1、 二次函数的应用（几何） 一、选择题 1. （2011 山东莱芜，9，3 分）如图，在平面直角坐标系中，长为 2，宽为 1 的矩形 ABCD 上有一动点 P，沿 ABCDA 运动一周，则点 P 的纵坐标 y 与 P 走过的路程 s 之间 的函数关系式用图像表示大致是 （ ） y x （第第9题图题图） P D CB A 1 2 123 o 2. （2011 北京市，8，4 分） 如图在 RtABC中，90ACB，30BAC，AB2， D是AB边上的一个动点 （不与点A、B重合） ， 过点D作CD的垂线交射线CA于点E 设 A D x ，CEy，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是(
2、) E C A BD 【答案】B 3. （2011 湖南岳阳，8,3 分）如图，边长都是 1 的正方形和正三角形，其一边在同一水平 线上，三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形设穿过的时间为 t，正方形与三角形生 命部分的面积为 S（空白部分） ，那么 S 关于 t 的函数大致图象为（ ） ABCD 【答案】B 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 二、填空题 1. （2011 云南玉溪，15，3 分）如图，点A1、A2、A3、An在 2 yx 上，点B1、 B2、B3、Bn在x轴上，若A1B0B1、A2B1B2、AnBn-1Bn都为等腰直角三角 形（点B0是坐标原点） ，则A2011B2
3、010B2011的腰长=_. 【答案】2011 2. 2. （2011 广西百色，20,3 分）如图，点 C 是O 优弧 ACB 上的中点，弦 AB=6cm，E 为 OC 上任意一点，动点 F 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿 AB 方向响点 B 匀速运动， 若 y=AEEF,则 y 与动点 F 的运动时间 x（0x6 ）秒的函数关系式为 . 【答案】 ：y=x26x18. S t O S t O S t O S t 3. 4. 5. 三、解答题 1. （2011 福建泉州，26，14 分）如图 1，在第一象限内，直线mxy 与过点 B（0，1） 且平行于x轴的直线l相交于点 A，半径
4、为r的Q 与直线mxy 、x轴分别相切于点 T、 E，且与直线l分别交于不同的 M、N 两点. （1）当点 A 的坐标为 p, 3 3 时，填空：p ，m ，AOE= ； 如图 2，连结 QT、QE，QE 交 MN 于点 F，当r=2 时，试说明：以 T、M、E、N 为顶点的四 边形是等腰梯形； （2）如图 1 中，连结 EQ 并延长交Q 于点 D，试探索：对rm,的不同取值，经过 M、D、 N 三点的抛物线cbxaxy 2 ，a的值会发生变化吗？若不变，求出a的值；若变化， 请说明理由. 【答案】解： （1）, 3, 1mpAOE=60； 解法一：连结 TM、ME、EN，NQ、MQ（如图 1
5、） OE 切于点 E，lx轴 OEQ=QFM=90，且 NF=MF 又QF=21=1=EF，四边形 MENQ 是平行四边形，QNME 在 RtQFN 中，QF=1，QN=2，FQN=60 依题意，在四边形 OEQT 中，TOE=60，OTQ=OEQ=90，TQE=120 TQE+NQE =180，T、Q、N 在同一直线上 METN，METN，且TMN=90，又TNM=30，MT=2. 又 QE=QN=2，EQN 为等边三角形，EN=2，EN=MT，四边形 MENT 是等腰梯形. 注：也可证明MTN=ENT=60. 解法二：连结 TM、ME、EN、NQ，并连结 OQ 交直线l于点 P， （如图
6、2）易证OQE=60. 在 RtQPF 中，QF=1，QP=2，点 P 在O 上，点 P 与点 M 重合，即 O、M、Q 在同一直线上，易证QME 和QTM 都是等边三角形，TQM=QME=60，TQME. 同解法一易证QEN 是等边三角形，MT=NE=2，且TQM+MQE+EQN =180. T、Q、N 在同一直线上，METN，METN，四边形 MENT 是等腰梯形. （2）解法三：连结 TM、ME、EN、NQ，并连 OM、OQ，过 M 作 MHx轴于点 H（如图 3） 易证：EOQ=30，TQO=EQNO=60，OE=32，又MH=FE=1，在 RtQFN 中，FN=3=MF=HE，OH=
7、233=3. 在 RtOMH 中，tanHOM= 3 3 3 1 OH MH ，HOM=30，点 O、M、Q 在同一 直线上. 同解法二证 METN 及 TM=NE（略）. （2）解法一：a的值不变，理由如下：如图，DE 与 MN 交于点 F，连结 MD、ME， DE 是O 的直径，DME=90，又MFD=90，MDE=EMN，tan MDE=tanEMN ， FM EF FD FM ，即FEFDFM 2 （1） （注：本式 也可由MDFEMF 得到） 在平移过程中，图形的形状及特征保持不变，抛物线cbxaxy 2 的图象可通过 kaxy 2 的图象平移得到. 可以将问题转化为：点 D 在y轴
