1、点、直线、平面的位置关系复习学习目标：1.理解四个公理、一个定理的含义，知道其作用；2.理解平行、垂直的判断、性质定理，能用定义法正确判断点、直线、平面的位置关系3.会用中位线，平行四边形等方法证明线线平行；4.根据平行的判定和性质定理证明线面，面面平行；5.会用勾股定理，等腰三角形，直径所对角为圆周角等方法证明线线垂直；6.根据平行的判定和性质定理证明线面，面面垂直以及线线平行；7.会根据平移法、等体积法等方法计算空间角位置关系判断位置关系符号化证明空间角一、位置关系判断（一）概念辨析：判断下列说法是否正确：1.若直线a上有不同两点在平面 内，则2.空间中三点确定一个平面；3.空间中有三点A
2、，B，C，它们都既在平面 又在平面 内，则A，B，C三点共线；4.若直线a与平面 没有公共点，则直线a与平面内任意直线平行；5.若直线a与平面 内无数条直线垂直，则直线a与平面 垂直。aaaabaaaa公理2公理1公理3定义定义1.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A,a.(2)=a,P 且P.(3)a,a=A.(4)=a,=c,=b,abc=O.BDAC2.下列说法中正确的是()(A)空间不同的三点确定一个平面(B)空间两两相交的三条直线确定一个平面(C)空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形(D)和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内变式1：设b、c表示两
3、条不重合的直线，、表示两个不同的平面，则下列正确的是()DC变式2：设、为平面，给出下列条件：a、b为异面直线，a，b，a，b；内不共线的三点到的距离相等；，.其中能使成立的条件的个数是()A0B1 C2 D3B 空间中考虑1.平移，2旋转二、【平行、垂直关系证明】二、【平行、垂直关系证明】1已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点求证：（1）C1O/平面AB1D1;（2）A1C平面AB1D1 O1证明：（1）连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1由题可知：A0/C1O1且A0=C1O1得：A01/C1O且A01=C1O111AB DAO 又平面111C OAB D
4、平面111C O/AB D平面（2）O1连接A1C1111B DA ACC在正方体中平面111A CA ACC平面111A CB D在矩形A1ACC1中，A1CC1AO1111A ACO A A111AA C=A O A行得1111111AA C+A AOA O A+A AO90o行=行=得11A CAO得1111111A CB D B DAO=O又，111A CA ACC 平面（2）O11111B DA ACC在正方体中平面111A CA ACC平面111A CB D连接A1C同理111B AA BCD 平面111A CA ACC平面11A CB A1111B AB D=B又111A CA
5、ACC 平面体对角线垂直不相交的面对角线1111DCBAABCD11AA=EABED1DA1【变式一】如图，在长方体中,AD=，AB1，点在棱上与位置关系为 移动，则直线垂直化线线垂直为线面垂直【变式二】如图平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且,221ADAFG是EF的中点，（1）求证平面AGC平面BGC：（2）求空间四边形AGBC的体积。解：（1）ABCDABEFABCDABEF=ABBCABBCABCD平面平面平面平面平面BCABEF 平面AGABEF又平面BCAG【变式二】如图平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且,221ADAFG是EF
6、的中点，（1）求证平面AGC平面BGC：（2）求空间四边形AGBC的体积。在矩形ABEF中AEBFG1AF=2FG=EF=22，AGF=45o得BGE=45o同理BGAG得BCAGBGBC=B又，AGBGC 平面AGAGC又平面AGCBGC平面平面对于垂直问题，找准中介：线面垂直【变式二】如图平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且,221ADAFG是EF的中点，（1）求证平面AGC平面BGC：（2）求空间四边形AGBC的体积。（2）C-ABGV=V体积AG=BG=2 2ABGS=4C-ABGABG1V=BC S316=3111ABCA BC11ABB ACABC1ABC
7、1A ACCAB111ABCC B【变式三】如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点.如何运动，平面平面（）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比（）求证：无论点（1）证明：1A AABCBCABC平面，平面1A ABCAB又为直径ACBC1ACA A=A又1BCA AC 平面1BCA BC又平面11A BCA AC平面平面111ABCA BC11ABB ACABC1ABC1A ACCAB111ABCC B【变式三】如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点.如何运动，平面平面（）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比（）求
