1、汪汪 晓晓 勤勤华东师范大学数学系华东师范大学数学系2012-04-24数学史融入初中数学教学数学史融入初中数学教学的的实践与价值实践与价值数学史融入初中数学教学的实践与价值v 增加学生的学习动机；增加学生的学习动机；v 改变学生的数学观；v 因为知道并非只有他们自己有困难，因而会感到安慰；v 使数学不那么可怕；使数学不那么可怕；v 有助于保持对数学的兴趣；有助于保持对数学的兴趣；v 给予数学以人文的一面;John Fauvel（1991）数学教学中为数学教学中为何何要运用数学史？要运用数学史？数学史融入初中数学教学的实践与价值v 有助于解释数学在社会中的作用有助于解释数学在社会中的作用；v
2、有助于发展多元文化进路；v 历史发展有助于安排课程内容顺序；v 告诉学生概念如何发展，有助于他们对概念的理解；告诉学生概念如何发展，有助于他们对概念的理解；v 通过古今方法的对比，确立现代方法的价值；通过古今方法的对比，确立现代方法的价值；v 提供探究的机会；提供探究的机会；v 过去的发展障碍有助于解释今天学生的学习困难；过去的发展障碍有助于解释今天学生的学习困难；v 培养优秀生的远见卓识；v 提供跨学科合作的机会。数学教学中为数学教学中为何何要运用数学史？（续）要运用数学史？（续）数学史融入初中数学教学的实践与价值类类 别别描描 述述 Tzanakis&Arcavi附加式附加式展示有关的数学
3、家图片，讲述逸闻趣事等，去掉后对教学内容没有什么影响 直接运用法直接运用法复制式复制式直接采用历史上的数学问题、解法等直接运用法直接运用法顺应式顺应式根据历史材料，编制数学问题重构式重构式借鉴或重构知识的发生、发展历史借鉴或重构知识的发生、发展历史间接运用法间接运用法数学史融入初中数学教学的实践与价值&附加附加式式&复制式复制式&顺应式顺应式&重构式重构式Archimedes(287 B.C.-212 B.C.)案例案例 1 幂的概念幂的概念地球上共有多少顆沙粒？无理数的由来 不合常理的数？不合常理的数？没有秩序的没有秩序的数？数？没有理由的没有理由的数？数？在线教师的解释在线教师的解释 古时
4、候常用通假字，而“元”通“源”，解方程其实就是“追本溯源”。“元”也就是变量，一元方程含一个变量，二元方程含两个变量。符号代数的创始人韦达曾用元音字母A、E、I等表示未知数，故未知数叫“元”。“元”是个量词，与“一元钱”、“二元钱”中的“元”相类似。“元”是明代徐光启翻译几何原本时创用的一个数学术语。“元”是从日本传入中国的一个数学术语。“元”不过是人们约定俗成的一个数学术语。真理：她的标志是永恒 一旦愚昧的世界见到她的光芒毕达哥拉斯定理今天依然正确犹如初次被传授给兄弟会一样女神们以这束光芒相馈赠毕达哥拉斯回祭一份厚礼一百头牛，烤熟切片 表达对她们的无限感激Heinrich Heine(179
5、7-1856)从那一天起，当它们猜测一个新的真理会被揭去面纱在那恶魔似的围栏里，一阵阵哀鸣立即爆发无力阻挡真理发现者的暴行毕达哥拉斯让它们永不安宁它们瑟瑟颤抖着绝望地闭上了眼睛 毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理案例 5 无尽的哀鸣Henry Perigal(1801-1898)墓碑上的勾股定理数学史融入初中数学教学的实践与价值&附加式附加式&复制式复制式&顺应式顺应式&重构式重构式案例案例6 6 用逐步逼近的思想方法求用逐步逼近的思想方法求2 2的平方根的平方根12113221212aaaaaaaaaaa若 为的近似值，则，为的更精确的近似值。海伦：平方根近似值求法海伦：平方根近似值求法案例案例7
6、 勾股定理的应用勾股定理的应用 已知已知a，b+c，求，求b，c 九章算术九章算术勾股章：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何。”bcabcb221acb案例案例8 勾股定理的应用勾股定理的应用 已知a，b+c，求b，c 婆什迦罗I的问题：长方形水池的长和宽分别为12和6，东北角有鱼，西北角有苍鹭。鱼惧怕苍鹭，沿对角线逃到南侧，为沿池边疾行的苍鹭所捕。已知苍鹭和鱼的行程相等，问：两者行程几何？案例案例9 相似三角形的性质相似三角形的性质例3 今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问：井深几何？数学史融入初中数学教学的实践与价值&附加式附加式&复制式复制式&
