1、初中数学课件 之 四边形目录2 平行四边形1 多边形3 中心对称4 三角形中位线5 矩形6 菱形7 正方形1多边形ABCDE顶点内角对角线边组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点；多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角；连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。【概念】1、按照边和内角的等量关系，多边形可分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等【两个条件必须同时满足】。2、按照多边
2、形各边的相对位置关系，多边形也可以分为凸多边形及凹多边形3、按照多边形各边所处空间的位置，多边形分平面多边形和空间多边形。平面多边形按边数分类，可分为三边形（三角形）、四边形、五边形、六边形等等。【多边形的分类】ABCDEn边形的内角和等于（n-2)180。从左图可知，五边形被从一个顶点引出的对角线分成三个三角形，求五边形内角和转化成求三（5-2）个三角形的内角和。逆推内角和关系式，可得：1、n边形的边=（内角和180)+2；2、过n边形一个顶点有（n-3）条对角线；3、n边形共有n(n-3)2条对角线；多边形的外角 多边形内角的一边与另一边反向延长线所组成的角。如图DCE即为五边形ABCDE
3、的一个外角。多边形的外角和 在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的总和。ABCDEE【概念】注意：多边形的同一定点的外角有两个，由于他们相等，我们通常只取其中一个。n边形外角和与边数无关，且等于n180(n2)180=360。例题1、如左图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）。A、两点之间的线段最短 B、三角形具有稳定性C、长方形是轴对称图形 D、长方形的四个角都是直角分析分析：四边形具有不稳定性，因此利用三角形稳定性特点，加木条构建三角形。解答：解答：由上述理由，故选故选B B点评：四边形的不稳定性与三角形的稳定性在生活中由很多运
4、用。点评：四边形的不稳定性与三角形的稳定性在生活中由很多运用。三角形（三边形）具有稳定性，四边形具有不稳定性。例题2、多边形的每一个内角都等于150，则从此多边形的一个顶点出发能引出几条对角线?分析：分析：利用多边形的外角和为360和内角和它相邻的外角的和为180。解解:180-150=30 36030=12 此多边形是12边形,12-3=9 答：答：能引发9条对角线。例题3、每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的九分之一，则这个多边形的边数是多少?解解:设内角为9x，则外角为x,可得方程：x+9x=180 解得：x=18 36018=20 答：答：这个多边形的边数为20条。2平
5、行四边形平行四边形 之 概念【概念】平行四边形，是在同一个平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。ABCDH平行四边形ABCD记作“ABCD”。两组对边平行，即：ABCD；ADBC。AH为ABCD底边DC上的高，则：SABCD=AHDC，也记作S=ah（a为底，h为高）。平行四边形 之 性质平行四边形的对边相等，对角分别相等。平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的邻角互补。平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。ABCDo请结合左
6、上图，按照右上平行四边形的性质，分别写出所有等量关系式：如：AB=DC；DAB=BCD等。平行四边形 之 判定判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。定义判定法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。推论：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。特别提示：在数学判定证明中，很多同学往往忽视定义的判定作用。实际上，很多判定定理都是根据定义推导出来的，因此，我们在进行判定证明时，一定要灵活运用定义进行判定。平行四边形 之 辅助线ABCDoE解题时，辅助线的做法 0202过顶点作对边的垂线构成
7、直角三角形。解题时，辅助线的做法 0101连接对角线或平移对角线。ABCDH平行四边形 之 辅助线ABCDoE解题时，辅助线的做法 0404过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。解题时，辅助线的做法 0303连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。ABCDH平行四边形 之 例题例题4、在ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为30cm，OCD的周长为20cm，求AB的长ODCBA分析：分析：根据平行四边形的性质可知：ABOCDO，再利用周长相等和等量代换即可解出。解解:根据平行四边形的性质可得：AO=CO;BO=DO,又AOB=CO
8、D ABOCDO CCDO=20cm CABO=20cm AC与BD互相平分 AO+BO=302=15cm 则：在ABO中，AB=20-15=5cm 答：答：AB的长为5cm。平行四边形 之 例题分析：分析：根据平行四边形的判定定理可知四边形ECFA为平行四边形则：ECAF,加之ADBC，所以四边形ABCD为平行四边形。解解:OEOF，OAOC 四边形ECFA为平行四边形 则：ECAF，又ADBC 四边形ABCD为平行四边形 答：答：四边形ABCD为平行四边形。例题5、如图，四边形ABCD中，ADBC，OEOF，OAOC，问四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？OFEDCBA平行四边形 之 例
