1、导 数考试内容：导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景 （2）理解导数的几何意义（3）掌握函数， y=c(c 为常数 )、y=xn(n N+)的导数公式， 会求多项式函数的导数 （ 4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（ 5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值14. 导 数 知识要点导数的概念 导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则函数的单调性导数的应用 函数的极值函数的最值1.
2、 导数（导函数的简称） 的定义：设x0 是函数 y f (x) 定义域的一点， 如果自变量 x 在 x0 处有 增 量 x ， 则 函 数 值 y 也 引 起 相应的 增 量 y f (x0 x) f (x0 ) ； 比 值y ( 0 ) ( 0 ) 称为函数 y f (x) 在点f x x f xx xx 到 x0 x 之间的平均变化率；如果极限0limx 0yxlimx 0f (x0x) xf(x0)存在， 则称函数 y f (x) 在点 x0 处可导， 并把这个极限叫做f 或 x xy f (x) 在 x0 处的导数， 记作( 0 ) xy | ，即 f ( 0 ) =x x0limx
3、0yxlimx 0f (x0x) f x(x0).注： x是增量，我们也称为 “改变量 ”，因为 x 可正，可负，但不为零. x以知函数 y f (x) 定义域为 A ， y f ( ) 的定义域为 B ，则 A 与 B 关系为 A B .2. 函数 y f (x) 在点 x0 处连续与点 x0 处可导的关系：函数 y f ( x) 在点 x0 处连续是 y f (x) 在点 x0 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果 y f (x) 在点x 处可导，那么y f (x) 点 x0 处连续.0事实上，令x x0 x ，则 x x0 相当于 x 0 .1于是 lim ( ) lim ( ) li
4、m ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )f x f x x f x x f x f x0x x x 0 x 00f (x x) f ( x ) f (x x) f (x )0 0 0 0 lim x f (x ) lim lim lim f (x ) f (x0) 0 f (x0 ) f (x00 0x xx 0 x 0 x 0 x 0).如果 y f ( x) 点x 处连续，那么 y f ( x) 在点 x0 处可导，是不成立的 .0例： f (x) | x |在点 x0 0 处连续，但在点 x0 0 处不可导，因为y | x |x x，当 x 0 时，y ；当 x 0 时， y 1，故1x
5、xylim 不存在 .xx 0注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数 .可导的偶函数函数其导函数为奇函数 .3. 导数的几何意义：函数 y f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f (x) 处的切线的斜率， x也 就 是说 ， 曲线 y f ( x) 在 点 P (x0 , f ( x) 处 的切线 的斜 率 是 ( 0 ) f ， 切线 方程 为yy ( 00 f x)(x x).4. 求导数的四则运算法则： (u v) u v 1(x) f (x) . f (x) y f (x) f (x) . f (x)y f n n2 1 2 ( )
6、 ( uv) vu v u cv c v cv cv （ c为常数） u vu v u( v 0 )2v v注： u, v 必须是可导函数 .若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导； x f u x 5. 复合函数的求导法则： f x ( ( ) ( ) ( ) 或 y x y u u x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 .6. 函数单调性：函数单调性的判定方法： 设函数 y f (x) 在某个区间内可导， 如果 f ( ) 0，则 y f (x) 为x增函数；如果 f (x) 0，则 y f (x) 为减函数 .常数的判定方法；如果函数 y f (x) 在区间 I 内恒有 (
7、 )f =0，则 y f ( x) 为常数 . x注： f (x) 0 是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 y 2x 3 在( , ) 上并不是都有 f (x) 0 ，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样 f (x) 0 是 f（x）递减的充分非必要条件 .一般地， 如果 f（x）在某区间内有限个点处为零， 在其余各点均为正（或负），那么 f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的 .7. 极值的判别方法： （极值是在 x0 附近所有的点， 都有 f (x) f ( x0 ) ，则 f (x0) 是函数 f ( x)2的极大值，极小值同理）当函数 f (x) 在
