1、华二附中高二期中考试数学试卷2023.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过3次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 种2书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 种不同的插法（具体数字作答）3若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则n 47个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有 种不同的分配方法（用数字作答）5A、B、C、D、E五名同学站成一排合影，若A不站在两端，B和C相邻，则不同的站队方式共有 种（用数字作答）6设函数在区间上严格减，则实数a的
2、取值范围是 76位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有 种8已知在四面体V-ABC中，则该四面体外接球的表面积为 9用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中满足的五位数有n个，则在的展开式中，的系数是 （用数字作答）10已知函数的导函数的图像如图所示，给出以下结论：在区间上严格增；的图像在处的切线斜率等于0；在处取得极大值；在处取得极小值正确的序号是 11平面直角坐标系xOy中，已知点，若直线l：上总存在P、Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是 12设、是函数的两个极值点，若，则a的最小值为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314
3、题每题4分，第1516题每题5分）13下列求导运算正确的是（ ）ABCD14函数在上的图像大致为（ ）ABCD15设，则（ ）A80B242C405D81016点P为抛物线C：准线上的点，若存在过P的直线交抛物线C于A、B两点，且，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）A准线上的所有点都不是“点”B准线上的所有点都是“点”C准线上仅有有限个点是“点”D准线上有无穷多个点（不是所有的点）是“点”三、解答题（本大题共有4题，满分78分）17如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线AC、BD交于点O，OP底面ABCD，设点M满足（1）求直线PA与平面BDM所成角的正弦值；（2）求点P
4、到平面BDM的距离18已知（1）求展开式中含的项的系数；（2）设的展开式中前三项的二项式系数的和为M，的展开式中各项系数的和为N，若，求实数a的值19已知直线l：与圆C：相交于A、B两点（1）若，求k；（2）在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由20已知椭圆C：的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点D、E，以线段DE为直径的圆经过原点，求实数k的值；（3）设A、B为椭圆C的左、右顶点，H为椭圆C上除A、B外任意一点，线段BH的垂直平分线分别交直线BH和直线AH于点P和点Q，分别过点P和Q
5、作x轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值21已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间上有零点，求k的值；（3）记函数，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数m的最大值华东师大二附中2022学年第二学期期中考试卷高二数学参考答案（考试时间：120分钟 卷面满分：150分）一、填空题（本大题共有12题 满分54分 第16题每题4分 第712题每题5分）1【答案】6解：根据题意 做出树状图 分析可得 共有6种不同的传递方式2【答案】90解：原来的8本书 加上新买的2本书 随意排列共有种排法 原来的8本书随意排列共有两种排法 而原来特有的顺序只有1种 所以共有种方法故
6、答案为903【答案】10解：因为的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等 所以 解得故答案为104【答案】15解：7个志愿者的名额分配给3个班 每班至少一个名额 采用隔板法可知 即从6个空中插入2个隔板 共有种不同分法故答案为：155【答案】24解：B C相邻 将B C排在一起并看成一个整体 有种方法 A不站两端 有2种方法 D E与BC 进行3个元素的全排列 有种方法 故不同的站队方式共有种故答案为246【答案】解： 令 得 而因为函数在区间上单调递减 故 故7【答案】540解：将6人分成3组 可分成3 2 1和4 1 1和2 2 2共3类 则不同的分配方案有种8【答案】解： V在平面ABC
7、的射影为三角形ABC的外心又 所以三角形ABC的外接圆的半径；设四面体外接球的半径为R 解得所以外接球的表面积为故答案为：9【答案】35解：中用 则 ab与de分别为定序排列 这样的五位数有：个 则的展开式中 的系数为故答案为3510【答案】解：根据的图像可得 在上 仅在处有所以在上单调递减 故错误； 故正确；在区间上没有极值点 故错误；故的图像可知 在上单调递减 在上单调递增 故正确故答案为：11【答案】解：要使得恒成立 则点M在以PQ为直径的圆的内部 点P、Q在直线上 点到直线l：距离 以PQ为直径的圆半径的最小值为 所以PQ的最小值为6 故线段PQ长度的取值范围是故答案为：12【答案】解
8、： 是的两个极值点 是关于x的方程的两根且 又当时 方程不成立 所以 两式作商得到： 所以 令 则 令 则 令 则 所以在上单调递减 所以 所以在上单调递减 则 则所以 令 则恒成立 所以在上单调递减 则 所以 则a的最小值为故答案为：二、选择题（本大题共有4题 满分18分 第1314题每题4分 第1516题每题5分）13【答案】C解： A错误； B错误； C正确； D错误故选：C14【答案】A解：记 在上单调递增 又 当时 即 又 当时 故排除B C D故选：A15【答案】D解：将两边求导 可得 可得x的奇次方的系数为负数 偶次方的系数为正数 令可得 故故选D16【答案】B解：由题意可知抛物
9、线C：的准线方程为： 因为 所以A为PB中点 设 则A B在上 且 消去m得 整理得关于n的方程 恒成立 方程恒有实数解即对于任意的P点 都存在m 使得 故选：B三、解答题（本大题共有4题 满分78分）17（本题满分14分 第1小题满分6分 第2小题满分8分）【答案】解：（1）平面ABCD是菱形 又OP底面ABCD AC BD面ABCD 所以 所以AC BD OP两两垂直 以O为坐标原点 以OA OB OP为坐标轴建立空间直角坐标系O-ABP如图所示；则 设平面BDM的法向量 则 令 则 平面BDM的一个法向量 直线PA与平面BDM所成角的正弦值为（2） P到平面BDM的距离18（本题满分14
10、分 第1小题满分6分 第2小题满分8分）【答案】解：（1）的展开式的通项为（ 1 2 3 4 5）令 则 展开式中含的项为 展开式中含的项的系数为80（2）由题意可知 解得或19（本题满分14分 第1小题满分6分 第2小题满分8分）【答案】解：（1）因为圆C： 所以圆心坐标为 半径为2 因为 所以C到AB的距离为 由点到直线的距离公式可得： 解得 （2）设 l的方程为 则 得 因为 所以 设存在点满足题意 即 所以 因为 所以 所以 解得所以存在点符合题意20（本题满分18分 第1小题满分4分 第2小题满分6分 第3小题满分8分）【答案】（）解：因为 所以 解得 所以椭圆C的方程为；（）解：设
11、 联立方程组 可得 则由韦达定理可得 则 又以线段DE为直径的圆经过原点 所以 即 解得；（）证明：由题意 设 则直线BH的方程为 直线AH的方程为 由中点坐标公式可得 所以直线PQ的方程为 联立直线PQ和直线AH的方程可得 所以 所以线段MN的长为定值21（本题满分18分 第1小题满分4分 第2小题满分6分 第3小题满分8分）【答案】解：（1） 所以切线斜率为 又 切点为 所以切线方程为（2）令 得 当时 函数单调递减；当时 函数单调递增 所以的极小值为 又 所以在区间上存在一个零点 此时；因为 所以在区间上存在一个零点 此时综上 k的值为0或4（3） 若 则恒成立 所以两根为 设 则 令 则 在上单调递减； 当时 即实数k的最大值为