9、题例题6、如图所示，在ABCD中，P是AC上任意一点，求证：S SABP=S SADPADCBP分析：分析：所求证的两个三角形同底，则只需证明等高即可。证明证明:过B、D两点分别向AC作垂线，垂足为E、F,BEAC、DFAC AEB=CFD=90 ABCD BAE=DCF ABECDF 又 AB=CD BE=DF 在ABP和ADP中，AP=AP（同底）、BE=DF（等高）S SABP=S SADPADCBPEF3中心对称中心对称是指把一个图形绕着某一点（O）旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点（O）叫做对称中心。【概念】BACABCO 中心
10、对称是针对两个图形而言。中心对称是指两个图形的（位置）关系。中心对称成中心对称图形的对称点分别在两个图形上。中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心而且被对称中心平分。中心对称的两个图形是全等形。中心对称的两个图形，其对应线段互相平行(或在同一直线上)且相等。第一步：连接原图形上所有的特殊点和对称中心。第二步：将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。第三步：将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形。【基本性质】作图步骤在平面内，把一个图形绕着某个点（O）旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心
11、对称图形，这个点（O）叫做它的对称中心。【概念】中心对称图形是针对一个图形而言。常见的中心对称图形有：线段，矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆,边数为偶数的正多边形等。OO【基本性质】连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分。有一个对称中心点。图形绕中心旋转180。旋转后两图形重合。理解中心对称的定义要抓住右边三个要素：中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念。中心对称图形是指一个图形本身成中心对称。中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，
12、如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称。这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫作中心对称。成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上；反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上。4三角形中位线三角形中位线 之 概念【概念】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形三条边有三个中点，两两连接，构成三条中位线；三条中位线构成一个与原图形相似的三角形，且面积是原三角形的四分之一，三条中位线形成的三角形的周长是原三角形的二分之一；三条中位线切割原三角形得四个小
13、三角形，这四个三角形都是全等形。ABCDEF中位线中点三角形中位线 之 中位线定理中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF。DE=EF AED=CEF AE=EC ADE CFE（SAS）AD=FC A=ECF ABFC 又AD=DB BDCF，BD=CF 四边形BCFD是平行四边形 DEBC 且 DE=BCABCEFD三角形中位线定理的证明（以下仅仅是一种，你还能想出哪些方法？）三角形中位线 之 运用有关三角形中位线的定理（三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半。）及“过三角线一边的中点且平行于另一边的直线必过第
14、三边的中点。”在几何题的证明中应用十分广泛。其原因是由于定理中有平行线出现，这样就产生了同位角、内错角、同旁内角等许多角之间的等量关系，又由于中位线等干底边的一半。并且平分两腰，这样就出现了线段之间的等量关系。更主要的是定理将角的等量关系与线段的等量关系有机地联系在一起，因此这个定理在几何题的证明中，特别是在证明两直线平行或线段的等量关系或角的等量关系中，起着独特的作用，有时甚至非它莫许。因此凡是题设中有中点出现，就不妨设法应用中位线定理来进行证明，也许很有效。三角形中位线 之 例题例题7、在ABC中，M是BC的中点，AB=CD，F是AD的中点，MF的延长线交BA的延长线于E点，求证:AE=A
15、F。分析：分析：根据题中有两个中点，可利用辅助线构建中位线，加以转换证明。证明证明:连接BD，取BD中点P，连接PF、PM，则PFAB，PF=AB PMCD，PM=CD PFM=E PMF=MFC 又AB=CD PM=PE 则：E=MFC=AFE AE=AF三角形中位线 之 例题例题8、在ABC中，ACAB,在它的两边AB，AC上分别截取BD=CE,F、G分别是BC、DE的中点，又AT是BAC的平分线，求证：FGAT.分析：分析：题中涉及几个中点，应利用辅助线构建中位线，加以转换证明。证明证明:连接DF，并延长到H点，使FH=DF，连接CH、EH,BF=CF,DF=HF,BFD=CFH BDF
16、CHF 则BD=CH,B=BCH CE=CH，由此：CEH=CHE 根据三角形内角和，得：CHE+CEH=BAC AT是BAC的平分线 TAC=HEC 由此：FGAT三角形中位线 之 思考例题9、在RtABC中，ACB=90,D为AB中点，连接CD,求证：CD=AB12分析：分析：添加辅助线，利用中位线，即可证明。以下提供多种辅助线添加方式。请利用多种方法证明以下题目。5矩 形有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形，也成为长方形。【概念】黄金矩形：宽、长比约为0.618的矩形叫做黄金矩形。它给我们协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特