8、上，点 M、N 在x轴上进行探索（如图 4） 由图形的对称性可得点 D 为抛物线顶点，依题意，得，设 D（0，k） （012 rk） ，M （ 1 x，0） ，N（ 2 x，0） （ 1 x 2 x） ，则经过 M、D、N 三点的抛物线为kaxy 2 （0a） 当0y时， 1 x、 2 x为0 2 kax的两根，解得 a k x 2, 1 ，MF=NF= a k ，代 入（1）式得1 2 k a k ，k a k ，又0k，1a，故a的值不变. 解法二：a的值不变，理由如下： 同解法一有：FDFEMF 2 （1） 如图 5，由图形的对称性可得点 D 为抛物线的顶点，设12, 0.,rkhkhD
9、，则 0 2 akhxay 同解法一，当1y时，1 2 khxa，解得 a k hx a k hx 1 , 1 21 a k a k h a k hMN 1 2 11 MF=NF= 2 1 MN= a k1 ， 代入 （1） 式得11 1 2 k a k ， 1 1 k a k ， 又1k， 1a，故a的值不变. 2. （2011 广东珠海，22，9 分） （本题满分 9 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC， ABBC，AD=AB=1，BC=2. 将点 A 折叠到 CD 边上，记折叠后 A 点对应的点为 P（P 与 D 点不重合） ，折痕 EF 只与边 AD、BC 相交，交点分别为
10、E、F.过 P 作 PNBC 交 AB 于 N、交 EF 于 M，连结 PA、PE、AM、 ，EF 与 PA 相交于 O. 第22题 F N E M O B A D C P （1）指出四边形 PEAM 的形状（不需证明） ； （2）记EPM=，AOM、AMN 的面积分别为 S1、S2. 求证： 2 tan 1 S = 8 1 PA2； 设 AN=x，y= 2 tan 21 SS ，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值 范围. 【答案】 （1）四边形 PEAM 为菱形. G K （2）证明：四边形 PEAM 为菱形.MNP= 2 1 ，S1= 2 1 OAOM. 在 RtAOM 中
11、，tan 2 = OA OM , 2 tan 1 S = OA OM OMOA 2 1 = 2 1 OA2 = 2 1 （ 2 1 PA） 2= 8 1 PA2 过点 D 作 DHBC 于 H，DKPN，BH=AB=AD=DH=1，DK=AN=x. CH=BCBH=21=1，CH=DH.NPD=BCD=45，PK=DK=x.PN=X+1. 在 RtANP 中，AP2=AN2+PN2=x2+（x+1） 2=2x2+2x+1.过 E 作 EGPM 于 G，设EGM 的面积为 S.EGMAOM， 1 S S = 2 AO EG = 2 2 4 1 AP x = 2 2 4 AP x . S= 2 2
12、 4 AP x S1. 四边形 ANGE 的面积等于菱形 AMPE 的面积，2S1=S2+S. S1S2=S-S1= 2 2 4 AP x S1-S1=（ 2 2 4 AP x -1）S1. y= 2 tan 21 SS =（ 2 2 4 AP x -1） 2 tan 1 S =（ 2 2 4 AP x -1） 8 1 AP 2= 8 1 （4x 2-AP2）= 8 1 （4x 22x22x1）. y= 4 1 x 2 4 1 x 8 1 . 当点 E 和点 D 重合时，则菱形的边长为 1，x= 2 2 ，根据题意得，0x 2 2 ，当 x=0 时， y= 8 1 ；当 x= 2 2 时，y=
13、 8 2 . 又y= 4 1 x 2 4 1 x 8 1 = 4 1 （x 2 1 ） 2 16 3 y最小值= 16 3 ， 16 3 y 8 1 3. （2011 贵州毕节， 27， 15 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线)0( 2 acbxaxy 的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点，且与y轴交于D(0,3)，直线l是抛物线的对称轴。 (1) 求该抛物线的解析式。(3 分) (2) 若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为 6，求此 直线的解析式。(4 分) (3) 点P在抛物线的对称轴上，P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标。(8 分) 【