7、顺应式顺应式&重构式重构式案例案例10 用字母表示数用字母表示数案例案例10 用字母表示数用字母表示数 三角形数112312nn n 案例案例10 用字母表示数用字母表示数正方形数案例案例10 用字母表示数用字母表示数2)12(31nn案例案例10 用字母表示数用字母表示数教师小结(1)数学无处不在，关键是你有没有发现数学的眼睛？(2)形和数可以互相转化。(3)数量关系可以用字母简明地表示出来，用字母来表示数是数学中很重要的一个思想方法，在接下来的数学学习中我们将继续体会字母表示数的优越性。(4)毕氏学派还用字母表示出了各种形数的规律，有兴趣的同学可以在课下来跟老师探讨。案例案例11 一元二次
8、方程的应用一元二次方程的应用如图，有一所正方形的学校，南门和北门各开在南、北面围墙的正中间。在北门的正北方20米处有一颗大榕树。一个学生从南门出来，朝正南方走14米，然后转向西走1775米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校每一面围墙的长度是多少？试列出方程。Thales（前6世纪）行船测距案例 12 古老的几何定理有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。案例 12 古老的几何定理在抗美援朝战争中，一名志愿军战士利用泰勒斯的方法测量敌营的距离。案例 12
9、 古老的几何定理学生在课上演示泰勒斯的方法学生在课上演示泰勒斯的方法 案例 12 古老的几何定理学生在课上给出的测量全等三角形方案学生在课上给出的测量全等三角形方案 案例 12 古老的几何定理S1:所有的话题都让学生感兴趣，提高了上课的效率，多年之后故事会永远留在头脑中。在校外上辅导班时，用类似的问题去问别的学校的同学，他们都对“全等三角形如何用”没概念，感觉很骄傲，有种博士生的感觉，在向其他同学讲授时，很津津乐道。S2:不会影响学习成绩，更不会影响学习时间。这样的课在我们理论的基础上多一种知识的了解，而且这个了解不是可有可无的而是有多有少的。在正课当中，无论从哪个角度讲解都会让我们对知识印象
10、更深，增加对知识的理解，当然一定要以正课为主。案例 12 古老的几何定理T1：这样的课教师和学生都很感兴趣，很生动，学生的积极性完全调动起来，是数学与实际结合最好的范例。T2：最好能资源共享，多展示几节这样的课，让学生更好地体会数学与生活紧密相关，让学生发现生活中的数学问题，并用学过的知识解决它。如果所有的课都能以这种形式来上，那么学生一定都会喜欢数学课!相似三角形相似三角形的应用的应用案例案例13 相似三角形的应用相似三角形的应用萨默斯隧道长:1036 m宽:1.8 m高:1.8 mENTRANCEENTRANCETUNNELMOUTAINNJPHGFEDCLMKBA问题:欧帕里诺斯是如何设
11、计隧道的？数学史融入初中数学教学的实践与价值&附加式附加式&复制式复制式&顺应式顺应式&重构式重构式案例14 重演历史平方差公式平方差公式左：全国教材左：全国教材 华师大版华师大版右：上海教材右：上海教材负负薪薪余余日日聊聊观观周周髀髀 形诡而量均形诡而量均体殊而数齐体殊而数齐 案例14 平方差公式案例14 平方差公式22101010102210+210-222102(102)(102)12 8案例14 平方差公式练习：求下列乘积(1)1005995(2)291309(3)811789(4)20101990案例14 平方差公式问题：任一长方形的面积是否都等于某两个正方形面积的差？aabbbba
12、aa-ba+b22ababab案例15 沿着古人的足迹一元二次方程一元二次方程概念的引入概念的引入左：全国教材左：全国教材 华师大版华师大版右：上海教材右：上海教材案例15 沿着古人的足迹例例 1 (1)矩形面积为12，宽为长的3/4。问该矩形的长、宽各为多少？（Moscow纸草书）(2)已知矩形面积为12，长比宽多4。问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。案例15 沿着古人的足迹例例 2 (1)直角三角形一直角边是另一直角边的2 1/2倍，面积为20。两直角边各为多少？(2)直角三角形两条直角边之和为13，面积为20。两直角边各为多少？案例15 沿着古人的足迹例例 3(1)长为30英