8、点 x0 处连续时， x x如果在 x0 附近的左侧 f ( ) 0，右侧 f ( ) 0，那么 f ( x0 ) 是极大值； x x如果在 x0 附近的左侧 f ( ) 0，右侧 f ( ) 0，那么 f ( x0 ) 是极小值 . x 也就是说 x0 是极值点的充分条件是 x0 点两侧导数异号，而不是 f ( ) =0 . 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同） . x 注： 若点 x0 是可导函数 f (x) 的极值点，则 ( )f =0. 但反过来不一定成立 . 对于可导函数
9、，其一点 x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零 .例如：函数3 y f (x) x ， x 0 使 f (x) =0，但 x 0不是极值点 .例如：函数 y f (x) | x | ，在点 x 0 处不可导，但点 x 0是函数的极小值点 .8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较 .注：函数的极值点一定有意义 .9. 几种常见的函数导数：C （ C 为常数） (sin x) cos xI. 0(arcsin x)121 x n 1( )xn nx （ n R ） (cos x) sin x(arccos x)112xII. (
10、ln x)1 1 e(loga x) logax x(arctanx)x121x e xx ) ln x(e ) (a a a(arc cot x)x121III. 求导的常见方法：常用结论：(ln | x1 .形如 y (x a1 )(x a2).( x an ) 或|)x( x a )( x a ).( x a )1 2 ny 两( x b )( x b ).( x b )1 2 n边同取自然对数，可转化求代数和形式 .无理函数或形如xy x 这类函数，如xy x 取自然对数之后可变形为 ln y x ln x ，对两边求导可得yyln x x1xyylnxyyxx x xlnx.导数中的
11、切线问题例题 1：已知切点，求曲线的切线方程3曲线3 3 2 1y x x 在点 (1， 1) 处的切线方程为（ ）例题 2：已知斜率，求曲线的切线方程与直线 2x y 4 0 的平行的抛物线2y x 的切线方程是（ ）注意：此题所给的曲线是抛物线， 故也可利用 法加以解决， 即设切线方程为 y 2x b ，代入2y x ，得2 2 0x x b ，又因为 0 ，得 b 1 ，故选例题 3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法求过曲线3 2y x x 上的点 (1，1) 的切线方程例题 4：已知过曲线外一点，求切线方程求过点 (
12、2，0) 且与曲线 y 1x相切的直线方程练习题： 已知函数3 3y x x，过点 A (0，16) 作曲线 y f (x) 的切线，求此切线方程看看几个高考题410. （2009 全国卷）曲线yx在点 1,1 处的切线方程为2x 111. （2010 江西卷）设函数2f (x) g(x) x ，曲线 y g( x) 在点 (1, g (1) 处的切线方程为y 2x 1，则曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)处切线的斜率为x12. （2009 宁夏海南卷） 曲线 y xe 2x 1在点 （0,1）处的切线方程为 。4（. 2009 浙江）（本题满分 15 分）已知函数3 2f (x)
13、 x (1 a)x a(a 2)x b (a, b R) （I）若函数 f (x) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3，求 a,b 的值；5. （2009 北京）（本小题共 14 分）设函数3f (x) x 3ax b(a 0) .（）若曲线 y f (x) 在点 (2, f ( x) 处与直线 y 8相切，求 a,b的值；.1 函数的单调性和导数1利用导数的符号来判断函数单调性 :一般地，设函数 y f (x) 在某个区间可导，如果在这个区间内f x ，则 y f (x) 为这个区间内的 ； ( ) 0 ( ) 0如果在这个区间内f x ，则 y f (x) 为这个区间内的 。 ( )
14、 0 ( ) 02利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数 f(x)的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式 f (x)0，得函数的单调递增区间；解不等式 f (x)0，得函数的单调递减区间【例题讲解】5a) 求证：3 1y x 在 ( ,0) 上是增函数。3 26xb) 确定函数 f (x)=2x +7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数 .【课堂练习】1确定下列函数的单调区间39x2+24 x (2) y=3xx3 (1) y=x已知函数 f (x) xln x ，则（ ）A在 (0, ) 上递增 B在 (0, ) 上递减C在10, 上递增 D在e10, 上递减e3
