1、立体几何专练1、如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.(I)证明：OF/平面； （思考证线面平行的方法）(II)求三棱锥的体积. （思考一下锥体的体积公式）2、如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，是上任意一点(1) 求证：；(2) 当面积的最小值是9时，证明平面（线面垂直的证明，试试用两种方法做）3如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2（1）求证：BCPC； （2）求证：EF/平面PDC； （3）求三棱锥BAEF的体积。4、如图所示,三棱柱中,
2、平面平面,又,与相交于点.()求证:平面;()求与平面所成角的正弦值;5、如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，（）求证：平面；（）设点为中点，求二面角的余弦值6、已知正四棱锥PABCD中，底面是边长为2的正方形，高为M为线段PC的中点() 求证：PA平面MDB；() N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值7、如图，在矩形ABCD中，AB5，BC3，沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BCA1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值. 8、如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段A
3、D上，且CEAB。（1）求证：CE平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积9、如图，在直三棱柱中，90,是的中点. （）求异面直线与所成的角；（）若为上一点，且，求二面角的大小.10、如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且ABPD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体 （1）求证：平面PAB平面PCD； （2）求PE与平面PBC所成角的正弦值11、如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，是线段的中点。(1)
4、求异面直线与直线所成的角的大小；(2)求多面体的表面积。12、如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA面ABCD，PA=2,过点A作AEPB,AFPC,连接EF（1）求证：PC面AEF；（2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体PAEFG的体积。13、如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，是上任意一点。（1）求证：；（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由14、如图，已知直四棱柱，底面为菱形，为线段的中点，为线段的中点 （）求证：平面；（）当的比值为多少时，平面，并说明理由15
5、、如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，交 AC 于点 M，平面，AC4，EA3，FC1（I）证明：EMBF；（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值16、已知四棱锥的底面为菱形，且，,为的中点.（）求证：平面；（）求点到面的距离答 案1、如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.(I)证明：OF/平面；(II)求三棱锥的体积.解：（I）四边形ABCD为菱形且， 是的中点 . 又点F为的中点, 在中，, 平面，平面 , 平面 （II）四边形ABCD为菱形, , 又，且平面 , 平面, 平
6、面 , 平面平面.在平面内过作，则，是与底面所成的角，.在， 故三棱锥 底面上的高为，又，所以，三棱锥的体积 .2、如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，是上任意一点(1) 求证：；(2) 当面积的最小值是9时，证明平面解：（1）证明：连接，设与相交于点。 因为四边形是菱形，所以。 又因为平面，平面为上任意一点，平面，所以（2）连由（I），知平面，平面，所以在面积最小时，最小，则，解得 由且得平面则，又由 得，而，故平面。3、在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2（1）求证：BCPC； （2）求证：EF/平面PDC； （3）求三棱
7、锥BAEF的体积。解：（）四边形ABCD是正方形BCDC 又PD面ABCD, BC面ABCDBCPD, 又PDDC=D BC面PDC 从而BCPC（）取PC的中点G，连结EG，GD，则四边形EFGD是平行四边形。 EF/GD, 又EF/平面PDC。（）取BD中点O，连接EO，则O/PD，PD平面ABCD，EO底面ABCD， 4、如图所示,三棱柱中,平面平面,又,与相交于点.()求证:平面;()求与平面所成角的正弦值;【解】()由题知,所以为正三角形,所以又因为,且，所以为正三角形,又平行四边形的对角线相交于点,所以为的中点,所以，又平面平面,且平面平面,且平面，所以平面()解法一连结交于,取中
8、点,连结,则,又平面 所以平面, 所以直线与平面所成角为. 而在等边中,所以,同理可知,在中,所以中,.所以与平面所成角的正弦值为. 解法二由于,平面,所以平面, 所以点到平面的距离即点到平面的距离,由平面,所以到平面的距离即, 也所以与平面所成角的正弦值为, 而在等边中,所以,同理可知,所以,又易证平面,所以,也所以, 所以，即与平面所成角的正弦值为.5、如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，（）求证：平面；（）设点为中点，求二面角的余弦值(1)证明：，则，则得，面平面，面平面平面（II）过作交于点，连,则为二面角的平面角，在中，则二面角的余弦值为6、已知正四棱锥PABCD中，底面是边长为
9、2的正方形，高为M为线段PC的中点() 求证：PA平面MDB；() N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值()证明：在四棱锥PABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO由条件可得PO，AC2，PAPC2，COAO因为在PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，所以OM为PAC的中位线，得OMAP，又因为AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA平面MDB () 解：设NCMOE，由题意得BPBC2，且CPN90因为M为PC的中点，所以PCBM，同理PCDM，故PC平面BMD所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，MEC为直线CN与平面BMD所成的角，又因为OMPA，所以PNC
