1、光在晶体中的传播规律除了利用上述光在晶体中的传播规律除了利用上述解析方法解析方法进行进行严格的讨论外，还可以利用一些严格的讨论外，还可以利用一些几何图形几何图形描述。描述。5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中传播的几何法描述 (Geometric description of transmission of light in crystals)2223122221231xxxnnn110e220e330e 2 2 2DxDxDx 几何图形能使我们几何图形能使我们直观地看出晶体中光波直观地看出晶体中光波的各个矢的各个矢量场间的方向关系，以及与各传播方向相应的量场间的方向关系，以及与各
2、传播方向相应的光速光速或折射率的空间取值分布或折射率的空间取值分布。5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中传播的几何法描述5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中传播的几何法描述x1x2x3n1n2n3几何方法仅仅是一种几何方法仅仅是一种表示方法表示方法，它的基础仍然是上面，它的基础仍然是上面所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中传播的几何法描述人们引入了人们引入了折射率椭球、折射率曲面、波法线曲面、折射率椭球、折射率曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面菲涅耳椭球、射线曲面
3、、相速卵形面等六种三维曲面等六种三维曲面.折射率椭球折射率椭球折射率曲面折射率曲面菲涅耳椭球菲涅耳椭球射线曲面射线曲面222312e012311 (67)22DDD D1.折射率椭球折射率椭球1)折射率椭球方程折射率椭球方程由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，晶体中的电晶体中的电场储能密度为场储能密度为0iii DEe12 D1)折射率椭球方程折射率椭球方程故有故有2223120e1232 (68)DDD 222312e01231 (67)2DDD在给定能量密度在给定能量密度 e 的情况下，的情况下，该方程为该方程为D(D1、D2、D3)空间的椭球面空间的椭
4、球面。1)折射率椭球方程折射率椭球方程若令若令3121230e0e0e,222DDDxxx ，则有则有2223121231 (69)xxx2223120e1232 (68)DDD 1)折射率椭球方程折射率椭球方程或或2223122221231 (70)xxxnnn它就是在主轴坐标系中的它就是在主轴坐标系中的折射率椭球方程折射率椭球方程。对于任一。对于任一特定的晶体，折射率椭球由其光学性质特定的晶体，折射率椭球由其光学性质(主介电常数主介电常数或主折射率或主折射率)唯一地确定。唯一地确定。x1x2x3n1n2n32)折射率椭球的性质折射率椭球的性质若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量若从主轴坐标
5、系的原点出发作波法线矢量 k，再过坐，再过坐标原点作一平面标原点作一平面(k)与与 k 垂直。垂直。x3x1k2)折射率椭球的性质折射率椭球的性质(k)与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记作轴的矢径分别记作 ra(k)和和 rb(k)，则可以证明折射率则可以证明折射率椭球具有下面两个重要的性质：椭球具有下面两个重要的性质：x3x1k2)折射率椭球的性质折射率椭球的性质x3x1k与波法线方向与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光的折射率相应的两个特许线偏振光的折射率 n 和和 n，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长，分别等于这个椭圆的两
6、个主轴的半轴长，即即 ()()(71)()()abn kr kn kr k2)折射率椭球的性质折射率椭球的性质与波法线方向与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光相应的两个特许线偏振光 D 的振的振动方向动方向 d 和和 d，分别平行于，分别平行于 ra 和和 rb，即，即()()()(72)()()()aabbr kd kr kr kdkr k这里，这里，d 是是 D 矢量方向上的单位矢量矢量方向上的单位矢量。2)折射率椭球的性质折射率椭球的性质只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就可以只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就可以作出相应的折射率椭球。作出相应的折射率椭球。x3x1k从
