年，整体难度比较低今天我说卷子简单 在于第 8 题和第 14 题，难度下降了，相比 2014、2015、2016，整体都下降了om 1体现新课标理念，实现平稳
2、过渡试卷紧扣北京考试大纲，新增内容的考查主要是对基本 概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度 创新，符合北京一贯的风格 2关注通性通法，试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方 法为依托，题目没有偏怪题，以能力考查为目的的命题要求 3体现数学应用，联系实际，例如理科第17 题考查了样本型的概率问题，第三问要求不必证 明、直接给出结论(已经连续6年)，需注重理解概念的本质原理，第8 题本着创新题的风格，结合 生活中的实际模型进行考查，像14 年的成绩评定、15 年的汽车燃油问题，都是由生活中的实际模 型转化来的，对推动数学教学
3、中关注身边的数学起到良好的导向 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项 1已知 UR，集合 Ax|x2 或 x2，则UA A(2，2) B(，2)(2，) C2，2 D(，22，) 【解析】因 Ax|x2 或 x2，故UAx| 2x2，故选 C 2若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( ) A(，1) B(，1) C(1，) D(1，+) 【解析】z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因对应的点在第二象限，故 a10，且 1a0，解 得：a1，故选 B 3执行如图所示的程序框图，输出的 S
4、值为( ) WWWziyuankucom A2 B3 2 C 5 3 D 8 5 【解析】当 k0 时，03 成立，第一次进入循环；k1，S2， 13 成立，第二次进入循环；k2，S3 2，23 成立，第三次进 入循环，K3，S5 3，33 不成立，输出 S 5 3，故选 C 4若 x，y 满足 x3， xy2， yx， 则 x2y 的最大值为( ) A1 B3 C5 D9 【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以 点 A(1，1)，B(3，3)，C(3，1)为顶点的三角形及其内部 第第 2 2 页页 共共 5 5 页页 当直线 zx2y 经过点 B 时，x2y 取得最大值，故
5、 zmax3239，故选 D 5已知函数 f(x)3x(1 3) x，则 f(x) ( ) A是奇函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在 R 上是增函数 C是奇函数，且在 R 上是减函数 D是偶函数，且在 R 上是减函数 【解析】f(x)3 x(1 3) x(1 3) x3xf(x)，故函数是奇函数，并且 3x是增函数，(1 3) x是减函数， 根据增函数减函数增函数，故函数是增函数，故选 A 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) A60 B30 C20 D10 【解析】 由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部， 即三棱锥 A1BCD， VA1BCD1 3 1 2 3 5
6、 4 10 7设 m， n 为非零向量，则“存在负数，使得 mn”是“m n0”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 存在负数 ，使得 mn，则 m nn n|n|20，因而是充分条件，反之 m n0，不能推 出 m，n 方向相反，则不是必要条件. 8根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子 总数 N 约为 1080则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3048) A1033 B1053 C1073 D1093 【解】M3361，N1080， M N 3361 1080，则
7、 lg M Nlg 3361 1080lg 3 361lg1080361lg 38093故M N10 93 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若 sin 1 3，则 sin_ 【解析】 与 关于 y 轴对称，则 2k，故 sinsin(2k)sin1 3 第第 3 3 页页 共共 5 5 页页 10若双曲线 x2y 2 m1 的离心率为 3，则实数 m_ 解析 由题意知1m 1 e23，则 m2 11已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y2的取值范围是_ 【解一】x0，y0 且 xy1
8、故 2 xyxy1，当且仅当 xy1 2时取等 号，从而 0xy1 4，因此 x 2y2(xy)22xy12xy，故1 2x 2y21 【解二】可转化为线段 AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离 的范围为 2 2 ，1，则 x2y2的取值范围为1 2，1 12 已知点 P 在圆 x2y21 上， 点 A 的坐标为(2， 0)， O 为原点， 则AO AP 的最大值为_ 【解析】法一 由题意知，AO (2，0)，令 P(cos ，sin )，则AP (cos 2，sin )AO AP (2，0) (cos 2，sin )2cos 46，故AO AP 的最大值为 6 法二 由题
9、意知， AO (2， 0)， 令 P(x， y)， 1x1， 则AO AP (2， 0) (x2， y)2x46， 故AO AP 的最大值为 6 13能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 abc”是假命题的一组整数 a，b， c 的值依次为_ 【解析】123，1(2)33 相矛盾，故验证是假命题 14某学习小组由学生和&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()男学生人数多于女学生人数； ()女学生人数多于教师人数； ()教师人数的两倍多于男学生人数 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为_ 该小组人数的最小值为_ 【解析】设男生数，女生数，教师数为 a，b，c，则 2ca