8、证：无论点（2）解：设圆柱高为h，底面圆半径为a.1111A CBCC B同理（1）可得平面11 111211BCC B12V=33ABCC BACSa h-=矩形11 1222V23=V3ABCC Ba ha hpp-=圆柱BCADEFMFCE【变式四】如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，为上的点，且BF平面ACE（2）设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.（1）求证：AEBE；（1）证明BFACEAEACE平面，平面BFAEADABEBC/AD又平面，BCABE 平面AEACE又平面BCAEBCBF=B又AEBCE 平面B
9、EBCE又平面AEBEBCADEFMFCE【变式四】如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，为上的点，且BF平面ACE（2）设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.（1）求证：AEBE；（2）在线段EC上去点N使得EN=2NC，在线段ED上取点R使得ER=2RD连接MN，RN，RARNEREN=2RDNC2RN/,RN=DC3DC且AM=2MBAB/DC,AB=DC又，AM/RNAM=RN，MN/RAARDAEMNDAE趟又平面，平面MN/DAE平面3p46p21A1B1C1DABCDEFG三、【空间角的计算】三、【空间角的计算】（
10、一）异面直线所成角（平移法）（一）异面直线所成角（平移法）1.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A BC DDABCDEMN图 1ABCDEMNG图 22设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_90oPA ABC90ACBPAACBCa3如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_PBCAD2异面直线PB与AC所成角为PBD或其
11、补角（二）线面角（观察法，等体积法）（二）线面角（观察法，等体积法）1、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点，直线A1O与平面ABCD所成角的正弦值为 。1A1B1C1DABCDo63直线A1O与平面ABCD所成角为A1OAABCA B C A ABBBCC B C BAB 02,4,60C BABABB ACBCC B 变式一 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，是矩形，,，与平面所成角的正切值为 。四边形D62直线AC与平面BCCB所成角为ACD 2.正方体ABCDA1B1C1D1中BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A.B.C.D.B11D-ADCD-AD CV
12、=V11ADCAD C11D D S=DO S33创即12ADC112AD CS32DO=D D=D D=S332aaa变式二 如图，在矩形ABCD中，3 3,3ABBCBDBCDCC，沿对角线将折起，使点移到点 BCACADABC 平面ACABDa，且（1）求证（2）求直线与平面所成角的正弦值。解：（1）RtBCDBCCD在中，,CDACCBCAC=又ADCBC 平面ADADC又平面ADBCRtABDABAD又在中，AB=BBCADABC 平面变式二 如图，在矩形ABCD中，3 3,3ABBCBDBCDCC，沿对角线将折起，使点移到点 BCACADABC 平面ACABDa，且（1）求证（2）
13、求直线与平面所成角的正弦值。解：（2）CABCO过点做平面的垂线，设垂足为22RtACDAC=CDAD=3 2-在中，ACBAC BC9 2S=22得：ABDAB AD9 3S=22D-ABCC-ABDV=VACBABDAD S=CO S创CO=6CO3sin=AC3a=（三）二面角（一作、二证、三算）（三）二面角（一作、二证、三算）1.在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=3，底面ABCD为边长为2的正方体，在图中画出二面角P-AB-D的平面角，其正弦值为 。取AB中点为E，CD中点为F，连接PE，EF则二面角P-AB-D的平面角为PEFEF连接PFEFP在PEF中，EF=222P
14、E=PF=PBBE=2 2-取EF中点为O，连接POOPOEF14sin4POPEFPE=变式.如图,把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转,使C点移动的距离等于AC时停止,并记为点P,其中AC=2.(1)求直线PC与平面ABC所成的角；(2)求二面角C-BP-A的余弦值.解：（1）取AB中点为D，连接PD、CD,2PDAB CDAB PDCD=则222+4=PCPDCD=DCPDDCAB=D又ABCPD 平面PCABCPCD 直线与平面所成角为或其补角PCD为等腰直角三角形0PCD=450PCABC45答：直线与平面所成角为D变式.如图,把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转,使C点移动的距离等于AC时停止,并记为点P,其中AC=2.(1)求直线PC与平面ABC所成的角；(2)求二面角C-BP-A的余弦值.D解：（2）取PB中点为E，连接DE、CEEPC=PB=BC，E为PB中点ECPBD、E分别为AB、PB中点DEPA DEPB二面角C-BP-A的平面角为DEC在DEC中DECDE=1DC=2CE=3，222DE+DC=CE3cos3DEDECCE=
