1、1一阶微分方程一阶微分方程第七章第七章 复复习习高高等等数数学学（下下）总总2dxxfdyyg)()(形如形如1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法)(xyfdxdy 形如形如2 齐次方程齐次方程xyu 令令dxxuufdu 1)(3)(yxgdydx 对称情况对称情况yxv 令令 ydyvvgdv通解通解4)()(xQyxPdxdy 3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()()(CdxexQeydxxPdxxP ).()(yQxyPdydx 对称情况对称情况)()()(CdyeyQexdyyPdyyP 5高阶微分方程高阶微分方程1 1、可
2、降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解.y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型代入原方程代入原方程,得得).(,(xPxfP ),(xPy 令令,Py 6.x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy 型型代入原方程代入原方程,得得).,(PyfdydpP),(xPy 令令,dydpPy 72 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次）二阶齐次线性线性方程解的结构方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy定理定理 1 1：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程
3、(1)(1)的两个线性无关的两个线性无关 （2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:)2()()()(xfyxQyxPy 定理定理 2 2 设设*y是是)2(的一个特解的一个特解,Y是与是与(2)(2)对应对应 的特解的特解,那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解.的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解,那么那么*yYy 是二阶非是二阶非 齐次线性微分方程齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解.8定理定理 3 3 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函 解的叠加原理解的叠加原理.代入即可证得代入
4、即可证得数之和数之和,如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程,的特解的特解,)()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解.902 qprr0 qyypy特征方程为特征方程为3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程1001)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通
5、解中的对应项rk 重重实实根根若若有有rxkkexCxCC)(1110 ik 复复根根重重共共轭轭若若有有xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110114 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法待定系数法待定系数法.,)(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm )(mkQxxQ 12型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnl
6、x ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 iik13向量的分解式：向量的分解式：(,)xyzaaaa .,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,1 1、向量的坐标表示法、向量的坐标表示法（一）向量代数（一）向量
7、代数第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数14向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,xyzaaaa （）,xyzbbbb （）,xxyyzzabababab （）,xxyyzzabababab （）,xyzaaaa （）kbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(kajaiazyx)()()(15222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐
8、标表示式222coscoscos116 21221221221zzyyxxMM 它们距离为它们距离为设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点两点间距离公式两点间距离公式:172 2、数量积、数量积 cos|baba 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角(点积、内积点积、内积)zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 00 xxyyzza ba ba ba b 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式183 3、向量积、向量积 sin|bac 其其中中 为为a
