1、3.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算一、共线向量一、共线向量:零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线.1.1.共线向量共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量则这些向量叫做共线向量(或平行向或平行向量量),),记作记作ba/2.2.共线向量定理共线向量定理:对空间任意两个向量对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数使使baobba/),(,ba 推论推论:如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零向量且平行已知非零向量 的直线的直线,那么对任一点那么对任一点
2、O,O,点点P P在直线在直线 上的充要条件是存上的充要条件是存在实数在实数t,t,满足等式满足等式OP=OA+tOP=OA+t 其中向量其中向量a叫做直线的方向叫做直线的方向向量向量.llaaOABPa 若若P P为为A,BA,B中点中点,则则12 O PO AO B2.2.共面向量定理共面向量定理:如果两个向量如果两个向量 不共线不共线,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对 使使,abyx,Px ay bp,abOMabABAPp 推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充要条件是存在内的充要条件是存在有序实数对有序实数对
3、x,yx,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,O,有有 M Px M Ay M B O PO Mx M Ay M B注意：注意：空间四点空间四点P、M、A、B共面共面 存存 在在 唯唯 一一实数对实数对,xyM Px M Ay M B （）使 得(1)O Px O MyO AzO Bxyz 其其 中中，平面向量数量积的相关知识平面向量数量积的相关知识复习：复习：平面向量的夹角：平面向量的夹角：AOBAB叫做向量叫做向量 a与与 b的夹角。的夹角。已知两个非零向量已知两个非零向量 a 和和 b，在平面上取一点在平面上取一点O，作作OA=a,OB=b,则则AOB平面向量的数量积的定义：平面向量
4、的数量积的定义：平面向量的数量积平面向量的数量积已知两个非零向量已知两个非零向量a,b，则，则|a|b|cos叫做向量叫做向量a,b的数量积，记作的数量积，记作ba 即即cos|baba并规定并规定 0 0a教学过程一、几个概念一、几个概念babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向abbaba,0被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围：1 1）两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,O OA AB Baabb2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注意：注意：两个向量的
5、数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,cos,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设3 3）射影）射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，简称或在上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。作上与是，和轴已知向量BAleA1B1注意：是轴注意：是轴l l上的正射影上的正射影,A,A1 1B B1 1是一个可正可负的实数，它的
6、符号代表向是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与量与l l的方向的相对关系，大小代表在的方向的相对关系，大小代表在l l上射影的长度。上射影的长度。4)4)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 aaababaeaaea2)30)2,cos)1注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,ab5)5)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：分配律）交换律）()(3()2)()()1cabacbaabbababa数量积
7、不满足结合律数量积不满足结合律)()cbacba（二、二、课堂练习课堂练习._,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa)()4)()()3)()()()2)(0,0,01.222222qpqpqpqpqpcbacbababa则若）判断真假：三三、典型例题典型例题例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的交点为的交点为B，且且lm，ln，求证：，求证：l g=xm+yn,lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg 这就证明了直线这就证明了直线l垂直于平面垂直于平面 内的任一条内的任一条直线，所以直线，所以l n nm mgg
8、 gmnll l证明：在证明：在 内作不与内作不与m m、n n重合的任一条直线重合的任一条直线g,g,在在l l、m m、n n、g g上取非零向量上取非零向量l l、m m、n n、g g，因，因m m与与n n相交，得向量相交，得向量m m、n n不平行，由共面向量定不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（理可知，存在唯一的有序实数对（x x，y y），），使使 例例2：已知：在空间四边形：已知：在空间四边形OABC中中,OABC，OBAC，求证：，求证：OCABACOBCBOA，证明：由已知0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以A AB BC CO O
9、 OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC所以巩固练习：巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理利用向量知识证明三垂线定理PAaOAaaPAOAPAPO求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,aA AO OP P.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在例例3 3 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段，线段，线段 ，线段，线段，如，如果，求、之间的距离。
10、果，求、之间的距离。A C B DA B D D 30D B D ,A BaA CB Db CDA B 解：由，可知解：由，可知.由由 知知 .A C A CA B 30D B D ,120C AB D 22222222222|()|2222cos 120C DC D C DC AA BB DC AA BB DC A A BC A B DA B B Dbabbab 22C Dab bab CABDD例例4 4已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，,求对角线的长。求对角线的长。A B C DA B C D 4A B 3,5,90,60A DA AB A DB A AD A A A C DCBD
11、ABCA解：解：A CA BA DA A 22222222|()|2()4352(0107.5)85A CA BA DA AA BA DA AA BA DA BA AA DA A|85A C 1.1.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段，如果，求、之间的距离，如果，求、之间的距离.A BB D B DA B A C ,A BaB DbA Cc CDcab CABD解：解：22222222|()|C DC AA BB DC AA BB Dabc 222C Dabc 2.2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点。，点分
12、别是边的中点。求证：。求证：。A B C DaMN、A BC D、,M NA BM NC D NMABDC证明：因为证明：因为M NM AA DD N 所以所以222()1110244A BM NA BM AA DD NA BM AA BA DA BD Naaa M NA B 同理，同理，M NC D 3.3.已知空间四边形已知空间四边形，求证：。，求证：。,O A B CO BO CA O BA O C O AB C OACB证明：证明：()|cos|cos|cos|cos0O A B CO AO CO BO A O CO A O BO AO CO AO BO AO BO AO B O AB
13、 C 4.4.如图，已知正方体，如图，已知正方体，和和 相交于相交于点，连结点，连结 ，求证：。，求证：。A B C DA B C D C D D C OA OA OC D ODCBADABC已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的点分别是的中点，求下列向量的数量积：数量积：A B C DaEFG、A BA DD C、(1)(2)(3)A BA CA DD BG FA C ；(4)(5)(6).E FB CF GB AG E G F ；GFEABCD作业讲评作业讲评ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD)4()3()2(11.3）（计算：的中点。、分别是、，点等于的每条边和对角线长都如图：已知空间四边形
