1、湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学试卷（共 4 页）第 1页2023 年湖北省孝感市高二期中考试命题学校：汉川一中高二数学试卷命题教师：审题学校：孝感一中考试时间：2023 年 4 月 11 日下午 15：00-17：00试卷满分：150 分注意事项:1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。2、回答选择题时，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是符合题目要求的.1.椭圆2222xy的长轴长为A1B2C2D2 22 3 个班分别从 4 个景点中选择一处游览，不同选法的种数是A43B34C12D163.已知抛物线22(0)ypx p的焦点为 F，若点(4,4)A在抛物线上，则AF A3B.4C.5D.64 已知na为等差数列，135105aaa，24699aaa，则10aA23B.22C.21D.205.已知函数()()sincos4ff xxx,则()f x在4x处的导数是A12 B12C12 D126 已知数列 na是递增的等比数列，142318,32aaa a，若 na的前 n 项和为nS，则115622kkSS，则正整数 k
3、 等于A3B4C5D67.过点 P（2，1）的直线 l 与双曲线2213yx 相交于 A,B 两点，若 P 是线段 AB 的中点，则直线l 的方程是A6110 xyB6130 xyC2310 xy D3240 xy湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学试卷（共 4 页）第 2页8.已知函数()(2)(0)xf xkxex x,若()0f x 的解集为(,)m n,且(,)m n中恰有一个整数,则实数 k 的取值范围是A2111,2eeB32121,13eeC1,2eD21,1e二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5
4、 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9 以直线210 xy 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为A.2xy B.22xy C.22yxD.24yx10已知函数3()6 12f xxx，下列命题中为真命题的是A()f x的单调递减区间是(2,2)B()f x的极小值点是 2C()f x有且只有一个零点D过点(0,0)只能作一条直线与()yf x的图象相切11.如图是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若
5、原正三角形边长为 1，记第 n 个图中图形的边数为na，第 n 个图中图形的周长为nb，则下列命题正确的是A348a B.13(2)nnaanC4649b D数列 nb的前 n 项和为4993n12已知圆 O 的半径为定长 R，A 是圆 O 所在平面内一个定点，P 是圆 O 上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，关于点 Q 的轨迹，下列命题正确的是A若 A 是圆 O 内的一个定点（非点 O）时，点 Q 的轨迹是椭圆B若 A 是圆 O 外的一个定点时，点 Q 的轨迹是双曲线的一支C若 A 与点 O 重合时，点 Q 的轨迹是圆D若 A 是圆
6、O 上的一个定点时，点 Q 的轨迹不存在湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学试卷（共 4 页）第 3页三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13乘积1212123()()()aabbccc展开后共有_项.14若曲线axye在点(0,1)处的切线与直线310 xy 垂直，则实数 a 的值是 _15已知12,F F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，点 A 是双曲线 C 的右顶点，点 P 在过点 A 且斜率为3 34的直线上，PF1F2为等腰三角形，21120PF F，则双曲线的离心率为_.16数列na满足2(1)21nnnaan，前 16 项和为
7、 352，则1a=_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）已知等差数列na的前n项和为nS，55a，155S，（1）求数列na的通项公式；（2）若11nnnba a，求数列 nb的前 2023 项和18（本小题满分 12 分）已知函数2()()6xf xeaxbxx，曲线()yf x在点(0，(0)f处切线方程为68yx（1）求实数a，b的值；（2）求()f x的单调区间，并求()f x的极大值19.（本小题满分 12 分）如图所示，已知直线与抛物线22(0)ypx p交于 A,B 两点，且OAOB，ODAB交AB于点
8、D，点D的坐标为(2,2)（1）求p的值；（2）若线段 AB 的垂直平分线与抛物线交于 E，F 两点，求OEF 的面积.湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学试卷（共 4 页）第 4页20（本小题满分 12 分）已知正项数列na和 nb,数列na的前 n 项和为nS，若242nnnSaa,32log(3)nnabnN，（1）求数列na与 nb的通项公式；（2）令nnncab，记数列 nc的前 n 项和为nT，若1220231nnTa，求 n 的最小值.21（本小题满分 12 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 G 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，焦距等于2 3，且经过点 P1(3,