9、与与b的的夹夹角角(叉积、外积叉积、外积)向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式zyxzyxbbbaaakjiba 19方程特点方程特点:00),(:zyxfL设有平面曲线设有平面曲线方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线xL)1(0),(22 zyxf方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线yL)2(0),(22 yzxf1.旋转曲面旋转曲面（二）空间解析几何（二）空间解析几何20122222 czyax122222 czayx12222 czax旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面21xyzpzyx222 旋转抛物面旋转抛
10、物面oyzx22绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面ozyx23（2）圆锥面）圆锥面222zyx （1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面1222222 czayax1222 zyx2202020)()()(Rzzyyxx 242.柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.25从柱面方程从柱面方程(的特征的特征:二元方程二元方程)看柱面的看柱面的特征特征：（其
11、他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 母线母线/轴轴zpxz22 抛物柱面抛物柱面 母线母线/轴轴y26抛物柱面抛物柱面xyzxyz椭圆柱面椭圆柱面pxz22 双曲柱面双曲柱面xyz12222 czby12222 byax273.二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面）椭球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面)(同号同号与与qp28特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2
12、222旋转抛物面旋转抛物面)0(p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 29zqypx 2222（3）马鞍面）马鞍面)(同号同号与与qp（4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax（5）圆锥面）圆锥面222zyx 304.4.空间曲线空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程31 CCC关于关于 的投影柱面的投影柱面 C在在 上的投影曲线上的投影曲线 Oxzy 0),(0),(:zyxGzyxFC设曲线设曲线 则则C
13、关于关于xoy面的投影柱面的投影柱面方程应为消面方程应为消z后的方程后的方程：0),(yxH 所以所以C在在xoy面上的投面上的投影曲线的方程为：影曲线的方程为：00),(zyxH3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影325.5.平面平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc330:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 平面的夹角平面的夹角222222212
14、121212121|cosCBACBACCBBAA 5 两平面位置特征：两平面位置特征：21)1(021212121 CCBBAAnn21)2(/1 1n2 2n.21212121CCBBAAnn 重合重合346.6.空间直线空间直线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程xyzo1 2 L35xyzosL0M M 3 空间直线的参数方程空间直线的参数方程pzznyymxx000 2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxM,p
15、nms 36直线直线:1L111111pzznyymxx 直线直线:2L222222pzznyymxx 12121212222222111222|cos(,)m mn np ps smnpmnp 两直线的夹角公式两直线的夹角公式4 两直线的夹角两直线的夹角375 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL 021212121 ppnnmmss21)2(LL/pzznyymxxL000:0:DCzByAx6 直线与平面的夹角直线与平面的夹角21212121ppnnmmss /38222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式)20(7 直线与平面的
16、位置关系直线与平面的位置关系 L)1(pCnBmAns L)2(/0 CpBnAmns L或或39例例7 7 设设),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一点点，求求0P到到平平面面的的距距离离.1PNn0P 000222|.AxByCzDdABC 8点到平面距离公式点到平面距离公式比较中学所学的点到直线的距离公式比较中学所学的点到直线的距离公式:),(000yxP点点0 CByAx直线直线2200|BACByAxd 406.6.平面束平面束定义定义:通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个平面确定的平面束平面确定的平面束.设平面设平