14、答案】 （1）抛物线)0( 2 acbxaxy的图象经过 M(1,0)和 N(3,0)两点 可设抛物线的解析式为(1)(3)ya xa 与y轴交于D(0,3) 把D点坐标代入(1)(3)ya xa 得a=1 2 43yxx （2）设 AB 所在直线的解析式为：ykxb，抛物线的对称轴与x轴的 交点为E，则AE=3 当点 B 在x轴的上面，如图： 抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为 6 BE=4 B（2，4） 42 0 kb kb 4 3 4 3 k b 44 33 yx 0 A M N D y x l 当点 B 在x轴的下面，如图： 抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为 6 BE=4 B
15、（2，-4） 42 0 kb kb 4 3 4 3 k b 44 33 yx （3）过点P作PFAB于点F，设半经PE=PF=r 当点 B 在x轴的上面 如图 1 BB BEABFP90 BPFBAE PBAB PFAE 即： 45 3 r r 3 2 r 0 A M N D y x l B E 0 A M N D y x l B E 点P的坐标为（2， 3 2 ） 如图 2 BB BEABFP90 BPFBAE PBAB PFAE 即： 45 3 r r 6r 点P的坐标为（2，-6） 0 A M N D y x l B E P F 图 1 当点 B 在x轴的下面，同理可得点P的坐标为（2，
16、 3 2 ）和（2， 6） 综上所述，点P的坐标为（2， 3 2 ） 、 （2， 3 2 ） 、 （2，-6） 、 （2，6） 4. （2011 海南省，24，14 分）如图 11，已知抛物线 22 9bbxxy(b为常数)经过 坐标原点O，且与x轴交于另一点E，其顶点M在第一象限 （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的 平行线交该抛物线于另一点D，再作ABx轴于点B，DCx轴于点C 当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长； 求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标； 当矩形ABC
17、D的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断并说明理 由 0 A M N D y x l B E F P 【答案】解： （1）抛物线过原点，所以 9b2=0 解得b=3，对称轴在 y 轴右侧，a，b异号 a=10，b=3 抛物线解析式为xxy3 2 （2）抛物线顶点M（ 2 3 ， 4 9 ） 要使AB为整数，AB=1 或AB=2 当AB=1 时，BC为无理数，故AB=2 把y=2 代入xxy3 2 解得x1=1，x2=2 BC=21=1 l矩形ABCD=2+1+2+1=6 设A（x0， 0 2 0 3xx） ，矩形ABCD周长为l，则C（ 0 3x，0） )3(2)3(2 00
18、0 2 0 xxxxl =622 0 2 0 xx = 2 13 ) 2 1 (2 2 0 x 所以当 2 1 0 x时，l最大= 2 13 此时 4 5 3 0 2 0 xx 所以A（ 2 1 ， 4 5 ） 设矩形ABCD的面积为S S=)23)(3( 00 2 0 xxx=)23)(3( 000 xxx 当 2 1 0 x，S= 2 5 ； 而当6 . 0 0 x时，S=2.592 2 5 所以当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不是最大值 5. （2011 湖北随州，24，14 分） 如图所示， 过点F （0， 1） 的直线 y=kxb 与抛物线 2 1 4 yx 交于 M（x1
19、，y1）和 N（x2，y2）两点（其中 x10，x20） 求 b 的值 求 x1x2的值 分别过 M、N 作直线 l：y=1 的垂线，垂足分别是 M1、N1，判断M1FN1的形状， 并证明你的结论 对于过点 F 的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使 m 与以 MN 为直径的圆相 切如果有，请法度出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由 【答案】解：b=1 显 然 1 1 xx yy 和 2 2 xx yy 是 方 程 组 2 1 1 4 yk x yx 的 两 组 解 ， 解 方 程 组 消 元 得 2 1 10 4 xkx ，依据“根与系数关系”得 12 x x=4 F F M
