1、20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1已知集合 1,0,1,6A ， |0,Bx xxR，则AB . 2已知复数(2i)(1i)a的实部为 0，其中i为虚数单位，则实数 a 的值是 . 3下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 . 4函数 2 76yxx的定义域是 . 5已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 . 6 从 3 名男同学和 2
2、名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务， 则选出的 2 名同学 中至少有 1 名女同学的概率是 . 7在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 经过点（3，4)，则该双 曲线的渐近线方程是 . 8已知数列 * () n anN是等差数列， n S是其前 n 项和.若 2589 0,27a aaS，则 8 S的值是 . 9如图，长方体 1111 ABCDABC D的体积是 120，E 为 1 CC的中点，则 三棱锥 EBCD 的体积是 . 10 在平面直角坐标系xOy中， P 是曲线 4 (0)yxx x 上的一个动点， 则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是
3、 . 11在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 ylnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（e， 1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是 . 12如图，在ABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE2EA，AD 与 CE 交于点O.若6AB ACAO EC，则 AB AC 的值是 . 13已知 tan2 3 tan 4 ，则 sin 2 4 的值是 . 14设 ( ), ( )f x g x 是定义在 R 上的两个周期函数，( )f x的周期为 4，( )g x的周期为 2，且( )f x是 奇函数.当2(0,x时， 2 ( )1 (1)f xx， (2),01
4、 ( ) 1 ,12 2 k xx g x x ， 其中 k0.若在区间(0， 9上，关于 x 的方程 ( )( )f xg x 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 . 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6小题，共计小题，共计90分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 a3c，b2，cosB 2 3 ，求 c 的值； （2）若 sincos 2 AB ab ，求sin() 2 B 的
5、值 16（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，ABBC 求证：（1）A1B1平面 DEC1； （2）BEC1E 17（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 F1（1、0），F2（1， 0）过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2: 222 (1)4xya交于点 A，与椭圆 C 交于 点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1 已知 DF1 5 2 （1）求椭圆 C 的标准方程；
6、 （2）求点 E 的坐标 18（本小题满分 16 分） 如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O 的 直径）规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA规划要求:线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径 已知点 A、 B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD （C、 D 为垂足），测得 AB10，AC6，BD12（单位:百米） （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道
7、路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间 的距离 19（本小题满分 16 分） 设函数( )()()(), , ,Rf xxa xb xc a b c、( )f x为 f（x）的导函数 （1）若 abc，f（4）8，求 a 的值； （2）若 ab，bc，且 f（x）和( )f x的零点均在集合3,1,3中，求 f（x）的极小值； （3）若0,01,1abc，且 f（x）的极大值为 M，求证:M 4 27 20（本小满分 16 分） 定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为M数列. （1） 已知等比数列an * ()nN满足： 245132 ,440a
8、aa aaa， 求证:数列an为M数列； （2）已知数列bn满足: 1 1 122 1, nnn b Sbb ，其中 Sn为数列bn的前 n 项和 求数列bn的通项公式； 设m为正整数， 若存在M数列cn * ()nN， 对任意正整数k， 当km时， 都有 1kkk cbc 剟 成立，求 m 的最大值 数学数学( (附加题附加题) ) 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若多若多 做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤做，则按作答的前两小题评分
9、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 31 22 A （1）求 2 A； （2）求矩阵A的特征值. B.选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知两点3,2, 42 AB ，直线l的方程为sin3 4 . （1）求,A B两点间的距离； （2）求点B到直线l的距离. C.选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 设xR，解不等式| |+|21|2xx. 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答
10、，解答时应内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分） 设 2* 012 (1),4, nn n xaa xa xa xnnN.已知 2 324 2aa a. （1）求n的值； （2）设(13)3 n ab，其中 * , a bN，求 22 3ab的值. 23.（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，设点集(0,0),(1,0),(2,0),( ,0) n An ， (0,1),( ,1),(0,2),(1,2),(2,2),( ,2),. nn BnCnn N令 nnnn MABC.从集合 n M 中任取两个不
11、同的点，用随机变量X表示它们之间的距离. （1）当 n1 时，求X的概率分布； （2）对给定的正整数(3)n n ，求概率()P xn（用n表示） 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学数学 参考答案参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题每小题5分，共计分，共计70分分. 1.1,6 2.2 3.5 4.1,7 5. 5 3 6. 7 10 7.2yx 8.16 9.10 10.4 11.(e, 1) 12.3 13. 2 10 14. 12 , 34 二、解答题二、解答题 15.本小题主要考
12、查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求 解能力解能力.满分满分14分分. 解： （1）因为 2 3 ,2,cos 3 ac bB， 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac ，得 222 2(3 )( 2) 32 3 cc cc ，即 2 1 3 c . 所以 3 3 c . （2）因为 sincos 2 AB ab ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，得 cossin 2 BB bb ，所以cos2sinBB. 从而 22 cos(2sin)BB，即 22 cos