10、MEC在RtCPN中，CP2，NP1，所以tanPNC，故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为27、如图，在矩形ABCD中，AB5，BC3，沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BCA1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.解：(1)因为A1O平面BCD，BC平面BCD，BCA1O，因为BCCD，A1OCDO，BC面A1CD.因为A1D面A1CD，BCA1D.(2)连结BO，则A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.因为A1DBC，A1DA1B，A1BBCB，A1D面A1BC.A1C面A1BC，A1DA1C.在R
11、tDA1C中，A1D3，CD5，A1C4.根据SA1CDA1DA1CA1OCD，得到A1O，在RtA1OB中，sinA1BO.所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为.8、如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB。（1）求证：CE平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积解：（I）证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE，因为ABAD，CEAB，所以CEAD又PAAD=A，所以CE平面PAD（II）由（I）可知CEAD在RtECD中，DE=CD， cos45=1，CE=CD，si
12、n45=1，又因为AB=CE=1，ABCE所以四边形ABCE为矩形所以=又PA平面ABCD，PA=1所以9、如图，在直三棱柱中，90,是的中点.（）求异面直线与所成的角；（）若为上一点，且，求二面角的大小.解法一：（）取的中点，连，则，或其补角是异面直线与所成的角.设，则，.在中，.异面直线与所成的角为.（）由（）知，.因为三棱柱是直三棱柱，平面，又?.?.即得，所得是的中点.连结，设是的中点，过点作于，连结，则.又平面平面?平面.而，是二面角的平面角.由得.即二面角的为.所求二面角为.解法二：（）如图分别以、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设，则、.，.异面直线与所成的角为.（）设
13、，则，由得，知，.设平面的一个法向量为，则，取，得.易知平面的一个法向量，.二面角的大小为. （）.10、如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且ABPD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体 （1）求证：平面PAB平面PCD； （2）求PE与平面PBC所成角的正弦值解：（1）证明：，又二面角P-AB-D为 ，又AD=2PA 有平面图形易知：AB平面APD，又，且 ，又，平面PAB平面PCD （2）设E到平面PBC的距离为，AE/平面PBC 所以A 到平面PBC
14、的距离亦为 连结AC，则，设PA=2 = ，设PE与平面PBC所成角为 11、如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，是线段的中点。(1)求异面直线与直线所成的角的大小；(2)求多面体的表面积。解：（1）因为，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）。连结，在中，所以，又，所以，所以是等边三角形，所以，即异面直线与所成的角为；（2） ，。12、如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA面ABCD，PA=2,过点A作AEPB,AFPC,连接EF（1）求证：PC面AEF；（2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体PAEFG的体积。解析：（1）证明：PA面AB
15、CD,BC在面内， PABC BABC,BCBA=B,BC面PAB，又AE在面PAB内 BCAEAEPB,BCPB=B, ,AE面PBC又PC在面PBC内AEPC, AEPC, AEAF=A, PC面AEF （2）PC面AEF, AGPC, AGDC PCDC=C AG面PDC, GF在面PDC内AGGFAGF是直角三角形，由（1）可知AEF是直角三角形，新课标第一网 AE=AG=,EF=GF=, 又AF=,PF=, 13、如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，是上任意一点。（1）求证：；（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请
16、说明理由解：（1）证明：连接，设与相交于点。 因为四边形是菱形，所以。 又因为平面，平面 为上任意一点，平面，所以（2）连由（I），知平面，平面，所以在面积最小时，最小，则，解得 由且得平面则，又由 得，而，故平面作交于点，则平面,所以就是与平面所成角.在直角三角形中，所以，设，则。由得。由得，即14、如图，已知直四棱柱，底面为菱形，为线段的中点，为线段的中点 （）求证：平面；（）当的比值为多少时，平面，并说明理由（）证明：连接,由题意可知点为的中点因为点为的中点在中，分又面，分（）当时， 分四边形为菱形，且，四棱柱为直四棱柱，四边形为矩形又，四边形为正方形， 10分在直四棱柱中，四边形为菱形
17、，又，13分,15、如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，交 AC 于点 M，平面，AC4，EA3，FC1（I）证明：EMBF；（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值，即（也可由勾股定理证得）， 平面而平面， 6分（2）延长交于，连，过作，连结由（1）知平面，平面，而，平面平面，为平面与平面所成的二面角的平面角 8分在中，由，得，则是等腰直角三角形，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为16、已知四棱锥的底面为菱形，且，,为的中点.（）求证：平面；（）求点到面的距离（I）证明：连接 为等腰直角三角形为的中点 2分 又 是等边三角形 ，4分又 ，即 6分（II）设点到面的距离为 8分 ,到面的距离 10分 点到面的距离为
