1、2 2017017 全国全国文文 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1设集合 A1，2，3，B2，3，4，则 AB( ) A1，2，3，4 B1，2，3 C2，3，4 D1，3，4 解析：依题意得 AB1，2，3，4，选 A 2(1i)(2i)( ) A1i B13i C3i D33i 解析：依题意得(1i)(2i)2i23i13i，选 B 3函数 f(x)sin(2x 3)的最小正周期为( ) A4 B2 C D 2 解析：依题意得，函数 f(x)sin(2x 3)的最小正周期 T 2 2 ，选 C 4设非零
2、向量 a，b 满足|ab|ab|，则( ) Aab B|a|b| Cab D|a|b| 解析：依题意得(ab)2(ab)20，即 4a b0，ab，选 A 5若 a1，则双曲线x 2 a2y 21 的离心率的取值范围是( ) A( 2，) B( 2，2) C(1， 2) D(1，2) 解析：依题意得，双曲线的离心率 e1 1 a2，因为 a1，所以 e(1， 2)，选 C 6如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一 平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A90 B63 C42 D36 解析：依题意，题中的几何体是用一个平面将一个底面半径
3、为 3、高为 10 的圆柱截去一部分 后所剩余的部分，可在该几何体的上方拼接一个与之完全相同的几何体，从而形成一个底面半径为 3、高为 10414 的圆柱，因此该几何体的体积等于1 2(3 2)1463，选 B 7设 x，y 满足约束条件 2x3y30， 2x3y30， y30， 则 z2xy 的最小值是( ) A15 B9 C1 D9 解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线 2xy0(图略)，平移直线 y2x，当直线经过点(6，3)时，z2xy 取得最小值，zmin2(6)(3)15，选 A 8函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是( ) A(，2) B(，1)
4、 C(1，) D(4，) 解析：由 x22x80，得 x2 或 x4因此，函数 f(x)ln(x22x8)的定义域是(， 2)(4，)注意到函数 yx22x8 在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x) ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)，选 D 9甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位 优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家 说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则( ) A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 解析：依题
5、意，由于甲看后还是不知道自己的成绩，说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好， 则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好，因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩，丁看了甲的 成绩就清楚自己的成绩，综合以上信息可知，乙、丁可以知道自己的成绩，选 D 10执行如图所示的程序框图，如果输入的 a1，则输出的 S( ) A2 B3 C4 D5 解析：依题意，当输入的 a1 时，执行程序框图，进行第一次循环：S0(1)11， a1，K2；进行第二次循环：S1121，a1，K3；进行第三次循环：S1( 1)32，a1，K4；进行第四次循环：S2142，a1，K5；进行第五次循环： S2(1)53，a1，K6；进行第
6、六次循环：S3163，a1，K7此时 K 76，结束循环，输出的 S3，选 B 11从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得 的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A 1 10 B 1 5 C 3 10 D 2 5 解析：依题意，记两次取得卡片上的数字依次为 a，b，则一共有 25 个不同的数组(a，b)，其 中满足 ab 的数组共有 10 个，分别为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)， (5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率为10 25 2 5，选 D 法二：
7、画出树状图如图： 可知所有的基本事件共有 25 个，满足题意的基本事件有 10 个，故所求概率 P10 25 2 5 12过抛物线 C：y24x 的焦点 F，且斜率为 3的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴的上方)，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为( ) A 5 B2 2 C2 3 D3 3 解析：依题意，得 F(1，0)，则直线 FM 的方程是 y 3(x1)由 y 3x1， y24x， 得 x1 3或 x3由 M 在 x 轴的上方，得 M(3，2 3)，由 MNl，得|MN|MF|314，又NMF 等于直 线 FM 的倾斜角，即NMF60
8、 ，因此MNF 是边长为 4 的等边三角形，点 M 到直线 NF 的距离 为 4 3 2 2 3，选 C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13函数 f(x)2cos xsin x 的最大值为_ 解析：依题意，得 f(x) 5sin(x)(其中 sin 2 5，cos 1 5)因此函数 f(x)的最大值是 5 14 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 当 x(， 0)时， f(x)2x3x2， 则 f(2)_ 解析：依题意得，f(2)2(2)3(2)212，由函数 f(x)是奇函数，得 f(2)f(2) 12 15 长方体的长、 宽、
9、 高分别为 3、 2、 1， 其顶点都在球 O 的球面上， 则球 O 的表面积为_ 解析：依题意得，长方体的体对角线长为 322212 14，记长方体的外接球的半径为 R， 则有 2R 14，R 14 2 ，因此球 O 的表面积等于 4R214 16 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 2bcos Bacos Cccos A， 则 B_ 解析： 依题意得 2ba 2c2b2 2ac aa 2b2c2 2ab cb 2c2a2 2bc ， 即 a2c2b2ac， 所以 2accos Bac0，cos B1 2又 0B，所以 B 3 三、解答题(解答应写出文字说明，
10、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，等比数列bn的前 n 项和为 Tn，a1 1，b11，a2b22 (1)若 a3b35，求bn的通项公式； (2)若 T321，求 S3 解析：设an的公差为 d，bn的公比为 q，则 an1(n1)d，bnqn 1由 a 2b22 得 d q3 (1)由 a3b35 得 2dq26联立和解得 d3， q0 (舍去)， d1， q2. 因此bn的通项 公式为 bn2n 1 (2)由 b11，T321 得 q2q200，解得 q5，q4当 q5 时，由得 d8，则 S321当 q4 时，由得 d1，则 S3