13、4 1 cosBB，故 2 4 cos 5 B . 因为sin0B，所以cos2sin0BB，从而 2 5 cos 5 B . 因此 2 5 sincos 25 BB . 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象 能力和推理论证能力能力和推理论证能力.满分满分 14 分分. 证明： （1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点， 所以 EDAB. 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABA1B1 ， 所以 A1B1ED. 又因为 ED平面 DEC1 ，A 1B1平面
14、 DEC1 ， 所以 A1B1平面 DEC1. （2）因为 ABBC，E 为 AC 的中点，所以 BEAC. 因为三棱柱 ABCA1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC. 又因为 BE平面 ABC，所以 CC1BE. 因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CACC， 所以 BE平面 A1ACC1. 因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E. 17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关 系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运
15、算求解能力系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分满分 14 分分. 解： （1）设椭圆 C 的焦距为 2c. 因为 F1(1，0)，F2(1，0)，所以 F1F22，c1. 又因为 DF1 5 2 ，AF2x 轴，所以 DF222 22 112 53 ( )2 22 DFFF ， 因此 2aDF1DF24，从而 a2. 由 b 2a2c2，得 b2 3. 因此，椭圆 C 的标准方程为 22 1 43 xy . （2）解法一： 由（1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy ，a2， 因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为 1. 将 x1 代入圆 F2的方程(x1)
16、2 y 216，解得 y 4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4). 又 F 1(1，0)，所以直线 AF1：y2x2. 由 22 () 22 116 yx xy ，得 2 56110xx ， 解得1x 或 11 5 x . 将 11 5 x 代入22yx，得 12 5 y ， 因此 1112 (,) 55 B .又 F2(1，0)，所以直线 BF2： 3 (1) 4 yx. 由 22 1 43 3 (1) 4 x yx y ，得 2 76130xx，解得1x或 13 7 x . 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 1x. 将1x代入 3 (1) 4 yx，得 3 2 y
17、 .因此 3 ( 1,) 2 E . 解法二： 由（1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy .如图，连结 EF1. 因为 BF22a，EF1EF22a，所以 EF1EB， 从而BF1EB. 因为 F2AF2B，所以AB， 所以ABF1E，从而 EF1F2A. 因为 AF2x 轴，所以 EF1x 轴. 因为 F1 (1，0)，由 22 1 43 1x xy ，得 3 2 y . 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 3 2 y . 因此 3 ( 1,) 2 E . 18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及本小题主要考查三角函数的应用、解方
18、程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及 运用数学知识分析和解决实际问题的能力运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分满分16分分. 解：解法一：解：解法一： （1）过A作AEBD，垂足为E. 由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6, 8DEBEACAECD. 因为PBAB， 所以 84 cossin 105 PBDABE. 所以 12 15 4 cos 5 BD PB PBD . 因此道路PB的长为15（百米）. （2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆 O的半径，所以P选在D处不满足规划要求. 若Q在D处，连结AD，由（1）知 22
19、 10ADAEED， 从而 222 7 cos0 225 ADABBD BAD AD AB ，所以BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置. 当OBP90 时，在 1 PPB中， 1 15PBPB. 由上可知，d15. 再讨论点Q的位置. 由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA15时， 2222 1563 21CQQAAC.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径. 综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ3 21时，d最小，此
20、时P，Q两点间的距离PQ PDCDCQ173 21. 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为173 21（百米）. 解法二：解法二： （1）如图，过O作OHl，垂足为H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系. 因为BD12，AC6，所以OH9，直线l的方程为y9，点A，B的纵坐标分别为3，3. 因为AB为圆O的直径，AB10，所以圆O的方程为x2y225. 从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为 3 4 . 因为PBAB，所以直线PB的斜率为 4 3 ， 直线PB的方程为 425 33 yx . 所以P（13，9）， 22 ( 134)(93)15PB . 因此道路PB
21、的长为15（百米）. （2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO40. 因为ckbkck1，所以 1kk qkq ，其中k1，2，3，m. 当k1时，有q1； 当k2，3，m时，有 lnln ln 1 kk q kk 设f（x） ln (1) x x x ，则 2 1 ln ( ) x f x x 令( )0f x ，得xe.列表如下： x (1,e) e (e，) ( )f x 0 f（x） 极大值 因为 ln2ln8ln9ln3 2663 ，所以 max ln3 ( )(3) 3 f kf 取 3 3q ，当k1，2，3，4，5时， ln ln k q k ，即 k kq， 经
22、检验知 1k qk 也成立 因此所求m的最大值不小于5 若m6，分别取k3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5 数学数学(附加题附加题) 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若若 多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 31
23、 22 A （1）求A2； （2）求矩阵A的特征值. B.选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知两点3,2, 42 AB ，直线l的方程为sin3 4 . （1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离. C.选修45：不等式选讲（本小题满分10分） 设xR，解不等式| |+|2 1|2xx. 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分）
24、设 2* 012 (1),4, nn n xaa xa xa xnnN.已知 2 324 2aa a. （1）求n的值；（2）设(13)3 n ab，其中 * , a bN，求 22 3ab的值. 23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集(0,0),(1,0),(2,0),( ,0) n An ， (0,1),( ,1),(0,2),(1,2),(2,2),( ,2),. nn BnCnn N 令 nnnn MABC.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离. （1）当n1时，求X的概率分布； （2）对给定的正整数n（n3），求概率P（Xn）（用n表示）.