20、M N N N N1 1 MM1 1 F F1 1 O O y y x x l l 第 24 题解答用图 P P Q Q F F MM N N N N1 1 MM1 1 F F1 1 O O y y x x l l 第 24 题 M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下： 由题知 M1的横坐标为 x1，N1的横坐标为 x2，设 M1N1交 y 轴于 F1，则 F1M1F1N1=x1 x2=4，而 FF1=2，所以 F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F=FF1N1=90，易证 RtM1FF1 RtN1FF1，得M1FF1=FN1F1，故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1 F1
21、FN1=90，所以M1FN1是直角三角形 存在，该直线为 y=1理由如下： 直线 y=1 即为直线 M1N1 如图，设 N 点横坐标为 m，则 N 点纵坐标为 2 1 4 m,计算知 NN1= 2 1 1 4 m ， NF= 222 1 (1) 4 mm 2 1 1 4 m ，得 NN1=NF 同理 MM1=MF 那么 MN=MM1NN1， 作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ， 由中位线性质知 PQ= 1 2（MM 1NN1） = 1 2 MN，即圆心到直线 y=1 的距离等于圆的半径，所以 y=1 总与该圆相切 6. （2011 辽宁大连，24,11 分）如图 12，在平面直角坐标系中，点
22、A、B、C的坐标分别 为（0，2） 、 （1，0） 、 （4，0） P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合） ，过 点P的直线xt与AC相交于点Q 设四边形ABPQ关于直线xt的对称的图形与QPC 重叠部分的面积为S （1）点B关于直线xt的对称点B的坐标为_； （2）求S与t的函数关系式 【答案】 （1）设B的坐标为（m，0） 点B与 B关于直线xt 1ttm 12 tm B的坐标为（2t1，0） （2）当5 . 10 t时， AC：2 2 1 xy AB：242txy 242 2 2 1 txy xy 解得 2 3 4 3 8 ty tx D(t 3 4 ，2 3 4 t) 过点 D
23、 做 DNPC于 N 2 3 4 tDN，BC4（2t+1）32t，PC4t，PQ 1 2 PC 1 2 （4t） D B P Q A B C O x y N A 图 12 A B C O x x y 图 12 SSPQCSCBD 1 2 PCPQ 1 2 BCDN 1 2 1 2 （4t） 21 2 （32t） （ 4 2 3 t） 12 12 13 2 tt 当45 . 1 t时， SSPQC 1 2 PCPQ 1 2 1 2 （4t）2 1 4 t22t+4 7. （2011 广东深圳，23,12 分）已知抛物线 2 yaxbxc的顶点 C 的坐标是（1,4） ， 图象与x轴交于A，B.
24、其中B点坐标为（3,0）.点D是抛物线与y轴的交点. （1） 求抛物线的解析式. （2） 如图，点 E 为抛物线上一点，直线 AE 交 y 轴于点 F。PQ 为抛物线的对称轴，G 为 PQ 上的动点，则 x 轴上是否存在 H，使得四边形 DGHF 周长最小. （3） 在抛物线上是否存在一点 T,过 T 做 x 轴的垂线，垂足为 M。过点 M 作 MNBD， 交 AD 于点 N，连接 MD，使DNMBMD，若存在，求点 T 的坐标. 【答案】 （1）如图 5，设函数的解析式为 2 (1)4ya x 由于(3,0)B在抛物线上，则 2 (3 1)40a 1a，故 2 (1)4yx ，即 2 23y
25、xx 为所求 (2) 如图 6。易知E点是点D关于直线PQ的对轴点， 作点F关于x轴对轴的点F，连接 F E，与x轴交于H，与PQ交于点G，连接 ,FH HG GD，则此时DFFHHGGD最小，且 DFFHHG GDDFF HHG GEDFF E 易求点(2,3)E，:1 AE lyx，则(0,1),(0, 1)FF，故 222 F EDFDE A B P Q A B C O x y 图 12 2 2 5F E ，故四边形DFHG的最小周长是22 5DFF E （3）如图 7 设( ,0)M a,3 2BD ,1AMa, 22 9DMa;由AMNABD有：MN AM BDAB (1)3 2 4
