1、青岛市中考数学23题汇编1. (09年中考)我们在解决数学问题时，经常采用“转化”(或“化归”)的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题.譬如在学习一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题.问题提出：如何把一个正方形分割成n()个小正方形？为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”.基本分割法1：如图，把一个正方形分割成4个小正方形，即
2、在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形.基本分割法2：如图，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形.图图图图图图问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n()个小正方形.把一个正方形分割成9个小正方形. 一种方法：如图，把图中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4+5=9(个)小正方形. 另一种方法：如图，把图中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6+3=9(个)小正方形.把一个正方形分割成10个小正方形. 方法：如图，把图中的任意2个小正方形按
3、“基本分割法1”进行分割，就可增加32个小正方形，从而分割成4+32=10(个)小正方形.请你参照上述分割方法，把图给出的正方形分割成11个小正方形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法).把一个正方形分割成n()个小正方形. 方法：通过“基本分割法1”“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个、11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，以此类推，即可把一个正方形分割成n()个小正方形. 从上面的方法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方
4、形分割成n()个小正方形.类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n()个小正三角形.基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形(请你在图a中画出草图).基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形(请你在图b中画出草图).分别把图c、图d和图e种的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形(用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法).图a图b图c图e图d请你写出把一个正三角形分割成n()个小正三角形的分割方法(只写出分割方法，不用画图).答：2.(10年中考)问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见.在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”
5、中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_个正六边形的内角.问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键
6、在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形内角特点.具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：，整理得：2x+3y=8，我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为.结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕这1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由.验
7、证2：结论2：_.上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案.问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程.猜想3：_.验证3：结论3：_.3.(11年中考)问题提出我们在分析解决数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小.解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差变形，利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则.问题解决如图，
8、把边长为a+b的大正方形(ab)分割成两个边长分别是a，b的小正方形以及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.aaaabbbb图由图可知，.类比应用已知小明和小亮购买同一种商品的平均价格分别为元/千克，元/千克，试比较小明和小亮所购商品的平均价格的高低(a，b是正数，且ab).解：类比应用试比较图、图两个矩形的周长M1、N1(bc)的大小.图图b+ca+bb+3ca-c解：拓展应用小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图(0cab)，售货员分别按图、图、图三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由.abc图图图图
9、解：4.(12年中考)问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(mn)个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图，显然，此时可把ABC分割成3个互不重叠的小三角形探究二：以ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图分
10、割成的某个小三角形内部不妨设点Q在PAC的内部，如图；另一种情况，点Q在图分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q在PA上，如图显然，不管哪种情况，都可把ABC分割成5个互不重叠的小三角形探究三：以ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把ABC分割成 个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图探究四：以ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m3)个点为顶点，可把ABC分割成 个互不重叠的小三角形探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m4)个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(mn)个点作为顶
11、点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算)5.(13年中考)在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图和图发现并验证了平方差公式和完全平方公式这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。第23题图第23题图【研究速算】第23题图提出问题：4743，5654，7971，是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：i用矩形的面积表示两个正数的乘积，以4743为例：（1）画长为
12、47，宽为43的矩形，如图，将这个4743的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，4743的矩形面积或（4073）40的矩形与右上角37的矩形面积之和，即4743（4010）403754100372021用文字表述4743的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）_第23题图【研究方程】提出问题：怎么图解一元二次方程几何建模：（1）变形：（2）画四个长为，宽为的矩形，构造图（3）分析：图中的大正
13、方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积即： 归纳提炼：求关于的一元二次方程的解要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎么运用矩形面积表示与的大小关系（其中）？几何建模：第23题图（1）画长，宽的矩形，按图方式分割（2）变形：（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为；阴影部分面积可以表示为，画点部分的面积可表示为，由图形的部分与整体的关系可知：，即归纳提炼：当，时，表示与的大小关系根据题意，设，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，