25、 数学数学(附加题附加题)参考答案参考答案 21【选做题】【选做题】 A选修选修42：矩阵与变换：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分10分分 解：（1）因为 31 22 A， 所以 2 3131 2222 A 3 3 1 23 1 1 2 2 32 22 1 2 2 115 106 （2）矩阵A的特征多项式为 2 31 ( )54 22 f . 令( )0f，解得A的特征值 12 1,4. B选修选修44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运
26、算求解能力满分本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10分分 解：（1）设极点为O.在OAB中，A（3， 4 ），B（ 2， 2 ）， 由余弦定理，得AB 22 3( 2)2 32cos()5 24 . （2）因为直线l的方程为sin()3 4 ， 则直线l过点(3 2,) 2 ，倾斜角为 3 4 又( 2,) 2 B ，所以点B到直线l的距离为 3 (3 22) sin()2 42 . C选修选修45：不等式选讲：不等式选讲 本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分10分分 解：当
27、x2，解得x1. 综上，原不等式的解集为 1 |1 3 x xx 或. 22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能 力，满分力，满分10分分 解：（1）因为 0122 (1)CCCC4 nnn nnnn xxxxn， 所以 23 23 (1)(1)(2) C,C 26 nn n nn nn aa ， 4 4 (1)(2)(3) C 24 n n nnn a 因为 2 324 2aa a， 所以 2 (1)(2)(1)(1)(2)(3) 2 6224 n nnn nn
28、nnn ， 解得5n （2）由（1）知，5n 5 (13)(13) n 0122334455 555555 CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3) 3ab 解法一：解法一： 因为 * , a bN，所以 024135 555555 C3C9C76,C3C9C44ab， 从而 2222 3763 4432ab 解法二：解法二： 50122334455 555555 (13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3) 0122334455 555555 CCC ( 3)C ( 3)C ( 3)(3C3) 因为 * , a bN，所以 5 (13)3ab 因此 22555
29、3(3)(3)(13)(13)( 2)32ababab 23【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查 逻辑思维能力和推理论证能力逻辑思维能力和推理论证能力满分满分10分分 解：（1）当1n 时，X的所有可能取值是12 25， X的概率分布为 22 66 7744 (1), (2) C15C15 P XP X ， 22 66 2222 (2), (5) C15C15 P XP X （2）设()A a b，和()B cd，是从 n M中取出的两个点 因为()1()P XnP Xn
30、 ，所以仅需考虑Xn的情况 若bd，则ABn，不存在Xn的取法； 若01bd，则 22 ()11ABacn ，所以Xn当且仅当 2 1ABn ，此 时0 acn，或 0anc，有 2 种取法； 若02bd，则 22 ()44ABacn，因为当3n时， 2 (1)4nn， 所以Xn当且仅当 2 4ABn ，此时0 acn，或 0anc，有 2 种取法； 若12bd，则 22 ()11ABacn ，所以Xn当且仅当 2 1ABn ，此 时0 acn，或 0anc，有 2 种取法 综上，当Xn时，X的所有可能取值是 2 1n 和 2 4n ，且 22 22 2424 42 (1), (4) CC nn P XnP Xn 因此， 22 2 24 6 ()1(1)(4)1 C n P XnP XnP Xn
