1、 江苏13市2011年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题解答题1.（苏州10分）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C点D是抛物线的顶点 (1)如图，连接AC，将OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值； (2)如图，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是
2、否也成立？请你积极探索，并写出探索过程； (3)如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由【答案】解：（1）由， 令，解得，。 令，解得，。 点A、B、C的坐标分别为（2，0），（4，0），（0，）。 该抛物线的对称轴为。 如图，设该抛物线的对称轴与轴的交点为点M，则由OA=2得AM=1。 由题意，得OA=OA=2，OA=2AM，OAM=600。 OAC=CAO=600。OC=，即。 （2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论仍然成立
3、。 如图，若点P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM， 点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上， PB4，PC4，PCPB。又PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD。此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形。设点P是边FG上的任意一点（不与点G重合），点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），FG=3，GB=。3PB 。PC4，PCPB。又PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD。此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形。（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，如
4、图，点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，PA=PB。当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形。点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，a），点P的坐标是（3，），由PC=PD得PC2=PD2，整理得，解得。显然满足题意。当是一个大于3的常数时，存在一个正数，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形。【考点】二次函数综合题，,图形的翻转，含300角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，解一元二次方程。【分析】(1)先利用点在抛物线上，点的坐标满足方程和含300角的直角三角形中300角所对的直角边是斜边一半的性质，求出点A、B、C的坐标，再求出a。
5、(2)分点P在边EF或边FG上两种情况比较四线段的长短来得出结论。(3)因为点A、B是抛物线与X轴的交点，点P在抛物线对称轴上，所以PA=PB。要PA，PB，PC，PD构成一个平行四边形的四条边，只要PC=PD,，从而推出a。2. (无锡10分) 十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案 (简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的15级税率情况见下表：税级现行征税方法草案征税方法月应纳税额x税率速算扣除数月应纳税额x税率速算扣除数1x50050x1 500502500x200010251
6、500x45001032000x5000151254500x90002045000x20000203759000x3500025975520000x4000025137535000x55 000302725 注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额 “速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：方法一：按13级超额累进税率计算，即5005+150010十60015=265(元)方法二：用“月应纳税额x适用税率一速算扣除数”计算，即260015一l25=265
7、(元)。(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；(2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元?(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不 变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元?【答案】解: (1)75, 525。 (2) 列出现行征税方法和草案征税方法月税额缴个人所得税y:税级现行征税方法月税额缴个人所得税y草案征税方法月税额缴个人所得税y1y25y75225y17575y3753175y625375y12754625y36251275y777553625y86257775y13775 因为1060元在
8、第3税级, 所以有20%5251060， 7925(元) 。 答: 他应缴税款7925元. (3)缴个人所得税3千多元的应缴税款适用第4级, 假设个人收入为k，则有 20%(k2000) 37525%(k3000)975 ， k=19000。 所以乙今年3月所缴税款的具体数额为(190002000)20%3753025(元)。【考点】统计图表的分析。【分析】(1) 当1500x4500时, 应缴个人所得税为；当45003时，延长PM交轴于Q，见图（3）。 此时，SAMP大于情况当3时的三角形面积SAMN。故不存在实数，使得SAMN4SAMP。 综上，当时，SAMN4SAMP。【考点】反比例函数
9、和一次函数的图象与性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】(1)用点B(2，1)的坐标代入即可得值，用待定系数法，求解二元一次方程组可得直线的解析式。 (2)点P(，1)在直线2上，实际上表示了点是直线2和的交点，这样要求证PMBPNA只要证出对应线段成比例即可。 (3)首先要考虑点P的位置。实际上，当3时，易求出这时SAMPSAMN，当3时，注意到这时SAMP大于3时的三角形面积，从而大于SAMN。所以只要主要研究当13时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用表示），然后求出面积表达
