1、高中数学课本回归（1）第一章、集合一、基础知识（理解去记）定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，分别表示有理数集和正实数集。定义
2、2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。便于理解：包含两个意思：A与B相等 、A是B的真子集定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。定义6 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定义7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点 对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素，必须是确定的对于集合和元素，要么，要么，二者必居其一比如：“所有大于100的
3、数”组成一个集合，集合中的元素是确定的而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素如：由，组成一个集合，则的取值不能是或1（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分如：由组成一个集合，也可以写成组成一个集合，它们都表示同一个集合帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意与的区别是集合的一个元素，而是含有一个元素的集合，二者的关系是（2）注意与的区别是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合（3）在用列举法表示集合
4、时，一定不能犯用实数集或来表示实数集这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合中的元素是，这个集合表示二元方程的解集，或者理解为曲线上的点组成的点集；集合中的元素是，这个集合表示函数中自变量的取值范围；集合中的元素是，这个集合表示函数中函数值的取值范围；集合中的元素只有一个（方程），它是用列举法表示的单元素集合（4）常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。集合穿针 转化引线（最新）一、集合与常用逻辑用语3.若，则是
5、的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件4.若，则“”是“方程表示双曲线”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件二、集合与函数5.已知集合，那么等于（）（A）（0，2），（1，1）（B）（0，2），（1，1）（C）1，2 （D）第二章、函数一、基础知识（理解去记）定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: AB为一个映射。定义2 函数，映射f: AB中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若xA, yB，且f(x)=y（即x对应
6、B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为x|x0,xR.定义4 函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2I并且x1 x2，总有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的xD，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关
7、于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义5 如果实数ab，则数集x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b），集合x|axb,xR记作闭区间a,b，集合x|axb记作半开半闭区间（a,b，集合x|axa记作开区间（a, +），集合x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义6 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x
8、)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。一、基础知识（初中知识 必会）1二次函数：当0时，称为关于x的二次函数，其对称轴为直线，另外配方可得。2二次函数的性质：当a0时，f(x)的图象开口向上，在区间（
9、-，x0上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0时，方程有两个不等实根，设x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别是x|xx2和x|x1xx2，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）当=0时，方程有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分别是x|x和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3）当0时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公
10、共点。当a0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a0)，当x0m, n时，f(x)在m, n上的最小值为f(x0); 当x0n时，f(x)在m, n上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意： “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为
11、结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。15常用结论。定理2 若a,bR, 则a2+b22ab；若x,yR+,则x+y第三章、基本初等函数一、基础知识（必
12、会）1指数函数及其性质：形如y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+），当0a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2分数指数幂：。3对数函数及其性质：形如y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为R，图象过定点（1，0）。当0a1时，y=logax为增函数。4对数的性质（M0, N0）；1） x=logaM(a0, a1)；2）loga(MN)= loga M+ loga N；3）loga（）= loga M- loga N； 4） 5）loga =loga M；6）; 7) loga b=(a,b,c0, a
13、, c1).5. 函数的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请同学自己用定义证明）6连续函数的性质：若ab, f(x)在a, b上连续，且f(a)f(b)0，则Ax+By+C0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C0)。其圆心为，半径为。若点P(x0, y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为 11.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.13.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:;.其中.14.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，;.15.圆的切线方程(1)已知圆若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是当圆外时
14、, 表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线(2)已知圆过圆上的点的切线方程为;斜率为的圆的切线方程为.16.直线的方程及其位置关系（1）直线的倾斜角的取值范围是 。（2）两条直线的夹角的取值范围是 。 （3）两个平面的夹角的取值范围是 。 (4) 两个平面的所成的角的取值范围是 。（5）直线与平面所成的角的取值范围是 。 （6）两个向量的夹角的取值范围是 。 (7)两异面直线所成的的取值范围是 .四基本方法和数学思想1.设三角形的三个顶点是A（x1,y1）