26、 AM BDa MN AB ；由DNMBMD有: 2 DMMN DB, 2 (1)3 2 93 2 4 a a 解之得： 12 3 ,3 2 aa（舍去） ，故 3 ( ,0) 2 M 3 15 ( ,) 24 T为所求。因此，存在这样的点T，使DNMBMD， 3 15 ( ,) 24 T 8. （2011 山西，26，14 分）（本题 14 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，直线l经过O、C两点，点 A 的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4）， 动点P在线段OA上从点O出发以每秒 1 个单位的速度向点A运动， 同时动点Q从点A出 发以每秒 2 个单位的速度沿A
27、 B C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴， 与折 线OCB相交于点M，当 P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设 点P、Q运动的时间为t秒（t 0），MPQ 的面积为S. （1）点C的坐标为_，直线l的解析式为_； （2）试求点Q与点M相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的t的取值范围. （3）试求题（2）中当 t 为何值时，S的值最大，并求出 S 的最大值. x y BA D C O 图 5 图 6 x y T N BA D C OM 图 7 （4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段BC上运动时，设PM的延长线与直线l相交 于点N.试探究：当 t 为何值时，Q
28、MN为等腰三角形？请直接写出t的值. 【答案】（1）（3,4）；xy 3 4 . （2）根据题意，得OP= t，AQ=2 t，分三种情况讨论： 当 00，得 S=4+2n4，故 n=2 2 S 因为点 E（t，n）在抛物线上，所以有 ntt2 2 7 2 1 2 代入 n=2 2 S ， 得 t27t+S=0 方程判别式=494S 当=0 时，得 S= 4 49 ，n= 8 33 ，此时方程只有一解，故满足条件的点 E 只有一个，位于 抛物线的顶点处. 当0 时，S 4 49 ，又 S4，所以 4 S 4 49 ，此时点 E 的情况如下：设 B为抛物线 上点 B 的对称点，当 S=6 时，由
29、t27t+6=0，得 t=1 或 6，n=2 2 S =1，此时点 E 的坐标 为（1，1）或（6，1） ，即满足条件的点 E 与点 B或点 B 重合. 当 6S 4 49 时0 成立，方程有两个不同的值，此时 1n 8 33 ，故满足条件的点 E 在直线 BB上方的抛物线上（不含顶点） 所以当 6S 4 49 时，满足条件的点 E 有两个 当 4S6 时，0，方程有两个不同的解，此时 0n1，即满足条件的点 E 只能在 点 H 与点 B之间的抛物线上. 故此时满足条件的点 E 只有一个. 30. （2011 吉林长春，26，10 分）如图，C=90，点 A、B 在C 的两边上，CA=30，
30、CB=20，连结 AB点 P 从点 B 出发，以每秒 4 个单位长度的速度沿 BC 方向运动，到点 C 停止当点与、两点不重合时，作 PDBC 交 AB 于 D,作 DEAC 于 EF 为射线 CB 上一点，且CEF=ABC D O C H A B x y A C P E 设点的运动时间为x（秒） （1）用含x的代数式表示 CE 的长 （2 分） （2）求点与点 B 重合时x的值(2 分) （3）当点 F 在线段 CB 上时,设四边形 DECP 与四边形 DEFB 重叠部分图形的面积为 y(平 方单位)求 y 与x之间的函数关系式(3 分) （4）当x为某个值时，沿 PD 将以 D、E、F、B
31、 为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用 这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形 请直接写出所有符合上述条件的x的 值（3 分） F E D A CBP 【答案】26解： （1）PDBC, DEAC 且C=90 四边形 DECP 为矩形,DEPC DPEC 又CEF=ABC ，ABCDBPFEC FCDPAC ECBPBC 又CA=30，CB=20，BP=4x, 30 420 FCDP ECx 9 ,6FCx DPECx （2）当点与点 B 重合时，FCBC920x解得 20 9 x O F E D A CBP F E D A CBP （3）当 20 0 13 x 时 20 9420 1
32、3FPBCFCPBxxx 20 4DEPCBCPBx 20420 136 22 xxxDEFP DP S 340 17xx= 2 12051xx （4） 20405 , 19172 xxx 31. （2011泸州，27,10 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点坐标为错误错误! !未找到未找到 引用源。引用源。 ，且错误错误! !未找到引用源。未找到引用源。 （1）若该函数的图象经过点（1，1） 求使 y0 成立的 x 的取值范围 若圆心在该函数的图象上的圆与 x 轴、y 轴都相切，求圆心的坐标 （2）经过 A（0，p）的直线与该函数的图象相交于 M，N 两点，过 M，N 作