10、bc，a，b，cN；第一小问：8 ab4，故 bmax6；第二小问：cmin3，6ab3，故 a5，b4，故 abc12 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15(本小题 13 分)已知等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a2a410，b2b4a5 求an的通项公式； 求和：b1b3b5b2n1 【解析】设公差为 d，则 a11， a2a410， ，故 2a14d10，故 d2，故 ana1(n1)d2n 1； 设bn的公比为 q，由 b2b4a5得，qq39，故 q23，故数列b2n1为以 b11 为首项，q q23 为公比的等比数列，故 b1
11、b3b5b2n113323n 13 n1 2 16(本小题 13 分)已知函数 f(x) 3cos(2x 3)2sin xcos x 求 f(x)的最小正周期； 求证：当 x 4， 4时，f(x) 1 2 第第 4 4 页页 共共 5 5 页页 【解】(1)f(x) 3cos(2x 3)2sin xcos x 3 2 cos 2x3 2sin 2xsin 2x 1 2sin 2x 3 2 cos 2xsin(2x 3)，故 f(x)的最小正周期 T 2 2 (2)证明 由(1)知 f(x)sin (2x 3)因 x 4， 4，故 2x 3 6， 5 6 ，故当 2x 3 6， 即 x 4时，f
12、(x)取得最小值 1 2故 f(x) 1 2成立 17(本小题 13 分)某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用 分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30)，30， 40)，80，90，并整理得到如下频率分布直方图： 从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； 已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50)内的人数； 已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试 估计总体中男生和女生人数的比例 解 (1)根据频率分布直方
13、图可知，样本中分数不小于 70 的频率为(002004)1006，故 样本中分数小于 70 的频率为 10604故从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其分数小 于 70 的概率估计为 04 (2)根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为(001002004002)1009，分数在 区间40，50)内的人数为 1001000955故总体中分数在区间40，50)内的人数估计为 400 5 10020 (3) 由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为(002004)1010060，故样本中 分数不小于 70 的男生人数为 601 230故样本中的男生人数为 30260，女生人数为 10
14、060 40，男生和女生人数的比例为 604032故根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的 比例估计为 32 18(本小题 14 分)如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC 2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 求证：PABD； 求证：平面 BDE平面 PAC； 当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积 【解析】因 PAAB，PAAC，故 PA平面 ABC，又 BD平面 ABC，故 PABD； 因 ABBC，D 为 AC 中点，故 BDAC，由知，PA BD，故 BD平面 PAC，故平面 BDE平面 PAC； 因 PA平面 BD
15、E，平面 PAC平面 BDEDE，故 PA DE，因 D 为线段 AC 的中点，故 DE1 2PA1，BDDC 2，由知，PA平面 PAC，故三棱 锥 EBCD 的体积 V1 6BDDCDE 1 3 第第 5 5 页页 共共 5 5 页页 19(本小题 14 分)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2，0)，B(2，0)，焦点在 x 轴上，离心率 为 3 2 求椭圆 C 的方程； 点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D 作 AM 的垂 线交 BN 于点 E求证：BDE 与BDN 的面积之比为 45 【解】设椭圆 C 的方程为x 2 a2 y2
16、 b21(ab0)由题意得 a2， c a 3 2 ，解得 c 3故 b 2a2c2 1故椭圆 C 的方程为x 2 4y 21 证明 设 M(m，n)，则 D(m，0)，N(m，n)由题设知 m2，且 n0直线 AM 的斜率 kAM n m2，故直线 DE 的斜率 kDE m2 n 故直线 DE 的方程为 ym2 n (xm)直线 BN 的方 程为 y n 2m(x2)联立 ym2 n （xm）， y n 2m（x2）， 解得点 E 的纵坐标 yEn（4m 2） 4m2n2 由点 M 在椭圆 C 上， 得 4m24n2， 故 yE4 5n 又 SBDE 1 2|BD| |yE| 2 5|BD|
17、 |n|， SBDN 1 2|BD| |n| 故BDE 与BDN 的面积之比为 45 20(本小题 13 分)已知函数 f (x)excos xx 求曲线 yf (x)在点(0，f (0)处的切线方程； 求函数 f (x)在区间0， 2上的最大值和最小值 【解】因 f (x)ex cos xx，故 f (0)1，f (x)ex(cos xsin x)1，故 f (0)0，故 yf (x)在 (0，f (0)处的切线方程为 y10 (x0)，即 y1 f (x)ex(cos xsin x)1，令 g(x)f (x)，则 g(x)2sin x ex0 在0， 2上恒成立，故 g(x) 在0， 2上单调递减，故 g(x)g(0)0，故 f(x)0 且仅在 x0 处等号成立，故 f(x)在0， 2上单调 递减，故 f (x)maxf (0)1，f (x)minf( 2) 2