17、面,0:11111 DzCyBxA,0:22222 DzCyBxA:,21为为所确定的平面束的方程所确定的平面束的方程由由 0)()(2221111 DzCyBxADzCyBxA.0:22222 DzCyBxA以上方程不包括平面以上方程不包括平面411 1、偏导数概念、偏导数概念第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用42同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数，为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz
18、，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.43ddd.zzzxyxy2、全微分公式、全微分公式用定义证明可微与不可微的方法用定义证明可微与不可微的方法000000(,)(,)()xyzfxyxfxyy 可微可微000000(,)(,)()xyzfxyxfxyy 不可微不可微44多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导有极限有极限3、关系、关系45(),()zftt 4 4、多元复合函数求导法则、多元复合函数求导法则定理定理1 若函数若函数(),()utvt (,)zf u v 在点在点
19、 处偏导连续处偏导连续,(,)u v在点在点 t 可导可导,ddddddzzuzvtutvt则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则中间变量均为一元函数的情形中间变量均为一元函数的情形在点在点t处可导，处可导，uvtz公式的记忆方法：连线相乘，分线相加公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.465 5、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dddzzzuvuv47定理定理1 1 设函数设函数00(,)0;F xy 单值连续函数单值连续函数 y=f(x),00(
20、),yf x 并有连续并有连续d.dxyFyxF (隐函数求导公式隐函数求导公式)具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的的某邻域内可唯一确定一个某邻域内可唯一确定一个的某一邻域内满足的某一邻域内满足00(,)0yFxy 满足条件满足条件导数导数(,)F x y在点在点00(,)P xy则方程则方程(,)0F x y 0 x在点在点6 6、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则(1)(,)0F x y 48定理定理2 2 000(,)P xy z,yxzzFFzzxFyF 的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数 ;则方程则方程(,)0F x y z 在点在点),(00yx并有连续偏导数并有连
21、续偏导数000(,),zf xy 定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足满足000(,)0;F xy z 000(,)0,zF xy z 在点在点若函数若函数 满足满足:(,)F x y z某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确0),(.2 zyxF49定理定理3 30000(,)0,F xy u v 的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏导数导数设函数设函数0000(,)P xy u v(,),(,)F x y u vG x y u v则方程组则方程组(,)0,(,)0F x y u vG x y u v 的单值连续函数的单值连续函数(,),(,),uu x yvv
22、 x y 计算偏导数按直接法求解计算偏导数按直接法求解.在点在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足满足:(,)0,(,)PF GJPu v 0000(,)0;G xy u v 000(,),uu xy 000(,)vv xy 00(,)xy在点在点507 7、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为.0)()()(000000 zztyytxxt (1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx 000(),(),()Tttt (关
23、键关键:抓住切向量抓住切向量)511）空间曲线方程为）空间曲线方程为,)()(xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx .0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地：特殊地：(取取 为参数为参数)x(1,(),()Txx 522）空间曲线方程为）空间曲线方程为,0),(0),(zyxGzyxF(取取 为参数为参数)xxyzxyzMijkTF F FG G G 取取切线方程为切线方程为000()()()0.yzxyzxzxyzxyMMMFFFFFFxxyyzzGGGGGG法平面方程为法平面方程为000,y
24、zzxxyzxyzMxyMMxxyyzzFFFFFFGGGGGG53()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线:(,)0.F x y z切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 000000000(,),(,),(,)xyznFxyzFxyzF xyz(关键关键:抓住法向量抓住法向量)54:(,)zf x y 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx
25、 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令0000(,),(,),1)xynfxyfxy则则（特殊情形）（特殊情形）558 8、方向导数、方向导数.),(),(lim0 yxfyyxxflf 的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),(记为记为（1）方向导数的定义及存在的充