33、x 轴的垂线， 垂足分别为 M1，N1，设MAM1，AM1N1，ANN1的面积分别为 s1，s2，s3，是否存 在 m，使得对任意实数 p0 都有 s22=ms1s3成立，若存在，求出 m 的值，若不存在，请 说明理由 F E D A CBP 【答案】解答：解： （1）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点坐标为错误错误! !未找到引用源。未找到引用源。 ， 且错误错误! !未找到引用源。未找到引用源。 ， 又函数的图象经过点（1，1） ， 代入二次函数解析式得： 错误错误! !未找到引用源。未找到引用源。 ， 解得：错误错误! !未找到引用源。未找到引用源。 ， y=错误错误! !未找
34、到引用源。未找到引用源。x2错误错误! !未找到引用源。未找到引用源。 ， 利用函数图象可知使 y0 成立的 x 的取值范围是：全体实数； 若圆心在该函数的图象上的圆与 x 轴、y 轴都相切， 假设与 x 轴切点为 Q，与 y 轴切点为 F， OQ=FO， x=错误错误! !未找到引用源。未找到引用源。x2错误错误! !未找到引用源。未找到引用源。 ， 整理得：x22x+1=0， 解得：x1=x2=1， QO=FO=1， 圆心的坐标为： （1，1）或（1，1） ； （2）存在 m，使得对任意实数 p0 都有 s22=ms1s3成立 32. (2011山东淄博， 24， 9分)抛物线 2 yax
35、bxc与y轴交于点(0, 2)C， 与直线yx 交于点( 2, 2)A ，(2,2)B (1)求抛物线的解析式； (2)如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合） ，且 2MN ，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N 作x轴的垂线与抛物线交于点Q.以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边 形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由 【解】 （1）抛物线 2 yaxbxc过点(0, 2)C， 可得2c 把点( 2, 2)A ，(2,2)B代入2 2 bxaxy，整理得 . 424 024 ba ba， 解得 1 2 a ，1b 抛物线的解析
36、式为： 2 1 2 2 yxx （2）2MN ，点A，B都在直线yx上，MN在线段AB上，M的横坐标为m 如图 1，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，它们相交于点H MHN是等腰直角三角形 MH=NH=1 点N的坐标为（1m，1m） 如图 2,当0m时，PMm， 22 11 1(1)1 2(1)2 22 NQmmmm 当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ 2 1 (1)2 2 mm 解得3 1 m（舍去） ，3 2 m 如图 3，当0m时，PMm， 22 11 1(1)1 2(1)2 22 NQmmmm 当四边形PMNQ为平行四边形时，PM=NQ， 2 1 (1)2 2 mm
37、解得72 3 m（舍去） ，27 4 m 当27 m或3m 时，以点P，M，N，Q为顶点的四边形为平行四边形 33. （2011 山东青岛， 24， 10 分）（本小题满分 12 分） 已知： 如图， 在ABC 中， AB=AC=10cm， BDAC 于 D，且 BD=8cm.点 M 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时，直线 PQ 由点 B 出发沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；运动过程中始终保持 PQAC，直线 PQ 交 AB 于 P，交 BC 于 Q，交 BD 于 F，连接 PM，设运动时间为 t(s)， （0t5）.解答下列问 题： （1）当 t
38、为何值时，四边形 PQCM 是平行四边形； （2）设四边形 PQCM 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使 S四边形 PQCM= 9 16 SABC？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理 由. （4）连接 PC，是否存在某一时刻 t，使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由. 【答案】【答案】解： （解： （1 1）假设四边形）假设四边形 PQCMPQCM 是平行四边形，是平行四边形， 则则 PMPMQC.QC. AP=AM.AP=AM. 1010t=2tt=2t，解得，解得 t=t=