7、而就可以通过上述的几何作图法定出与从而就可以通过上述的几何作图法定出与波法线矢量波法线矢量k 相应的两个特许线偏振光的折射率和相应的两个特许线偏振光的折射率和 D 的振动方向的振动方向。2223121231 (69)xxx现在证明上述结论现在证明上述结论:由空间解析几何理论，与波法线由空间解析几何理论，与波法线 k 垂直的中心截面垂直的中心截面(k)上的椭圆，上的椭圆，应满足下面两个方程应满足下面两个方程：x3x1k2223121231 (74)xxx1 122330 (73)x kx kx k由于椭圆的长半轴和短半轴是椭圆矢量的两个极值由于椭圆的长半轴和短半轴是椭圆矢量的两个极值,所以，可以
8、通过对满足所以，可以通过对满足(73)式、式、(74)式的式的 r2x12 x22+x32 求极值来确定求极值来确定 ra(k)和和 rb(k)。2223121231 (74)xxx1 122330 (73)x kx kx k2222123rxxx根据根据拉格朗日待定系数法拉格朗日待定系数法，引入两个乘数，引入两个乘数 2l 和和 2，构成一个函数构成一个函数:22222231212311 122332123+2()()(75)xxxFxxxx kx kx k2223121231 (74)xxx1 122330 (73)x kx kx k2222123rxxx求解求解 ra(k)和和 rb(k
9、)的问题就变成了对的问题就变成了对 F 求求极极值的问值的问题。题。而而 F 取极值的必要条件是它对取极值的必要条件是它对 x1、x2、x3 的一的一阶导数为零，即阶导数为零，即210 1,2,3 (76)iiiixxki22222231212311 122332123+2()()(75)xxxFxxxx kx kx k0iFx将将(76)式的三个式子分别乘以式的三个式子分别乘以 x1、x2、x3，然后相加，然后相加，利用利用(73)式和式和(74)式关系，得式关系，得22+0 (77)r210 1,2,3 (76)iiiixxki2223121231 (74)xxx1 1223 30 (73
10、)xkx kx k2222123rxxx22+0 (77)r2 111 112221 222331 33000 xxkxxkxxk222 111 1 11222221 222222331 3 33000 xxk xxxk xxxk x222222232 12211 1 121 2231 3 31230 xxxxk xxk xxk x1 1223 322223121222123132()()0k xk xxxkxxxxx再将再将(76)式的式的三个式子分别乘以三个式子分别乘以 k1、k2、k3，然后相，然后相加，并再次利用加，并再次利用(73)式关系，得到式关系，得到331 122121230
11、(78)x kx kx k2221231kkk210 1,2,3 (76)iiiixxki1 122330 (73)x kx kx k331 122121230 (78)x kx kx k2 111 112221 222331 33000 xxkxxkxxk22 1 11 11 112222221 22223 33 31 33000 xkxkkx kx kkx kx kk22223 32 1 12221 11 1221 23 31 31230 x kxkx kxkkx kkx kk2223 31 1221212321 12231233()()0 xkxx kxkx kxkkkkk将将(77)式
12、、式、(78)式得出的式得出的 1 和和 2 关系代入关系代入(76)式，式，可得可得22331 12212310 1,2,3 (79)iiix krx kx kxk ri22+=0 (77)r331 122121230 (78)x kx kx k210 1,2,3 (76)iiiixxki22331 12212310 1,2,3 (79)iiix krx kx kxk ri22+=0 (77)r331 122212130 (78)x kx kx k120 1,2,3 (76)iiiixxki331 122123220 1,2,3 (76)iiiix kxx kx kxki2331 12212
