1、一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第十章 解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱轴的柱面面求其体积求其体积.“分割分割,近似替换近似替换,求和求和
2、,取极限取极限”D),(yxfz D),(yxfz 1)“分割分割”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域nnDDD,2121小区域的面积为以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“近似替换近似替换”在每个在每个kD,),(kk3)“3)“求和求和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2,1(),(nkfVkkkk则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体k),(kk4)“4)“取极限取极限”的直径为定义kDkkD,PPPPDd2121max)(令令)(max1knkDdnkkkkfV10),(lim),(yxfz),(kkfk),(kk有一个
3、平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,),(Cyx计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度度为为),(),(常数若yx设设D 的面积为的面积为 ,则则M若若),(yx非常数非常数,仍可用仍可用其其面密面密“分割分割,近似替换近似替换,求和求和,取极限取极限”解决解决.1)“分割分割”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域 DK，小区域的面积分，小区域的面积分别是别是,21n相应把薄片也分为相应把薄片也分为n个小薄片个小薄片.Dyx2)“近似替换近似替换”中中任取任取一点一点kD在每个),(kk3)“求和求和”nkkMM1nkkkk1),(4
4、)“取极限取极限”)(max1knkDd令nkkkkM10),(limk),(kk),2,1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量yx两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同（乘积的和式的极限）（乘积的和式的极限）“分割分割,近似替换近似替换,求和求和,取极限取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:定义定义:),(yxf设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nkDk任取任取一点一点,),(kkkD若存在一
5、个常数若存在一个常数 I,使使nkkkkfI10),(lim可积可积,),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在在D上的上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和积分和Dyxfd),(积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的上的有界函数有界函数,DyxfVd),(引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,),(yxf也常也常d,ddyx二重积分记作二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时这时分区域分区域D,因
6、此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(若函数若函数),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(在在D上可积上可积.限个限个点点或有限个或有限个光滑曲线光滑曲线外都连续外都连续,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上上连续连续,则则若若有界函数有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上上除去有除去有 例如例如,yxyxyxf22),(在在D:10 x10 y上二重积分存在上二重积分存在;yxyxf1),(但在在D 上上 y1xo1D二重积分不存在二重积分不存在.Dyxfkd),(.1(k 为
7、常数为常数)Dyxgyxfd),(),(.221d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxf,1),(.4yxfD上若在DDdd1 为为D 的面积的面积,则则),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(特别特别,由于由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在若在D上上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为的面积为 ,MyxfmDd),(则有则有7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(f
8、dyxfD证证:由性质由性质6 可知可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此d)(,d)(32DDyxyx其中其中2)1()2(:22yxD解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2)1()2(22yx它与它与 x 轴交于点轴交于点(1,0),.1相切与直线 yx而域而域 D 位位,1 yx从而从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方于直线的上方,故在
9、故在 D 上上 1y2xo1D10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解:D 的面积为的面积为200)210(2由于由于yx22coscos1001积分性质积分性质5100200I102200即即:1.96 I 210101010D10011021xyoxyo D),(yxfD 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,),(),()1(yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍1D在在 D 上上d),(21Dyxf在闭区域在闭区域D上连续上连续,域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分,则有则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0（即关于（即关于y=0对称）对称）1.二重积分的定义二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算 与薄板质量的计算与薄板质量的计算二重积分法二重积分法