39、10 3 . . 当当 t=t= 10 3 时，四边形时，四边形 PQCMPQCM 是平行四边形是平行四边形. . （2 2）过）过 P P 作作 PEPEACAC，交，交 ACAC 于于 E.E. PQPQACAC， PBQPBQABCABC， PBQPBQ 是等腰三角形，是等腰三角形，PQ=PB=t.PQ=PB=t. BFBP BDBA , ,即即 810 BFt ，解得解得 BF=BF= 4 5 t. . FD=BDFD=BDBF=8BF=8 4 5 t. . 又又MC=ACMC=ACAM=10AM=102t2t， y=y= 2 1142 ()(102 ) 8840 2255 PQMC
40、FDttttt . . 答答;y;y 与与 t t 之间的函数关系式是之间的函数关系式是 2 2 840 5 ytt. . （3 3）S SABC ABC= = 11 10 840. 22 AC BD 当当 y=y= 9 16 S SABCABC= = 945 40 162 时，时， 2 245 840 52 tt， 2 4801750tt. . 解得解得 12 535 , 22 tt（舍去）（舍去）. . 答：当答：当 t=t= 5 2 时，时，S S四边形四边形 PQCMPQCM= = 9 16 S SABCABC. . （4 4）假设存在某一时刻）假设存在某一时刻 t t，使点，使点 M
41、 M 在线段在线段 PCPC 的垂直平分线上，则的垂直平分线上，则 MP=MC.MP=MC. 过过 M M 作作 MHMHABAB，交，交 ABAB 于于 H H，由，由AHMAHMADB.ADB. HMAHAM BDADAB , ,又又 AD=AD= 22 1086 2 8610 HMAHt ， 86 , 55 HMt AHt， 即即 611 1010 55 HPttt . . 在在 RtRtHMPHMP 中，中， 22 22 81137 1044100, 555 MPtttt 又又 2 22 102100404 ,MCttt 由由 22 MPMC, , 22 37 44100100404
42、, 5 tttt 解得：解得： 12 20 ,0 17 tt（舍去）（舍去）. . 答：当答：当 20 17 t s s 时，点时，点 MM 在线段在线段 PCPC 的垂直平分线上的垂直平分线上. . 34. （2011 广西崇左，25，14 分） （本小题满分 14 分）已知抛物线y=x2+4x+m（m为常 数） 经过点（0,4）. （1） 求 m 的值； （2） 将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两 个条件：它的对称轴（设为直线 l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线 l1）关 于 y 轴对称；它所对应的函数的最小值为-8. 试求平移后的抛物线的解析
43、式； 试问在平移后的抛物线上是否存在点 P，使得以 3 为半径的圆 P 既与 x 轴相切， 又与直线 l2相交？若存在，请求出点 P 的坐标，并求出直线 l2被圆 P 所截得的 弦 AB 的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】【答案】 （1）代入（0,4）得m =4； （2）平移前对称轴l1为x= - 2，平移后对称轴l2为x= 2，最小值为-8，故抛物线方程 为y=（x-2）2-8. 设P的坐标为（x0，y0） ，则y0=-3，x0=25或y0=3，x0=211 又P到x=2 的距离小于 3，故x0=211舍去， 综上，存在这样的点P，且点P的坐标为（-3，25）. 35. （2011 广
44、西柳州,26,12 分）如图，一次函数的图像44 xy与 x 轴、y 轴分别于 A、C 两点，抛物线 y= 3 4 x2+bx+c 的图像经过 A、C 两点，且与 x 轴交于点 B。 （1） 求抛物线的函数表达式； （2） 设抛物线的顶点为 D，求四边形 ABDC 的面积； （3） 作直线 MN 平行于 x 轴，分别交线段 AC、BC 于点 M、N。问在 x 轴上是否存在点 P，使得PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的 P 点的坐标； 如果不存在，请说明理由。 【思路分析】思路分析】 （1）由44 xy求出点 A、C 坐标，代入cbxxy 2 3 4 中，求 出 b、c 的值，从而得到抛物线的函数表达式； （2）四边形 ABDC 是不规则的四边 形， 求其面积把它转化为求三角形的面积，同时还要考虑图中那些三角形的面积