15、 x2函数 f (x) x 3 5的单调递增区间是 _函数图象及其导函数图象613. 函数 y f (x) 在定义域 3( ,3) 2内可导， 其图象如图，记 y f (x) 的导函数为 y f / (x) ，则不等式f x 的解集为 _ / ( ) 0/ ( ) 014. 函数 f (x) 的定义域为开区间3( ,3)2，导函数y f (x)f (x) 在3( ,3)2内的图象如图所示，则函数 f (x)的单调增区间是 _y15. 如图为函数3 2f (x) ax bx cx d 的图象， f (x) 为函数f (x) 的导函数，则不等式 x f ( x) 0的解集为 _ _o- 3 3x1
16、6. 若函数2f (x) x bx c的图象的顶点在第四象限，则其导函数 f (x ) 的图象是（ ）17. 函数 y f (x) 的图象过原点且它的导函数 f (x ) 的图象是如图所示的一条直线，则 y f (x) 图象的顶点在（ ）y f ( x)A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限18. (2007 年广东佛山 )设 f (x) 是函数 f (x) 的导函数 , y f (x) 的图y象如右图所示，则 y f (x)的图象最有可能的是（ ）y y yy O 1 2 x2O 1 2 x O 1 2 x O 1 xO 1 2 xA B C D19. 设函数 f (x)在定义
17、域内可导， y=f (x)的图象如下左图所示，则导函数 y=f (x)的图象可能为( )720. （安微省合肥市 2010 年高三第二次教学质量检测文科） 函数 y f (x) 的图像如下右图所示，则 y f (x) 的图像可能是 （ ）y 9. (2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科 ) 已知函数 f( x) 的导函数2f ( x) ax bx c 的图象如右图，则of( x) 的图象可能是 ( )x6. （2010 年浙江省宁波市高三“十校”联考文科） 如右图所示是某一容 器的三视图， 现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度 h 随时间 t正 视图 侧 视图 变化的可
18、能图象是（ ）h h h h俯 视图O t O t O t O t(A) (B) (C) (D)7. (2008 广州二模文、理 )已知二次函数 f x 的图象如图 1 所示 , 则其导函数 f x象大致形状是（ ）的图821. （2009 湖南卷文）若函数 y f ( x) 的 导函数 在 区 间 a, b 上是增函数， 则函数 y f (x)在区间 a,b 上的图象可能是 ( )y y yyo xa o x o x o xb ba b a b aA B C D22. （福建卷 11）如果函数 y f (x) 的图象如右图，那么导函数 y f (x) 的图象可能是 ( )23. （ 2008
19、 年福 建 卷 12) 已 知 函 数 y=f(x),y=g(x) 的 导 函数 的图象 如下图 ，那 么y=f(x),y=g(x) 的图象可能是 （ ）24. (2008 珠海一模文、理 )设 f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数，将 y f ( x) 和 y f (x) 的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）9A B C D25. ( 湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检 ) 已知函数 yy f (x) 的导函数 y f ( x) 的图像如下， 则（ ）函数 f (x) 有 1 个极大值点， 1 个极小值点函数 f (x) 有 2 个极大值点， 2 个极小值点函数
20、f (x) 有 3 个极大值点， 1 个极小值点函数 f (x) 有 1 个极大值点， 3 个极小值点x x2 x3O x41x26. (2008 珠海质检理 ) 函数 f (x) 的定义域为 (a, b) ，其导函数 f (x)在(a,b) 内的图象如图所示，则函数 f (x) 在区间 (a,b)内极小值点的个数是（ ）(A). 1 (B). 2 (C). 3 (D). 427. 【湛江市 文】 函数12f (x) ln x x 的图象大致是2yy y yO xO xOx x OA B C D 228. 【珠海 文】如图是二次函数 f (x) x bx a 的部分图象，则函数 g (x) l
21、n x f (x) 的零点所在的区间是 （ ）1 1 1A. ( , ) B. ( ,1)4 2 2C. (1,2 ) D. ( 2,3)29. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) 1 f (x) 为 f (x) 的导函y数，已知函数 y f (x) 的图象如右图所示 .若两正数 a, b满足f (2a b) 1，则ba22的取值范围是 （ ）Ox10A 1 1( , ) 3 2B1( , ) 3, 2C1( , 3) 2D ( , 3)30. 已知函数3 2f ( x) ax bx cx在点x 处取得极大值 5 ，0其导函数 y f (x) 的图象经过点 (1,0) ， (2,0) ，如图所示. 求：（）x 的值；0（） a,b, c 的值 .11