13、320 1,2,3 (76)iiiix kx kxxx krki这三个方程就是与这三个方程就是与 k 垂直的椭圆截线矢径垂直的椭圆截线矢径 r 为极值为极值时所满足的条件时所满足的条件,也就是椭圆两个主轴方向的矢径也就是椭圆两个主轴方向的矢径 ra和和 rb 所满足的条件所满足的条件。22331 12212310 =1,2,3 (79)iiix krx kx kxk ri22+=0 (77)r331 122121230 (78)x kx kx k将将(79)式与式与(38)式进行比较可见，式进行比较可见，二式的差别只是符二式的差别只是符号不同号不同。20()1,2,3 (38)iiiDnEk
14、k Ei22331 12212310 1,2,3 (79)iiix krx kx kxk ri 1,2,3 iiDxniD如果我们进行如下的代换：如果我们进行如下的代换：并注意到并注意到 Di/0iEi，则，则(79)式可以写成式可以写成20()1,2,3 (80)iiiDrEk k Ei22331 12212310 1,2,3 (79)iiix krx kx kxk ri123312;DDDnxnnDDxxD2231211131212310 krkkk rxxxx22331 12211112310 D krD kD kDk r111222333/;/;/oooDEDEDE 22331 122
15、1111123 D krD kD kDDk r221010 11 12233 Dr Ek rE kE kE k21011()DrEk k E这组关系式就是晶体中与这组关系式就是晶体中与 k 相应的两个特许线偏振相应的两个特许线偏振光的光的 D 矢量和折射率所遵从的关系矢量和折射率所遵从的关系(38)式。式。20()1,2,3 (80)iiiDrEk k Ei20()1,2,3 (38)iiiDnEk k Ei考虑到考虑到 x1:x2:x3D1:D2:D3和和 rn，r 的方向就是满的方向就是满足足(80)式的式的 D 方向，方向，r 的长度就是满足的长度就是满足(80)式的式的 n。1,2,3
16、 iiDxniD2222123rxxx通过中心与通过中心与 k 垂直的椭圆截面两个主轴矢径垂直的椭圆截面两个主轴矢径 ra 和和 rb 的方向的方向，就是波法线矢量为，就是波法线矢量为 k 的两个特许编振光的两个特许编振光 D 矢量的振动方向矢量的振动方向，两个半轴长，两个半轴长 ra 和和 rb 就是分别与就是分别与这两个线偏振光相应的折射率这两个线偏振光相应的折射率。1,2,3 iiDxniD/ioiiDE 22331 12212310 1,2,3 (79)iiix krx kx kxk ri20()1,2,3 (80)iiiDnEk k Ei椭球的椭球的三个半轴长分别等于三个主介电系数的
17、平方根三个半轴长分别等于三个主介电系数的平方根，其方向分别与介电主轴方向一致。其方向分别与介电主轴方向一致。2223122221231 (70)xxxnnn2223121231 (69)xxxx1x2x3n1n2n3通过椭球中心的每一个矢径方向，代表通过椭球中心的每一个矢径方向，代表 D 的一个振的一个振动方向，其长度为动方向，其长度为 D 在此方向振动的光波折射率在此方向振动的光波折射率,故故矢径可表示为矢径可表示为 rnd。所以，。所以，折射率椭球有时也称为折射率椭球有时也称为(d，n)曲面曲面。x3x1k3)利用折射率椭球确定利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法方向的几何方法
18、利用折射率椭球除了确定相应于利用折射率椭球除了确定相应于 k 的两个特许线偏的两个特许线偏振光振光 D 矢量的矢量的振动方向和折射率振动方向和折射率外，还可以借助于外，还可以借助于下述几何方法，下述几何方法，确定确定 D、E、k、s 各矢量的方向各矢量的方向。x3x1k3)利用折射率椭球确定利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法方向的几何方法D、E、k、s 矢量都与矢量都与H 矢量垂直，因而同处于一个矢量垂直，因而同处于一个平面内，平面内，这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆。x3x1kDODEB法线法线 T切平面切平面R3)利用折射率椭球确定利用