15、、B(x2,y2)、C（x3,y3）,则ABC的重心G为（）；2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0；3.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C0且B=0且D2+E24AF0；5.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2;6.以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0;回归课本(4)三角函数一考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的
16、三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.二考试要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用
17、三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(鵻+)的简图，理解A,的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctanx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方法，一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角函数的基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值等为考查热点.三基础知识:1.任意角2.与角终边相同
18、的角的集合3.弧长公式；扇形面积公式（其中为圆心角的弧度数，为圆心角的度数）4、弧度与角度换算：1度/180 弧度 ( 0.017453弧度 )；1弧度180/ （57.3）11.任意角的三角函数设是一个任意角，的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=0），则sin=，cos=，tan=.上述三个比值不随点P在终边上的位置改变而改变.2.同角三角函数关系式sin2+cos2=1（平方关系）；=tan（商数关系）；tancot=1（倒数关系）.3.正弦、余弦的诱导公式(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数) 4.和角与差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(辅助角所在象限由点的象
19、限决定, ).5.二倍角公式 .7.三角函数的周期公式 函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0，0)的周期；函数，(A,为常数，且A0，0)的周期.2三角函数定义域与值域函 数定 义 域值 域3特殊三角函数值0sin010cos100tan01无0无三三角函数的基本性质1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三角函数的单调区间的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3.函数最大值是，最小值是，叫振幅，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。8.正弦定理.9.余弦定理;.10.面积定理（1）（分别表示a、b
20、、c边上的高）.（2）.(3).11.三角形内角和定理 在ABC中，有. 12.三角形中的诱导公式在ABC 中 四基本方法和数学思想1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；5.正弦型函数的对称轴为；对称中心；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；6.（1）正弦平方差公式：sin2Asin2B=sin(A+B)sin(A
21、B);（2）三角形的内切圆半径r=；（3）三角形的外接圆直径2R=高中数学课本回归（5）复 数 1. 复数的单位为i，它的平方等于1，即.复数及其相关概念： 复数形如a + bi的数（其中）； 实数当b = 0时的复数a + bi，即a； 虚数当时的复数a + bi； 纯虚数当a = 0且时的复数a + bi，即bi. 复数a + bi的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） 复数集C全体复数的集合，一般用字母C表示.两个复数相等的定义：.两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若为复数，则若，则.（）为复数，而不是实数若，则.（）若，则是的必要不充分条件.（当，时
22、，上式成立）2. 复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.4 复数的乘方：对任何，及有 注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的. 当为虚数时，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.常用的结论： 5. 复数是实数及纯虚数的充要条件：.若，是纯虚数.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：. 回归课本(6)导数一基础知识:1.在处的导数（或变化率或微商）.2.瞬时速度.3.瞬时加速度.4.在的导数.5. 函数在点处
23、的导数的几何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.6.几种常见函数的导数(1) （C为常数）. (2) . (3) .(4) . (5) ；. (6) ; .7.导数的运算法则（1）.（2）.（3）.8.复合函数的求导法则 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.10.判别是极大（小）值的方法当函数在点处连续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.二基本方法和数学思想1.导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作；2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量（2）(
24、2)求平均变化率; （3）取极限,得导数;3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续；但是y=f(x)在点x0处连续却不一定可导；4.导数的几何意义：曲线yf（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是相应地，切线方程是5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数yf（x）在某个区间内可导，如果那么f(x)为增函数；如果那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数；（2）求可导函数极值的步骤：求导数；求方程的根；检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数
25、y=f(x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求y=f(x)在(a,b)内的极值；将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值6导数与函数的单调性的关系与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要条件。时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。当时，是为增函数的充分必要条件。与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分
26、条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。高中数学课本回归（7）不等式1、基 本不等式定理2.解不等式(1)一元一次不等式(2)一元二次不等式：(3)解分式不等式：(4)解含参数的不等式： 注:解形如ax2+bx+c0的不等式时分类讨 论的标准有：1、 讨论a 与0的大小；2、讨论与0的大小；3、讨论两根的大小；(5)一元二次方程根的分布问题：方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、区间端点的函数值四个角度列出不等式组(6)解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域（注意直线的虚实）；第二步：找到目标函数的几何意义（截距、斜率、圆的半径）第三步：在可行域内找到最优解所对应的点；第四步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。高中数学课本回归（8）数列1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函数，如果数列的第n项与n之间的