17、农神庙等。长方形记作“ABCD”,其长与宽的定义：第一种：长的边叫长，短的边叫宽。第二种：和水平面同向的叫做长，反之就叫做宽。长方形的长和宽是相对的。相关公式：面积：S=ab(注:a为长，b为宽)周长：C=2(a+b)(注:a为长，b为宽)ABCD长宽四个角都是直角。两组对边分别平行且相等。两条对角线相等，且互相平分。既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；也是轴对称图形，对边中点的连线是它的对称轴。矩形是特殊的平行四边形，具有不稳定性。ABCDO对称轴对称轴对称中心特别提示：实际解题过程中，常常需要添加辅助线等，将矩形与直角三角形、平行线、以及面积公式等联系起来。判定定理3：对角线相等
18、且互相平分的四边形是矩形。判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。定义判定法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形。例题10、如图，在ABCD中，对角线AC、BD交于O点，DE平分ADC，E点在BC上，EDO=15,求COB、AOE的度数。分析：分析：可根据矩形、以及三角形相关知识解题。证明证明:DE平分ADC EDC=45 又 EDO=15 CDB=60 由矩形性质可得：OD=OC ODC为正三角形,即OC=OD=CD COD=60 因此：COB=120 EDC=45,DCE=90 CE=CD CO=CE 由此可知ECO是顶角为30的等腰三角形 COE=
19、42 因此：AOE=105ABCDOE例题11、如图，在ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，若F是DE的中点，使确定线段AF与CF的位置关系。分析：分析：结合图示可以猜想AFCF，证明两线垂直，都有哪些知识点？请盘点盘点，下面给出多种辅助线添加方式。请利用多种方法证明以下题目。ABCDEFABCDEFABCDEFOABCDEFG6菱 形在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。四边都相等的四边形是菱形。【概念】菱形是特殊的平行四边形之一。在ABCD中，若AB=BC，则称为菱形，记作“ABCD”。相关公式：面积：S=ah(注:a为边长，h为高)或者：S=j1j2(注:j1和j2为对角
20、线)12ABCDahj1j2四条边都相等，对角相等，对角线互相垂直平分。既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；也是轴对称图形，对角线所在直线是它的对称轴。菱形是特殊的平行四边形，具有不稳定性。O对称轴对称轴对称中心ABCD特别提示：判定定理中有的是平行四边形，有的是四边形，一定要注意期间的区别，同时也要注意和矩形、平行四边形、正方形的判定区别。判定定理3：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。定义判定法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形。例题12、如图，C是线段BD上的一点，ABC和ECD都是等边三角形，
21、R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。分析：分析：可根据菱形的定义来判定解题。证明证明:连接AD、BE ABC和ECD都是等边三角形 AC=BC，CD=CE，ACD=BCE=120 ACDBCE 则：AD=BE R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点 依据三角形中位线定理得：RH=FG=BE=AD=RF=GH 因此：四边形RFGH是菱形ABCDERHGEABCDERHGE例题13、如图，在ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，AB=a，求：ABC的度数；对角线AC的长；ABCD的面积。分析：分析：由E为AB中点，DEAB,可知DE是AB的垂直平分线，
22、从而AD=DB，且AD=AB，则ABD是等边三角形，即可解题；可利用勾股定理求解；由菱形对角线互相垂直平分，即可解题。注意：本题中的菱形有个内角是60，这个菱形有许多特点，通过解题应逐步认识这些特点。请利用菱形的有关知识以下题目。ABCDEO7正方形有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。【概念】正方形是平行四边形的一种，同时也属于菱形和矩形的范畴。相关公式：面积：S=a2(注:a为边长)周长：C=4a(注:a为边长)ABCD边a四条边都相等，四个角都是直角。两条对角线互相垂直平分且相等。既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；也是轴对称图形，对边中点的连线和对角线是它的对称
23、轴。正方形是特殊的平行四边形，具有不稳定性。O对称轴对称轴对称中心ABCD对称轴对称轴特别提示：正方形的判定方法比较多，除了定义之外，还有诸如“对角线相等的菱形是正方形”等，请参看有图，进行归纳与证明。平行四边形矩形菱形正方形有一个是直角一组邻边相等一组邻边相等有一个是直角例题14、如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得CD=CE,过E点作EFAC,交AD于F，求证：AE=EF=DF。分析：分析：可利用正方形的性质、等腰直角三角形相关知识证题。证明证明:连接CF 在正方形ABCD中，D=DBA=90,AC平分DAB DAC=CAB=45 又EFAC DAC=AFE=45 t因此 AE=EF 在RtCEF和RtCDF中：CE=CD CF=CF CEFCDF 则:EF=DF AE=EF=DF ABCDFEABCDFE例题15、如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分CBE交CD于F,求证：BE=CF+AE分析：分析：构造全等三角形是解题关键。请利用多种方法证明以下题目。ABCDFEABCDFEGABCDFEG谢谢观赏