10、式，代入SAMN4SAMP后求出值。6.（泰州12分）在平面直角坐标系O中，边长为（为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在轴正半轴上运动，顶点B在轴正半轴上运动（轴的正半轴、轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。（1）当BAO45时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在轴正半轴上、点B在轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；（3）设点P到轴的距离为，试确定的取值范围，并说明理由。【答案】解：（1）当BAO45时，四边形OAPB为正方形。 OAOBcos45=。P点坐标为（，）。 （2）作DE轴于E,PF 轴于F, 设A点坐标为（，0），B点
11、坐标为（0，）， BAODAEBAOABO90，DAEABO。 在AOB和DEA中， ， AOB和DEA（AAS）。 AE0B，DEOA。 D点坐标为（，）。 点P为BD的中点，且B点坐标为（0，） P点坐标为（,）。PF=OF= 。 POF=45。 OP平分AOB。 即无论点A在轴正半轴上、点B在轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上。（3）当A，B分别在轴正半轴和轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为 。 则045 ， PFPAcos cos 。045 cos 1 【考点】正方形的性质, 特殊角三角函数值, 全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质。【分析】 根据已知条件, 用特殊角三
12、角函数值可求。 （2）根据已知条件, 假设A点坐标为（，0）, B点坐标为（0，）并作DE轴于E,PF 轴于F, 用全等三角形等知识求出点D、P、E、F的坐标(用，表示), 从而证出PFOF, 进而POF45.因此得证。 （3）由（2）知OPF45，故0OPA45，cosOPA1, 在RtAPF中PFPAcosOPA，从而得求。7.（扬州12分）在ABC中，BAC900，ABAC，M是BC边的中点，MNBC交AC于点N动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQMP，设运动时间为秒（）（1）PBM与QNM相似吗？以图为例说明理由；（2）若A
13、BC600，AB4厘米求动点Q的运动速度；设APQ的面积为S（平方厘米），求S与的函数关系式；（3）探求三者之间的数量关系，以图为例说明理由ABPNQCMABCNM图1图2（备用图）【答案】解：（1）PBMQNM 。理由如下： 如图1，MQMP，MNBC ，。，。PBMQNM（2），cm。又MN垂直平分BC，cm。，4 cm。设Q点的运动速度为cm/s当时，如图，由（1）知PBMQNM，即。当时，如图2，同样可证PBMQNM ，得到。综上所述，Q点运动速度为1 cm/sAB4 cm，cm，由勾股定理可得，AC12 cm。ANACNC1284 cm 当时，如图1，AP，AQ。当时，如图2，AP,
14、 AQ,。综上所述，。 （3）.。理由如下：如图3，延长QM至D，使MDMQ，连结BD、PD。MQMP，MDMQ，PQPD。又MDMQ，BMDCMQ，BMCM，BDMCQM（SAS）。BDCQ，MBDC。BDAC。又，。在中，即。【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，列函数关系式，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）可以证明两个三角形中的两个角对应相等，则两个三角形一定相似。 （2）由于ABC600，AB4厘米，点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动，故点P从点B出发沿射线BA到达点A的时间为4秒，从而应分两种情况和分别讨论。分两种
15、情况和，把AP和BP分别用的关系式表示，求出面积即可。 （3）要探求三者之间的数量关系就要把放到一个三角形中，故作辅助线延长QM至D，使MDMQ，连结BD、PD得到PQPD，BDCQ，从而在，从而得证。8.（盐城12分）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点A，且与轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC轴于点C，过点B作直线l轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
16、当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）根据题意，得，解得，点A的坐标为(3，4) 。令，得。点B的坐标为（7，0）。（2）当P在OC上运动时，0t4。由SAPRS梯形COBASACPSPORSARB8，得(37)43(4t) t(7t) t48整理，得t28t120, 解之得t12，t26（舍去）。 当P在CA上运动时，4t7。由SAPR (7t) 48，得t3（舍去）。 当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8。 当P在OC上运动时，0t4.，此时直线l交AB于Q。AP
17、，AQt，PQ7t。当AP AQ时，（4t）2322(4t)2，整理得，t28t70，解之得t1，t7(舍去) 。当APPQ时，（4t）232(7t)2，整理得，6t=24.，t4(舍去) 。当AQPQ时，2（4t）2(7t)2，整理得，t22t170 解之得t=13 (舍去)。当P在CA上运动时，4t7，此时直线l交AO于Q。过A作ADOB于D，则ADBD4。设直线l交AC于E，则QEAC，AERDt4，AP7t.。由cosOAC ，得AQ (t4)。当APAQ时，7t (t4)，解得t 。当AQPQ时，AEPE，即AE AP，得t4 (7t)，解得t 5。当APPQ时，过P作PFAQ于FA
18、F AQ (t4)。在RtAPF中，由cosPAF ，得AF AP，即 (t4) (7t)，解得t 。综上所述，t1或 或5或 秒时，APQ是等腰三角形。 【考点】一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定。【分析】（1）联立方程与和即可求出点A的坐标，令即可得点B的坐标。 （2）只要把三角形的面积用t表示，求出即可。应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况。 只要把有关线段用t表示，找出APAQ，APPQ，AQPQ的条件时t的值即可。应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线l与AB相交）和P在CA上运动（此时直线l与AO相交）时APA