19、折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法方向的几何方法如果相应于波法线方向如果相应于波法线方向 k 的一个电位移矢量的一个电位移矢量 D 确定确定了，与该了，与该 D 平行的矢径端点为平行的矢径端点为 B，则椭球在则椭球在B 点的点的法线方向平行于与该法线方向平行于与该 D 矢量相应的矢量相应的 E 矢量方向矢量方向。ODEB法线法线 T切平面切平面R曲面曲面 f(x1，x2，x3)C 上某点处的上某点处的法线方向平行于函法线方向平行于函数数 f 在该点处的梯度矢量在该点处的梯度矢量 f。由。由(69)式，折射率椭式，折射率椭球方程可写成球方程可写成222312123123(,)1xxxf
20、 x x x所以，所以，2()1,2,3iiiixffix现证明如下：现证明如下：2223121231 (69)xxx若将若将 xiDin/D 和和iDi/0Ei代入，上式变为代入，上式变为02()=iinEfD因而因而123123():():():fffEEE2()iiiixffx0iiiiiDnxDDE这说明，与折射率椭球上某点所确定的这说明，与折射率椭球上某点所确定的 D 矢量相应矢量相应的的 E 矢量方向，平行于椭球在该点处的法线方向矢量方向，平行于椭球在该点处的法线方向。3)利用折射率椭球确定利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法方向的几何方法123123():():():
21、fffEEEODEB法线法线 T切平面切平面R几何方法几何方法：先过：先过 B 点作椭圆的切线点作椭圆的切线BT，再由，再由O 点向点向 BT 作垂线作垂线OR,则则OR 的方向即是的方向即是B 点的法线方向点的法线方向,也也就是与就是与 D 相应的相应的 E 的方向。的方向。3)利用折射率椭球确定利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法方向的几何方法ODEB法线法线 T切平面切平面R另外，过另外，过O 点作点作BT 的平行线的平行线OQ，则，则 OQ 的方向就的方向就是是s 的方向的方向，而垂直于，而垂直于OB 的方向的方向OJ 就就 k 的方向的方向。3)利用折射率椭球确定利用折射
22、率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法方向的几何方法ODEB法线法线 T切平面切平面RQJks4)应用折射率椭球讨论晶体的光学性质应用折射率椭球讨论晶体的光学性质(1)各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体(2)单轴晶体单轴晶体(3)双轴晶体双轴晶体(1)各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数 12 3,主折射率主折射率 n1n2n3n0，折射率椭球方程为折射率椭球方程为22221230 (81)xxxn这就是说，各向同性介质或立方晶体的这就是说，各向同性介质或立方晶体的折射率椭球是折射率椭球是一个半径为
23、一个半径为 n0 的球。的球。(1)各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体不论不论 k 在什么方向在什么方向,垂直于垂直于k 的中心截面与球的交线的中心截面与球的交线均是半径为均是半径为 n0 的圆，不存在特定的长、短轴，因而的圆，不存在特定的长、短轴，因而光学性质是光学性质是各向同性各向同性的。的。x3x2x1(2)单轴晶体单轴晶体在单轴晶体中，在单轴晶体中，1=2 3，或或 n1=n2=no，n3=ne no，因此折射率椭球方程为因此折射率椭球方程为222312222ooe1 (82)xxxnnn显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为 x3轴轴。x3x2x1
24、x3x2x1(2)单轴晶体单轴晶体若若 neno称为称为正单轴晶体正单轴晶体，折射率椭球是，折射率椭球是沿着沿着 x3 轴轴拉长了的旋转椭球拉长了的旋转椭球；若；若 ne no，称为，称为负单轴晶体负单轴晶体，折射率椭球是折射率椭球是沿着沿着 x3 轴压扁了的旋转椭球轴压扁了的旋转椭球。设晶体内一平而光波的设晶体内一平而光波的 k 与与 x3 轴夹角为轴夹角为 ，则过椭，则过椭球中心作垂直于球中心作垂直于 k 的平面的平面 (k)与椭球的与椭球的交线必定是交线必定是一个椭圆一个椭圆。下面讨论波法线方向为下面讨论波法线方向为 k 的光波传播特性的光波传播特性:x3x2kx1(k)nonone由于