9、)2.（1）求椭圆 G 的标准方程；（2）记椭圆 G 的左、右顶点分别为 A，B，点 S 是椭圆 G 上位于 x 轴上方的动点，直线 AS，BS 与直线5:2l x 分别相交于 M，N 两点，求线段 MN 的长度的最小值.22（本小题满分 12 分）已知函数2137()ln(1)224f xaxxaxa，其中0a.（1）求()f x的单调区间；（2）当1a 时，设,m n为()f x的两个极值，证明：0mn.湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 1页2023 年湖北省孝感市高二期中考试高二数学试卷答案一、单项选择题1D2B3C4C5A6B7A8A二、多项选择题9BD10A
10、BD11ACD12.AC三、填空题1312141315321651【答案】D化椭圆的标准方程可得2212xy，得2a，所以长轴长为2 2.2【答案】B每个班有 4 种不同选择，共有34种不同选法3【答案】C将点 A（4，4）代入抛物线方程，得到2p，所以452pAF 4【答案】C可得33105a，4399a，则2d ，所以1046336(2)21aad .5【答案】A对函数()f x求导可得()()cossin4fxfxx，所以22()()4422ff，可得212()12421212f 6【答案】B联立1423141832aaa aa a可得12a，416a，则公比2q，2nna，167161
11、262(1 2)221 2kkkkkkkkSSaaa，所以71622kkkkSS11522，所以4k.7【答案】A由点差法知，直线 l 的斜率22261bka，又直线 l 过点 P（2，1），所以直线 l的方程为6110 xy，经检验此时 l 与双曲线有两个交点.8【答案】A由(2)0 xkxex，得2xxkxe，令()(0)xxh xxe，1()(0)xxh xxe可得()0h x，01x；()0h x，1x，即()h x在(0,1)上递增，(1,)上递减，令湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 2页()2g xkx表示斜率为k，纵截距为2的直线，画图象可得，由图象得0
12、(1)(1)(2)(2)kghgh，可得21112kee 9【答案】BD直线210 xy 与坐标轴的交点为（1，0），（0，12），故以（1，0）和（0，12）为焦点的抛物线标准方程分别为24yx和22xy.10【答案】ABD2()1233(2)(2)fxxxx，可得()f x的单调递减区间为（2，2），A 项正确；又()f x单调递增区间为（，2），（2，），所以2是()f x的极小值点，B 项正确；又(2)100f，(2)220f，则()f x有三个零点，C 项错误；原点不在曲线上，设切点为3000(,6 12)xxx，则3200006 12312xxxx，得303x，所以切点只有一个，D
13、 项正确.11【答案】ACD分析知14(2)nnaan及13a，得13 4nna，A 项正确，B 项错误；由11114(2)33nnnnbbbbn及13b，得1433nnb，C 项正确；数列 nb的前 n项和为43134994313nn，D 项正确12【答案】AC若 A 是圆 O 内的一个定点（非点 O）时，QAQOQPQORAO，Q 的轨迹是以 O，A 为焦点的椭圆，所以 A 项正确；若 A 是圆 O 外的一个定点时，QAQOQPQORAO，Q 的轨迹是以 O，A 为焦点的双曲线，所以 B 项错误；若 A 与点 O 重合时，Q 的轨迹是以 O 为圆心，以2R为半径的圆，所以 C 项正确；若
14、A 是圆 O 上的一个定点时，点 Q 的轨迹为点 O 构成的集合，所以 D 项错误.13【答案】12由分步计数原理，展开后共有2 2 3 项14【答案】13可求得 yaxae，y|x0a=1315【答案】32由题知1222FFPFc，过 P 作 PMx轴于 M，则260PF M，湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 3页3PMc，2AMcacca，3 3342PMcAMca，32e 16【答案】5由题知423aa，8611aa，121019aa，161427aa，2461660aaaa，又311aa，535aa，759aa，9713aa，11917aa，131121aa，
15、151325aa，135152521 2aaaa 117 3 13 49 55 6 1 7835260a ，15a四、解答题17.解：（1）由55a，155S，得145ad，15 45152ad，解得11ad，3 分所以nan5 分（2）11111(1)1nnnba an nnn，7 分从而有：12232023202411111111122320232024a aa aaa（）（）（）12023120242024 故数列 nb的前 2023 项和为2023202410 分18 解：（1）()()26xfxeaxabx，1 分曲线()yf x在点(0，(0)f处的切线方程为68yx，3 分(0)