19、Q，APPQ，AQPQ的条件。9.（淮安12分）如图，在RtABC中，C90，AC8，BC6，点P在AB上，AP2。.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为秒（0），正方形EFGH与ABC重叠部分面积为S. （1）当1时，正方形EFGH的边长是 ；当3时，正方形EFGH的边长是 ；（2） 当02时，求S与的函数关系式；（3） 直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，S最
20、大？最大面积是多少？【答案】解：(1)2；4。 (2) 求点H在AC上时的值（如图1）。 EPPF1， 正方形EFGH中，HEEF2 。 又AP2，AEAPEP2。 又EFGH是正方形，HEAC90。 又AA，ABCAHC。 ，。 求点G在AC上时t的值（如图2）。 又EPPF1 ，正方形EFGH中，GFEF2 。 又AP2，AFAPPF2 。 仿上有，ABCAGF。 ，。 因此，02分为三部分讨论： 错误！未找到引用源。当0时（如图3），S与的函数关系式是： (2)242； 错误！未找到引用源。当时（如图4），S与的函数关系式是： 4t22-(2) 2 2； 错误！未找到引用源。当2时（如图
21、5），求S与t的函数关系式是： SSARF SAQE =(2) 2 (2) 2 3 。 综上所述，S与的函数关系式为 S。（3）当时，S最大，最大面积是。【考点】图形变换问题，正方形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】(1) 正方形EFGH的边长=EPPF。 当1时，EPPF1+122。 当3时，EPPF（12）12 2624。（2）要求02时，S与的函数关系式，要考虑正方形EFGH的上边HG与ABC的位置关系，即EF在ABC内，EF与ABC的AC边相交，EF在ABC外。这样就要先求临界点时的值。在求解过程中，反复应用相似三角形对应边的相似比，即能写出用表示的相关边长，从
22、而应用面积公式得出S与的函数关系式。（3）考虑到当28时（在RtABC中， ，PB8），正方形EFGH以边长为4而不再变化，此期间才有S的最大。这样要求当为何值时，S最大，先要求S与的函数关系式，再求当为何值时，S最大和S的最大值：AE2，TE，HT,HS，FB8，YF， GY， XG， 当时，最大。最大值为。10.（宿迁12分）如图，在RtABC中，B90，AB1，BC，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点
23、G，连接AG，试猜想EAG的大小，并说明理由【答案】解：（1）在RtABC中，由AB1，BC得 AC BCCD，AEAD AEACAD。 （2）EAG36，理由如下：FAFE1，AEAG，。又AEGFEA，EAGAEF。AEGFEA。AGFD。FAGF。FAGEAG。由三角形内角和定理，得5F180，EAGF36。【考点】勾股定理，相似三角形的判定和性质，等量代换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】根据在RtABC中利用勾股定理求得AC，根据BCCD，AEAD求得AEACAD即可。 （2）由AEGFEA求出GE从而求出FG的长，证得AGFD，进而证得FAGEAGF。从而根据三角形内角
24、和定理即可求。11.（连云港12分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论（S表示面积） 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC经探究知SABC，请证明问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC请探究与S四边形ABCD之间的数量关系 问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等
25、分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC若S四边形ABCD1，求 问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式【答案】解：问题1：P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC， P1R1P2R2BCAP1 R1AP2R2ABC，且面积比为1：4：9。ABC图2P1P2R2R1DQ1Q2 SABCSABC问题2：连接Q1R1，Q2R2，如图，由问题1的结论，得 SABC ，SACD S四边形ABCD。 由P1，P2三等分边A
26、B，R1，R2三等分边AC，Q1，Q2三等分边DC， 可得P1R1:P2R2Q2R2：Q1R11：2，且P1R1P2R2，Q2R2Q1R1。 P1R1AP2R2A，Q1R1AQ2R2A。P1R1Q1P2R2 Q2。 由结论（2），可知 S四边形ABCD 问题3：设A，B，设C， 由问题2的结论，可知A，B。 AB(S四边形ABCDC)(1C)。 又C(ABC)，即C(1C)C， C，即 问题4：S1S4S2S3【考点】平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等量代换。【分析】问题1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得。 问题2：由问题1的结果和所给结论
27、（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比，可得。 问题3：由问题2的结果经过等量代换可求。 问题4：由问题2可知S1S4S2S3。12.（徐州12分）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（）。（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标及PEF的面积；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）函数的图象顶点为C
28、（）， 函数关系式可表示为。 （2）设直线PE的函数关系式为。 由题意知四边形ACBD是菱形，故直线PE必经过菱形的中心M。由P（0， 1），M（1， 0）得： ，解得。 直线PE的函数关系式为。 联列方程组，得：解之，得 。得点E的坐标为（3， 2）。 （3）假设存在这样的点F，设。 ， OMPFPG。 又POMFGP，POMFGP。 又OM1，OP1，GPGF，即。 解得。 点F的坐标为（1，2）。 以上各步皆可逆，故点F（1，2）即为所求。【考点】二次函数的应用，菱形的性质，待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）把二次函数的顶点坐标代入二次函数的顶点式可直接写出的函数关系式。 （2）要求点E的坐标，就要先求将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形的直线PE。要求直线PE即用已知两点P，M的坐标求得。 （3）根据三角形相似的性质先求出GPGF，求出F点的坐标，从而而求得PEF的面积。 第28页