25、旋转椭球的由于旋转椭球的 x1(x2)轴的任意性，轴的任意性，可以假设可以假设(k，x3)面为面为 x2Ox3 平面。若建立新的坐标系平面。若建立新的坐标系 Ox1x2x3，使使 x3 轴与轴与 k 重合，重合，x1 轴与轴与 x1 轴重合，则轴重合，则 x2 轴在轴在 x2Ox3 平面内平面内。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone这时，这时，(k)截面即为截面即为 x1Ox2 面，其方程为面，其方程为30 (83)x x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone新旧坐标系的变换关系为新旧坐标系的变换关系为x2x2x3x3O(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)1122332
26、3cossinsincosxxxxxxxx将上面关系代入将上面关系代入(82)式，再与式，再与(83)式联立，就有式联立，就有22222122222ooecossin1xxxnnn11223323cossinsincosxxxxxxxx222312222ooe1 (82)xxxnnn30 (83)x 其中其中oee2222oe (85)sincosn nnnn 经过整理，可得出截线方程为经过整理，可得出截线方程为221222oe1 (84)xxnn22222122222ooecossin1xxxnnn或表示为或表示为22222eoe1cossin+(86)nnn根据折射率椭球的性质，椭圆截线的
27、长半轴和短半根据折射率椭球的性质，椭圆截线的长半轴和短半轴方向就是相应于波法线方向轴方向就是相应于波法线方向 k 的两个待许线偏振的两个待许线偏振光的光的 D 矢量振动方向矢量振动方向 d 和和 d ,两个半轴的长度等两个半轴的长度等于这于这两个特许线偏振光的折射率两个特许线偏振光的折射率 n 和和 n。oee2222oe (85)sincosn nnnn 由由(84)式可见式可见,这个椭圆有一个半轴的长度为这个椭圆有一个半轴的长度为no 方向方向为为x1 轴方向轴方向.如果如果k 在在 x2Ox3 平面内平面内,不论不论 k 的方向如的方向如何，它总有一个特许线偏振光的折射率不变何，它总有一
28、个特许线偏振光的折射率不变,相应的相应的 D 方向垂直于方向垂直于 k 与与 x3 轴所构成的平面轴所构成的平面,这就是这就是o 光。光。221222oe1 (84)xxnnx3x2x2x3kx1x1(k)nonenone通过作图法，即可确定通过作图法，即可确定 o 光的光的 E D，s k。x2x1x3DeEeEoDok sosex3x2x2x3kx1x1(k)nonenone对于椭圆的另一个半轴，其长度为对于椭圆的另一个半轴，其长度为 ne，且在，且在 x2Ox3 平面上。相应于波法线方向平面上。相应于波法线方向 k 的另一个特许的线偏的另一个特许的线偏振光的振光的D矢量在矢量在(k,x3
29、)面内，面内，相应的折射率相应的折射率 ne 随随 k 的方向变化的方向变化，这就是这就是 e 光。光。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenoneoee2222oe (85)sincosn nnnn 通过作图法可以看出，通过作图法可以看出，e 光的光的 D 方向方向不在主轴方向不在主轴方向,因而因而 E 与与 D 不平行，不平行，s 与与 k 也不平行也不平行。这些结果。这些结果与解析法得到的结论完全一致。与解析法得到的结论完全一致。x2x1x3DeEeEoDok sose下面讨论两种特殊情况下面讨论两种特殊情况：0 时，时，k 与与 x3 轴重合轴重合，这时，这时，neno，中心截，中
30、心截面与椭球的截线方程为面与椭球的截线方程为222120 xxnoee2222oe (85)sincosn nnnn 23221222oo2e1 (82)xnxxnn这是一个半径为这是一个半径为 no 的圆。沿的圆。沿 x3 轴方向传播的光波折轴方向传播的光波折射率为射率为 no，D 矢量的振动方向除与矢量的振动方向除与 x3 轴垂直外，没轴垂直外，没有其它约束，有其它约束，故故 x3 轴为光轴轴为光轴。x3x2x1k222120 xxn/2 时，时，k 与与 x3 轴垂直，这时，轴垂直，这时，nene，e 光的光的D 与与 x3 轴平行。中心截面与椭球的截线方程为轴平行。中心截面与椭球的截线方程为223122oe1 (87)xxnnx3x2x1k对于对于正单轴晶体正单轴晶体，e 光有最大折射率；而对于光有最大折射率；而对于负单轴负单轴晶体晶体，e 光有最小折射率。运用几何作图法，可以得光有最小折射率。运用几何作图法，可以得到到 D E，k s。x3x2x1x3x2x1