26、分条件）方向导数的定义及存在的充分条件56.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义（其中其中222)()()(zyx ）方向导数的存在性及其计算方法方向导数的存在性及其计算方法:00(,)(,),zf x yP xy 若若函函数数在在点点处处可可微微定理定理那么那么函数在函数在000000(,)(,)cos(,)cos,xyxyffxyfxyl 该点沿任一方向该点沿任一方向 的方向导数存在的方向导数存在,且有且有 l:cos,cos.l 其其中中是是方方向向 的的方方向向余余弦弦57说明说明:可微可微沿任一方向的方向导数存在沿任一方向的方
27、向导数存在.反之不一定成立反之不一定成立.(2)梯度的概念梯度的概念grad(,)f x y ffijxy 记为记为 58梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系.maxf=l 59则称函数在该点取得极大值则称函数在该点取得极大值极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值,使函数取得极值的使函数取得极值的00(,)(,)f x yf xy 00(,)(,)f x yf xy 或(极小值极小值).).定义定义:若函数若函数 在点在点(,)zf x y 的某邻域内有的某邻域内有00(,)xy（1)1)二元函数极值的定义二元函数极值的定义点称为极值点点称为极值点.9 9、多元函数的极值、多元函
28、数的极值60定理定理1 1 (必要条必要条件件)偏导数偏导数,0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy 且在该点取得极值且在该点取得极值 ,则有则有（2 2）多元函数取得极值的条件）多元函数取得极值的条件函数函数 在点在点 存在存在(,)zf x y 00(,)xy说明说明:驻点驻点极值点极值点(可导函数可导函数)注意：注意：使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为驻点的点称为驻点.1.驻点驻点2.偏导中至少有一个不存在的点偏导中至少有一个不存在的点.61时时,具有极值具有极值定理定理2(2(充分条件充分条件)一阶和二阶连续偏导数一阶和二阶连续偏导数,且且 令令则则:(1)当当A0 时取极小
29、值时取极小值.(2)当当(3)当当时时,没有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy 000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy 20ACB 20ACB 20ACB 若函数若函数00(,)(,)zf x yxy 在在点的某邻域内具有点的某邻域内具有62第第一一步步 解解方方程程组组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否
30、是极值的符号，再判定是否是极值.第四步第四步 求出极值求出极值.63(3)多元函数的最值多元函数的最值a.最值的存在性：最值的存在性：.存存在在最最大大值值和和最最小小值值222249:4zxyDxy 在在闭闭域域上上如函数如函数b.有界闭区域有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤：上连续函数的最值的求法与步骤：（1）找最值可疑点）找最值可疑点 D内的驻点及不可导点内的驻点及不可导点边界上的可能极值点边界上的可能极值点（2）比较以上各点处的函数值，最）比较以上各点处的函数值，最大大（小小）者即）者即为所求的最为所求的最大大（小小）值）值.（假定函数在（假定函数在D有有有限个可疑点）有限个可疑
31、点）定理定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则()f P在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m.64特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时,)(Pf为极小值为极小值)(Pf为最小值为最小值(大大)(大大)求二元函数在闭区域求二元函数在闭区域D上的最值上的最值,往往比较复杂往往比较复杂.但如果根据问题的实际意义但如果根据问题的实际意义,知道函数在知道函数在D内存在最值内存在最值,又知函数在又知函数在D内可微内可微,且只有唯一驻点且只有唯一驻点,则该点处的函数则该点处的函数值就是所求的最值值就是所
32、求的最值.函数的最值应用问题的解题步骤：函数的最值应用问题的解题步骤：第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数,确定定义域确定定义域(及约束条件及约束条件)65（4）条件极值）条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值66则则 （）00(1)(,)(,)f x yx y在在处连续；处连续；例例 设设 处的两个偏导数都存在，处的两个偏导数都存在，00(,)(,)zf x yxy 在在00(2)(,)(,)f x yx y在在可可微微；0000(3)
33、lim(,)lim(,)xxyyf x yf x y及及都都存存在在;00(,)(,)(4)lim(,).x yxyf x y存存在在(3)67、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和.(,)dDf x y iiniif ),(lim101 1、二重积分的定义、二重积分的定义第十章第十章683 3、二重积分的计算、二重积分的计算,