14、并标注相关线段的长）6（2014青岛）数学问题：计算+（其中m，n都是正整数，且m2，n1）探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究探究一：计算+第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，；第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+，最后空白部分的面积是根据第n次分割图可得等式：+=1探究二：
15、计算+第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，；第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+，最后空白部分的面积是根据第n次分割图可得等式：+=1，两边同除以2，得+=探究三：计算+（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算+（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式：_，所以，+=_拓广应用：计算 +7.(15年中考)问题提
16、出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？问题探究：不妨假设能搭成种不同的等腰三角形，为探究之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论探究一：（1） 用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形。所以，当时，（2） 用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形 所以，当时，（3） 用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根
17、木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当时，（4） 用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当时，综上所述，可得表 34561011探究二：（1） 用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表中）（2） 分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （只需把结果填在表中）78910你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续
18、进行探究，解决问题：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ （设分别等于、，其中是整数，把结果填在表中）问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ （要求写出解答过程） 其中面积最大的等腰三角形每个腰用了_根木棒。（只填结果）8.(16年中考)问题提出：如何将边长为n（n5，且n为整数）的正方形分割为一些1x5或23的矩形（axb 的矩形指边长分别为a，b的矩形）？问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题探究一：如图，当n=5时，可将正方形分割为五个15的矩形如图，当n=6时，可将
19、正方形分割为六个23的矩形如图，当n=7时，可将正方形分割为五个15的矩形和四个23的矩形如图，当n=8时，可将正方形分割为八个15的矩形和四个23的矩形如图，当n=9时，可将正方形分割为九个15的矩形和六个23的矩形探究二：当n=10，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：所以，当n=10，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个55的正方形、一个（n5 ）（ n5 ）的正方形和两个5（n5）的矩形显然，55的正方形和5（n5）的矩形均可分割为15的矩形，而（n5）（n5）的正方形是边长分别为5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些15或23的矩形探究
20、三：当n=15，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图所以，当n=15，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个1010的正方形、一个（n10 ）（n10）的正方形和两个10（n10）的矩形显然，1010的正方形和10（n10）的矩形均可分割为1x5的矩形，而（n10）（n10）的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些15或23的矩形问题解决：如何将边长为n（n5，且n为整数）的正方形分割为一些15或23的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明实际应用：如何将边长为
21、61的正方形分割为一些15或23的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）参考答案2009解：把一个正方形分割成11个小正方形：图2分把一个正三角形分割成4个小正三角形：图a3分把一个正三角形分割成6个小正三角形：图b5分把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形：图c图e图d8分把一个正三角形分割成（）个小正三角形的分割方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合，把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正三角形，从而把一个正三角形分割成12个、13个、14个小正三角形，依次类推，即可把一个正三角形分割
22、成（）个小正三角形10分2010解：3个； 1分验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程： 整理得：， 可以找到两组适合方程的正整数解为和3分结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌5分猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？6分验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程
23、：，整理得：，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为.8分结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.）10分2011解：类比应用（1）是正整数且， 即小丽购买商品的平均价格比小颖的高。（2）由图知，即，。第一个矩形的周长大于第二个矩形的周长。 联系拓广设图的捆绑绳长为，则设图的捆绑绳长为，则设图的捆绑绳长为，则（由式子观察得出，也可得分。），即，所以第三种捆绑方法用绳最长，第二种最短。20122013解析：xxbxxxxbxbx
24、b第23题【研究速算】归纳提炼：十位数字加1与十位数字加相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果。【研究方程】归纳提炼：四个长为xb，宽为x的矩形，构造右图，则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：(xxb）2或四个长为xb，宽为x的矩形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积。即（xxb）24x(xb)b2x(xb)c，（xxb）24cb2（2xb）24cb2x0，x【研究不等关系】归纳提炼：画长为2m，宽为2n的矩形，并按右图方式分割。变形：ab(2m)( 2n)分析：图中大矩形的面积可表示为(2m)( 2n)；阴影部分的面积可表示为2m与2n的和。由图形的部分与整体的
25、关系可知，(2m)( 2n)(2m)( 2n)即ababnm1第23题1112014探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m1）即可得解；拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为
26、：+，最后的空白部分的面积是，根据第n次分割图可得等式：+=1，两边同除以3，得+=；解决问题：+=1，+=；故答案为：+=1，；拓广应用：+，=1+1+1+1，=n（+），=n（），=n+2015解：探究二 （1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形 若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当时，789102122 K-1kk问题应用：2016=4504 所以k=504，则可以搭成k-1=503个不同的等腰三角形； 6722016解：探究三：边长为18，19的正方形分割示意图，如图所示，问题解决：若5n10时，如探究一若n10，设n=5a+b，其中a、b为正整数，5b10，则图形如图所示，均可将正方形分割为一个5a5a的正方形、一个bb的正方形和两个5ab的矩形显然，5a5a的正方形和5ab的矩形均可分割为1x5的矩形，而bb的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些15或23的矩形即可问题解决：边长为61的正方形分割为一些15或23的矩形，如图所示，