11、6 18 (本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， ABBC1 2AD，BADABC90 (1)证明：直线 BC平面 PAD； (2)若PCD 的面积为 2 7，求四棱锥 PABCD 的体积 解析： (1)证明：在平面 ABCD 内，因为BADABC90 ，所以 BCAD又 BC平面 PAD，AD 平面 PAD，故 BC平面 PAD (2)取 AD 的中点 M， 连接 PM， CM 由 ABBC1 2AD 及 BCAD， ABC90 得四边形 ABCM 为正方形，则 CMAD因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平
12、面 PAD平面 ABCD AD，所以 PMAD，PM底面 ABCD因为 CM底面 ABCD，所以 PMCM设 BCx，则 CMx，CD 2x，PM 3x，PCPD2x 取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PNCD，所以 PN 14 2 x因为PCD 的面积为 2 7，所以1 2 2x 14 2 x2 7，解得 x2(舍去)或 x2于是 ABBC2，AD4，PM2 3所以四棱锥 PABCD 的体积 V1 3 224 2 2 34 3 19(本小题满分 12 分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时 各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率
13、分布直方图如下： 旧养殖法 新养殖法 (1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 A 的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； 箱产量50 kg 箱产量50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较 附： P(K2k) 0050 0010 0001 k 3841 6635 10828 ，K2 nadbc2 abcdacbd 解析： (1)旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0 0120 0140 0240 0340 040)5 062因此，事件 A 的概率估计值
14、为 062 (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50 kg 箱产量50 kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 K220062663438 2 10010096104 15705由于 157056635，故有 99%的把握认为箱产量 与养殖方法有关 (3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 50 kg 到 55 kg 之间， 旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 45 kg 到 50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较 旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法 优于旧养殖法 20(本小题
15、满分 12 分)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x 2 2y 21 上，过 M 作 x 轴的垂 线，垂足为 N，点 P 满足NP 2NM (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 x3 上，且OP PQ 1，证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦 点 F 解析：(1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0，0)，NP (xx 0，y)，NM (0，y0)，由NP 2 NM 得 x0x，y0 2 2 y因为 M(x0，y0)在 C 上，所以x 2 2 y2 21因此点 P 的轨迹方程为 x 2y22 (2)证明：由题意知 F(1，0)设 Q(3
16、，t)，P(m，n)，则OQ (3，t)，PF (1m， n)，OQ PF 33mtn，OP (m，n)，PQ (3m，tn)，由OP PQ 1 得3mm2tnn2 1，又由(1)知 m2n22，故 33mtn0所以OQ PF 0，即OQ PF ，又过点 P 存在唯一直 线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 21(本小题满分 12 分)设函数 f(x)(1x2)ex (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 x0 时，f(x)ax1，求 a 的取值范围 解析：(1)f(x)(12xx2)ex令 f(x)0 得 x1 2或 x1 2当 x(，1 2)时，
17、f(x)0；当 x(1 2，1 2)时，f(x)0；当 x(1 2，)时，f(x) 0所以 f(x)在(，1 2)，(1 2，)单调递减，在(1 2，1 2)单调递增 (2)f(x)(1x)(1x)ex当 a1 时，设函数 h(x)(1x)ex，h(x)xex0(x0)，因此 h(x) 在0，)单调递减，而 h(0)1，故 h(x)1，所以 f(x)(x1)h(x)x1ax1当 0a1 时，设函数 g(x)exx1，g(x)ex10(x0)，所以 g(x)在0，)单调递增，而 g(0)0， 故 exx1当 0x1 时，f(x)(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取 x
18、0 54a1 2 ， 则 x0(0， 1)， (1x0)(1x0)2ax010， 故 f(x0)ax01 当 a0 时， 取 x0 51 2 ， 则 x0(0，1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01 综上，a 的取值范围是1，) 请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题 号 22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐 标方程为 cos 4 (1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM| |OP|16，求点 P
19、 的轨迹 C2的直 角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为(2， 3)，点 B 在曲线 C2上，求OAB 面积的最大值 解析：(1)设 P 的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM| 1 4 cos 由|OM| |OP|16 得 C2的极坐标方程 4cos (0)因此 C2 的直角坐标方程为(x 2)2y24(x0) (2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB 面积 S1 2 |OA| B sinAOB4cos |sin( 3)|2|sin(2 3) 3 2 |2 3当 12时，S 取得最大值 2 3所以OAB 面积的最大值为 2 3 23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知 a0，b0，a3b32证明： (1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2 证明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24 (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)23ab 2 4 (ab)23ab 3 4 ，所以(a b)38，因此 ab2