34、:bxaD ).()(21xyx X型型21()()(,)dd(,)d.bxaxDf x yxf x yy X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下69 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.21()()(,)dd(,)d.dycyDf x yyf x yx ,:dycD ).()(21yxy Y型型70求二重积分的方法步骤求二重积分的方法步骤:1.作图求交点；作图求交
35、点；2.选择积分次序；选择积分次序；4.计算计算.(先内积分后外积分先内积分后外积分;计算内积分时把计算内积分时把在累次积分不易积或不能积时在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序应考虑交换积分次序.(把把D写成不等式形式写成不等式形式)；外积分变量看成常数外积分变量看成常数)3.确定积分限确定积分限711、选择积分次序、选择积分次序(1)首先被积函数要易积分，能积分；首先被积函数要易积分，能积分；(2)积分区域积分区域D尽量少分块尽量少分块.2、确定积分限、确定积分限计算二重积分的两个关键：计算二重积分的两个关键：内限内限平行线穿越法平行线穿越法.外限外限 投影法；投影法；72 xDo
36、1()2()xoD()Dox()(,)d dDf x yx y 21()()d(cos,sin)d.f ()0d(cos,sin)d.f 2()00d(cos,sin)d.f （2）极坐标系下）极坐标系下732、定限方法、定限方法 内限（内限（的限）的限）射线穿越法射线穿越法.外限（外限（的限）的限）看看 夹在那两条射线之间；夹在那两条射线之间；利用极坐标计算二重积分应注意：利用极坐标计算二重积分应注意：积分次序积分次序先先后后.1、何时用极坐标？何时用极坐标？1、当积分区域为圆域或其一部分时、当积分区域为圆域或其一部分时；2、被积函数中含有、被积函数中含有 或或 时时.22xy xy3、用直
37、角坐标求不出的积分、用直角坐标求不出的积分.744 4、二重积分的应用、二重积分的应用(1)体积体积(,)d dDVf x yx y 曲曲柱柱设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 221d dxyzzxyDAx y(2)曲面积曲面积(,)0,f x y 且且(,)Df x y 在在设设 上连续，上连续，曲顶柱体曲顶柱体 顶顶被积函数；被积函数；底底积分区域积分区域.(3)求质量求质量(,)d dDmx yx y 756、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义表示空间区域的体积表示空间区域的体积时时当当 Vdvzyxf,1),(7 7、三重积分的性质、三
38、重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质5 5、三重积分的定义、三重积分的定义768 8、三重积分的计算、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz 2211()(,)()(,)(,)ddd(,)d.byxzx yayxzx yf x y zvxyf x y zz .,),(),(21czcDyxzyxz 21(,)dd(,)d d.zccDf x y zvzf x y zx y ()直角坐标直角坐标dd d dvx y z（截面法）（截面法）（先一后二法）（先一后二法）77cos,sin,.xyzz ()柱面坐标柱面坐标(,)d(cos,si
39、n,)d d d.f x y zvfzz dd d d,vz 78积分次序：积分次序：.z 21(cos,sin)(cos,sin)d d(cos,sin,)dzzDfzz (,)df x y zv 定限方法定限方法内限内限平行线穿越法；平行线穿越法；外积分区域外积分区域投影法投影法.（可用极坐标计算时的定限法）可用极坐标计算时的定限法）、799 9、三重积分的应用、三重积分的应用d.Mv 其其中中1d,xxvM (3)(3)质心质心1d,yyvM 1d.zzvM (1)求体积求体积d d dVx y z (2)求质量求质量(,)d d dmx y zx y z 80(),(),xtytt 2
40、2(,)(),()()(),Lf x y dsftttt dt 22()(),dstt dt 弧微分弧微分设设L：（1）对弧长（第一类）对弧长（第一类）1.曲线积分的计算曲线积分的计算化为定积分计算化为定积分计算 第十一章曲线、曲面积分第十一章曲线、曲面积分81（2）对坐标（第二类）对坐标（第二类）(),(),xtyt (,)(,)(),()()(),()()LP x y dxQ x y dyPtttQttt dt 设设L：,AB 从从到到有方向有方向822曲面积分的计算曲面积分的计算（化为二重积分）（化为二重积分）(,)f x y z dS :(,),zz x y 22:(,),1,yzxx
41、 y z dSxx dydz 22:(,),1,xzyy x z dSyy dxdz 若若（1）对面积（第一类）的曲面积分）对面积（第一类）的曲面积分 22 ,(,)1(,)(,)xyxyDf x y z x yzx yzx y dxdy 向向xoy面的投影为面的投影为 则则,xyDyzD投影投影xzD投影投影83（2）对坐标（第二类）的曲面积分）对坐标（第二类）的曲面积分 (,),(,)xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy 若若 上侧，则上侧，则:(,)zz x y (,),(,)xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy (,)(,),yzDP
42、 x y z dydzP x y zy z dydz :(,),xx y z :(,),yy x z (,).(,),zxDQ x y z dzdxQ x y z xz dzdx 若若 下侧，则下侧，则:(,)zz x y 有方向有方向84()DLQPdxdyPdxQdyxy 3.格林公式格林公式 -平面上曲线积分与二重积分的关系平面上曲线积分与二重积分的关系4.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件L取正向取正向.以及等价关系以及等价关系.QPxy 设有界闭区域设有界闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成,P x yQ x yD函函数数在在 上上有有一一阶阶连连续续偏偏