13、尺的梯子竖直靠在墙上，当梯子的顶端沿墙向下滑动6英尺时，底端离墙滑动多远？(2)如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑动6英尺，那么底端将再一次滑动多远？试列出底端再一次滑动的距离所满足的方程。学生学生对对数学史知识的看法数学史知识的看法 通过数学史上的问题，可以了解到数学与现实生活之间的密切联系；数学史展示了解某些定理的起源，有助于更好地理解数学；数学史引人入胜，激发了学习兴趣；通过数学史可以丰富知识，增长见识；数学史陶冶情操、净化心灵；数学史让枯燥的数学课变得轻松；通过数学史可以学习古人的智慧。HPM教学后教师的变化教学后教师的变化J教师的变化 初步形成了自己的教学风格初步形成了自己的教学风格一种
14、超越一种超越。在J教师的HPM教学中，数学史不是摆设，而是改进教学的工具，实践表明，数学史的融入促进了学生的学习，最终也提高他们的学习成绩。一座桥梁一座桥梁。在J教师的课堂上，学生为萨默斯隧道的神奇而惊叹，为泰勒斯的智巧而称奇，为希帕索斯追求真理的执着而震撼，为阿基米德的海边奇思而顿悟，为赵爽的“负薪余日、聊观周髀”而感动，J教师的教学已经在数学和人文之间架起了一座美丽的桥梁。一个视角一个视角。HPM介入教学后，J教师不再“吝惜”概念引入的时间，而常常采用发生教学法，追求自然无痕的境界，学生们在课堂里获得了如沐春风般的愉悦感。HPM教学后教师的变化教学后教师的变化 对学生的认知规律有更深的理解
15、对学生的认知规律有更深的理解HPM介入教学后，J教师经常会在教学中参照历史这面镜子，以历史指导自己的教学。比利时-美国科学史家萨顿（G.Sarton,18841956）说得好：“历史告诉我们，一种工具的采用几乎在每一种情形下都是极其缓慢的。”“用字母表示数”的历史横跨两千多年，直到16世纪末，法国数学家韦达（F.Vite,15401603）才首次用字母来表示任意数。历史启示我们：学生对这一思想的理解必定是一个缓慢的过程，在后续的教学中要慢慢体会，绝不能一蹴而就。只有让学生明白这一点，他们才会有信心把它学好，并充满期待。HPM教学后教师的变化教学后教师的变化 批判教材的能力得到了提升批判教材的能
16、力得到了提升教师从HPM的视角来审视教材，批判能力也得到了提高。以下是她对教材中的全等三角形判定定理的思考。“边边边”则未经证明直接作为定理给出，只在注释中说明：我们将在以后补上关于“三边对应相等的两个三角形全等”的说理。翻阅教参，发现在该节课的“注意事项”中有这样的说法：“边边边”判定方法，教材是直接给出的，在八年级第一学期将对它进行证明。但事实上，教材利用拼接和等腰三角形知识，只对直角三角形全等作了证明，并未进一步说明“边边边”定理。实际上，用拼接和等腰三角形知识说明“边边边”的方法，根本不用等到八年级，按照课本的体例安排，只要学完等腰三角形的知识，在七年级上学期就马上可以说明了。HPM教
17、学后教师的变化教学后教师的变化 拓展课本知识的意识得到了增强拓展课本知识的意识得到了增强用历史的眼光审视教材，J教师常发现其中的不足之处，于是，就常常拓展一些有利于学生理解、体现知识应用、引人入胜的内容。“全等三角形的应用”就是其中一例。从历史上看，全等三角形和相似三角形一样，也源于测量。但教材有相似三角形的应用，却无全等三角形的应用，对两个知识点的处理并不一致。J教师对全等三角形知识作了拓展，结合数学史，增加了一节全等三角形应用课。HPM教学后教师的变化教学后教师的变化教学研究能力得到了提高教学研究能力得到了提高经过两年的行动研究，J教师的教学研究能力有了很大的提高。在数学教学上发表了一篇HPM教学论文，并在上海市教学论文评比中获奖；另一篇论文也在投稿之中。2011年5月，在华东师范大学主办的第四届“数学史与数学教育国际研讨会”上，J教师作了“数学史融入初中数学教学的行动研究”的学术报告，获得与会者的好评。自此，J教师不定期与大学数学教育研究者、研究生以及具有共同爱好的中学数学教师聚会，讨论初中数学中的数学史以及HPM视角下的数学教学设计，J教师如今已经成为国内HPM学术共同体的一员。谢 谢