16、()66(0)8fabfb，解得4,8ab6 分（2）由（1）可知：2()4(2)6xf xexxx，1()4(3)264(3)()2xxfxexxxe7 分由()0fx解得3x ,或2xln，此时函数()f x在(,3),(ln2,)单调递增；由()0fx解得32xln ，此时函数()f x在(3,ln2)单调递减10 分故当3x 时，函数()f x取得极大值，极大值为39(3)4fe12 分湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 4页19解：（1）由ODAB于(2,2)D，:4ABlyx ，直线ABl与22ypx联立，得：2280ypyp，24320pp，设1122(,
17、),(,),A x yB xy由OAOB知，12120 x xy y21212204y yy yp，即228804ppp，22,4pyx6 分（2）设 AB 中点为00(,)M xy,由（1）知12022yyyp ，0046xy，:26,80EFlyxxy即，与24yx联立得：24320yy，设(,),(,),EEFFE xyF xy2()412EFEFEFyyyyy y，182OEFS EFyy=4812 分(本题也可用其它方法，请酌情给分)20解：（1）由242nnnSaa知，211142(2)nnnSaan，两式相减：221142()(2)nnnnnaaaaan，2 分22112()(2
18、)nnnnaaaan，0na，整理得：12(2)nnaan，由21111420aaaa且得，12a 2nan，4 分由322log(3)nnbnN，得13nnb6 分（2）由（1）知，01212 34 36 323nnTn 31232 34 36 323nnTn 1-得：012122 3233323nnnTn 13(1 3)222231 3nnnTn 13111(1 3)3()3222nnnnTnn 10 分11()332220231212nnnnTnan，34046n，又7832187,36561,8n所以 n 的最小值为 812 分湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第
19、 5页21.解(1)由已知得 c3，则椭圆的两焦点坐标分别为12(3,0),(3,0)FF，1 分又122FPF Pa，2211(33)(33)244a解得 a2，又 b2a2c21.4 分所以椭圆 G 的方程为2214xy5 分（2）法一：设001255(,),(,),(,)22S xyMyNy则直线 AS 方程为00:(2),2ASylyxx与5:2l x 联立，得：01092(2)yyx00:(2)2BSylyxx，与5:2l x 联立，得：0202(2)yyx8 分则20122094(4)yy yx，又220014xy，2012209 1494(4)16xy yx 所以，1212123
20、()2()2MNyyyyyy 11 分当且仅当12yy，即000092(2)2(2)yyxx，得085x，即8 3(,)5 5S时，取等号所以，线段 MN 的长度的最小值3212 分法二：设00(,),S xy则直线 AS 的斜率为002yx，则直线 BS 的斜率为002yx，结合220014xy得：002yx 2002001244yyxx 所以可设直线 AS 方程为:(2)(0),ASlyk xk与5:2l x 联立，得5 9(,)2 2Mk设直线 BS 方程为1:(2),4BSlyxk 与5:2l x 联立，得51(,)28Nk所以，91919322828162kkMNkk 当且仅当912
21、8kk，即16k，此时8 3(,)5 5S时，取等号所以，线段 MN 的长度的最小值32湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 6页22 解：（1）依题可知：定义域为|0 x x 2(1)(1)()()(1)axaxaxxafxxaxxx 2 分1当1a 时，由()0fx，得1,x 或xa，所以()f x的单调递增区间为 0,1,a,由()0fx，得1xa，()f x的单调递减区间为1,a.2当1a 时，()0fx，()f x的单调递增区间为0,()f x的无单调递减区间.3当01a时，由()0fx，得,xa或1x，所以()f x的单调递增区间为 0,1,a由()0fx，得
22、1ax，()f x的单调递减区间为,1a.5 分（2）法 一：当1a 时，()f x的 两 个 极 值 分 别 为:19(1)24fa，2117()ln224f aaaaa，21(1)()ln42mnff aaaaa 6 分令21()ln4(1)2g aaaaaa，则,()2lng aaa 令,()()h ag a，则,1()10h aa ，8 分所以,()g a在(1,)上单调递减，且,(3)ln3 10g，,(4)ln420g，故存在0(3,4)a，使得,0()0g a，即002ln0aa，当0(1,)aa，,()0,()g ag a单调递增；当0(,)aa，,()0,()g ag a单调递减，所以22max00000000011()()ln4(2)422g ag aaaaaaaa a 200142aa.又0(3,4)a，max0()()(4)g ag ag=0所以0mn12 分（2）法二：（前略）21(1)()ln42mnff aaaaa令14()1 ln(1)2G aaaaa，则222211428(4)(2)()222aaaaG aaaaa 当(1,4)a时，()0G a，()G a在（1，4）上单调递增；当(4,)a时，()0G a，()G a在（1，4）上单调递减，max()(4)ln420G aG，14()1 ln02G aaaa 21ln402mnaaaa