43、导导数数，则则有有855.高斯公式高斯公式 曲面积分与三重积分的关系曲面积分与三重积分的关系()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz .为为外外侧侧 ()(,)(,)(,)P x y zQ x y zR x y z 设设空空间间闭闭区区域域是是由由光光滑滑 或或分分片片光光滑滑曲曲面面 所所围围成成，函函数数、在在上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则有有866.两类积分之间的关系：两类积分之间的关系：=coscosLLPdxQdyPQdscos,dxds cos.dyds PdydzQdzdxRdxdy =coscoscosPQRdS cos,dydzdS cos,dzdx
44、dS cos,dxdydS (cos,cos,cos)n 的法向量的法向量(cos,cos)t L的切向量的切向量曲线曲线:曲面曲面:87三三.两类曲线两类曲线(曲面曲面)积分的典型问题积分的典型问题一般曲线积分化成定积分计算，一般曲线积分化成定积分计算，一般曲面积分化成二重积分计算，一般曲面积分化成二重积分计算，封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分.封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分.88第一类曲线积分的求法第一类曲线积分的求法1.基本方法：基本方法：由积分曲线的表达式求出由积分曲线的表达式求出弧微分元素弧微分
45、元素，定积分定积分定限定限：下限小于上限：下限小于上限.22(),()()(),ftttt dt (,)Lf x y ds(),:(),(),xtLtyt 将积分曲线将积分曲线代入代入被积函数，被积函数，892.利用积分性质利用积分性质:LdsL 的的长长度度 2222,:nLxydsLyax 例例求求下下半半圆圆周周 222nnLLxydsads解解 221nnLadsa 3.计算中注意利用对称性计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性奇偶性、轮换性90因为积分曲线因为积分曲线L关于关于y轴对称轴对称，函数，函数 2xcosy是是221,43xy 22(2 cos34)dLxyxys 222 c
46、os d(34)dLLxy sxys 2 cos d0Lxy s 22(34)d12d12LLxyssa 22(2 cos34)d12Lxyxysa 例例 设设L为椭圆为椭圆其周长为其周长为a，求，求解解 原式原式=x的奇函数的奇函数，因此有，因此有而而所以所以 91第二类曲线积分的求法第二类曲线积分的求法1.基本方法：基本方法：由积分曲线的表达式确定定积分的由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量积分变量，将积分曲线将积分曲线代入代入被积表达式，被积表达式，定积分定积分定限定限：起点对应下限，终点对应上限：起点对应下限，终点对应上限.(),()()(),()()P x ty t x tQ x
47、ty ty t dt (,)(,)LP x y dxQ x y dy :(),(),L xx tyy t:t从从 变变到到922.利用格林公式利用格林公式(1)积分曲线为封闭曲线积分曲线为封闭曲线,直接化为二重积分直接化为二重积分（满足定理条件）（满足定理条件）(2)积分曲线为非封闭曲线积分曲线为非封闭曲线,添加曲线添加曲线(较简单较简单)使之成为封闭曲线使之成为封闭曲线,原曲线积分化为一个原曲线积分化为一个二重积分减去在添加曲线上的曲线积分二重积分减去在添加曲线上的曲线积分.()LDQPPdxQdydxdyxy.L其其中中 取取正正向向931xy2(2)d()dyxLxyeyyyex 记记L
48、所围的区域为所围的区域为D，易知，易知D是边长为是边长为 的正方形区域的正方形区域.22211.QPyyxy2(2)()12.yxLDxyedyyyedxdxdy 例例1 1 设设L L为为 的反时针方向，则的反时针方向，则(A)0；(B)2；(C)4；(D)1解解由已知，由已知，则则由格林公式，得由格林公式，得B94yA xoL si2ncos1xxLeyxy dxeydy 计计算算例例 22(0)0,01,0Lxyx yOA其其中中：从从到到的的上上半半圆圆周周.解解 为用格林公式为用格林公式,:0,(:10)AOyx它与它与L所围区域为所围区域为D,则则原式原式(sin)d(cos1)d
49、xxL AOeyxyxeyy (sin)d(cos1)dxxAOeyxyxeyy D添加辅助线段添加辅助线段95原式原式(e sin)d(e cos1)dxxL AOyxyxyy d dDx y 01dxx(e sin)d(e cos1)dxxAOyxyxyy 182 yA xoLD1cose,cose yyPyxQxx:0,:10AOyx963.利用曲线积分与路径无关的条件利用曲线积分与路径无关的条件(1)改变原积分路径，使得原积分简化改变原积分路径，使得原积分简化.(2)已知已知 是某函数的全微分，是某函数的全微分，PdxQdy 求出该函数，即求出该函数，即00(,)(,)(,)x yxy
50、u x yPdxQdy 000,)0,)(,)(,)x yyxyyP x y dxQ x y dy00(,)xy(,)x yxyo97cossinxxLeydxeydy 计计例例3 3算算 22(0)1,00,0Lxyx yAO其其中中：从从到到的的上上半半圆圆周周.Asin,xQPeyxx 解解积积分分与与路路径径无无关关:0,:10AOyx另选直线另选直线cossinxxLeydxeydy 01cos01xedxe oxy984.有奇点的曲线积分有奇点的曲线积分222:4Lxya22()().Lxy dxxy dyxy 例例4 设设取逆时针方向，取逆时针方向，求求解解 取取222,xyr构
