1、第五章一元函数的导数及其应用复习第五章一元函数的导数及其应用复习函数的平均变化率函数的平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为:函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y()lim()f xfxx0 x 121)()limf xxx2f(x21xx()limf xx0 x 导数导数基础知识梳理基础知识梳理1导数的概念导数的概念(1)f(x)在在 xx
2、0处的导数处的导数 函数函数yf(x)在在xx0处的瞬时变化率处的瞬时变化率是是 li mx0 yx，称，称其为函数其为函数 yf(x)在在 xx0处的导数，记作处的导数，记作f(x0)或或 ，即，即 f(x0).基础知识梳理基础知识梳理(2)导函数导函数 当当 x 变化时，变化时，f(x)称为称为 f(x)的导函数，的导函数，则则 f(x).2导数的几何意义导数的几何意义函数函数yf(x)在在xx0处的导数的几何处的导数的几何意义，就是曲线意义，就是曲线yf(x)在点在点P(x0，y0)处的处的切线的切线的 ，过点，过点P的切线方程的切线方程为：为：斜率斜率yy0f(x0)(xx0)当点当点
3、Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P P即即x0 x0时时,割线割线PQPQ如果有一如果有一个极限位置个极限位置PT.PT.则我们把直线则我们把直线PTPT称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0 x0时时,割线割线PQPQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T返回返回答案：C例1：若f(x0)3，则 lim x 0f(x0h)f(x0h)h等于()A3C9B6D12【互动探究
4、】等于()f(x0 x)f(x0)x1设函数 f(x)在 x0 处可导，则 lim x 0Af(x0)Bf(x0)Cf(x0)Df(x0)Bfx0(x)f(x0)解析：lim x 0f(x0 x)f(x0)x lim x 0(x)f(x0)，故选 B.考点 2 曲线的几何意义例 2：如图 411，函数 yf(x)的图像在点 P 处的切线方程是 yx8，则 f(5)f(5)_.图 411解析：观察图 411，设 P(5，f(5)，过 P 点的切线方程为yf(5)f(5)(x5)，即 yf(5)xf(5)5f(5)，它与 yx5 重合，比较系数知：f(5)1，f(5)3，故 f(5)f(5)2.基
5、本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e若f(x)=e，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x
6、)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x返回返回导数的运算法则导数的运算法则:法则法则1:1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),),即即:()()()()f xg xf xg x法则法则2:2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:()()()()()()f x g xfx g xf x g x法则法则3:3
7、:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x返回返回1已知已知f(x)ax33x22，若，若f(1)4，则，则a的值等于的值等于()答案：答案：BA.193 B.103 C.163 D.133 2(教材习题改编教材习题改编)已知已知f(x)138xx2，且，且f(x0)2.则则x0_.课堂互动讲练课堂互动讲练求下列函数的导数：求
8、下列函数的导数：【解】【解】(1)法一法一：y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，y24x39x216x4.法二：法二：y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4.(2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(4)y(lnx)(x21)lnx(x21)(x21)2 1x(x21)2xlnx(x21)2 x212x2lnxx(x21)2.(3)(3)y y(3(3x xe ex x)(2(2x x)(e)(e)(3(3x x)e)ex x3 3x x(e(ex x)(2(2x x)3 3x xe
9、ex xln3ln33 3x xe ex x2 2x xln2ln2(ln3(ln31)(3e)1)(3e)x x2 2x xln2ln2.课堂互动讲练课堂互动讲练 (5)yln(3x2)e2x1.(5)yln(3x2)e2x1 ln(3x2)(e2x1)13x2(3x2)e2x1(2x1)33x22e2x1.思路点拨思路点拨(1)验证点验证点P在曲线上，求导后，把在曲线上，求导后，把P点坐标点坐标代入便得斜率，代入便得斜率，(2)设出切点坐标，找等式求坐标设出切点坐标，找等式求坐标(3)求曲线过点求曲线过点P(1,0)的切线方程的切线方程(3)求曲线过点求曲线过点P(1,0)的切线方程的切线
10、方程1)1)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x)x)在这个区间（在这个区间（a,b)a,b)内内单调递增；单调递增；2)2)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0f(x)0如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)(xf)(xf返回返回如果函数如果函数y yf f（x x）在某个区间）在某个区间(a,b)(a,b)内内单调递增单调递增，那么，那么恒有恒有 f(x)0如果函数如果函数y yf f（x x）在某个区间）在某个区间(a,b)(a,b)内内单调递减单调递减，那么，那么恒有恒有 f(x)0 xyo12()yf x xyo12()
11、yf x xyo1 2()yf x xyo12()yf x xyo()yfx 2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类浙江理工类)练习：练习：设设 是函数是函数 的导函数，的导函数，的图象如的图象如右图所示右图所示,则则 的图象最有可能的是的图象最有可能的是()()f x()fx()yfx()yf x 基础巩固基础巩固1.3设 函 数 f(x)=x+ax-2在区 间（1，+）内 是 增 函 数，则 实 数 a的 取 值 范 围 是 ；3,）24.1xyx函数的增区间为A.(-,-1)B.(-1,1)C.(1,+)D.(-,2)（）B题型二题型二 判断函数的单调性判断函数的单调性,并求出单调
12、区间并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf );,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解解:(1)因为因为 ,所以所以xxxf3)(3.0)1(333)(22xxxf因此因此,函数函数 在在 上单调递增上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)因为因为 ,所以所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当当 ,即即 时时,函数函数 单调递增单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当当 ,即即 时时,函数函数 单调递减单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf );,0(,sin)()
13、3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解解:(3)因为因为 ,所以所以),0(,sin)(xxxxf.01cos)(xxf因此因此,函数函数 在在 上单调递减上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为因为 ,所以所以12432)(23xxxxf 当当 ,即即 时时,函函数数 单调递增单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf 当当 ,即即 时时,函数函数 单调递减单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf题型二题型二 判断函数的单调性判断函数的单调性,并求出单调区间并求出单调区间:设函数设函数f(x)ax(a1)ln(x1)，其中，其中a1
14、，求，求f(x)的单调区间的单调区间 f (x)0 yxOx1aby f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究:极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何规律有何规律?x2 xXx2 2 f(x)f(x)xXx1 1 f(x)f(x)增增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值极大值减减f(x)0(2)只有只有f(x0)=0且且x0两侧单调性两侧单调性不同不同，x0才是极值点才是极值点.(3)求求极值点，极值点，可以先求可以先求f(x0)=0的点，的点，再再列表判断单调性列表判断单调性结论：结论：极值点处，极值点处，f(x)=0注：注：f
15、(x)=0f(x)=0的点不一定是极值点的点不一定是极值点2)2)在在闭区间闭区间a,ba,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条的图象是一条连续不断连续不断的曲的曲线线,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值.函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3)f(b)f(b)f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)gg返回返回基础巩固基础巩固3.3,03设函数f(x)=x-3x+1在区间上的最大值为最小值是 3；172.x32函数f(x)=x+ax+3-9在x=-
16、3时取得极值，则实数a的值是5；1函数函数f(x)x33x22在区间在区间1,1上的最大值是上的最大值是()A2 B0C2 D4解析：解析：令令f(x)3x26x0，得，得x0，x2(舍去舍去)比较比较f(1)，f(0)，f(1)的大小知的大小知f(x)maxf(0)2.答案：答案：C解析：解析：yexax，yexa.函数函数yexax有大于零的极值点，即方程有大于零的极值点，即方程yexa0有大于有大于零的解，零的解，x0时，时，ex1，aex1.答案：答案：A3函数函数f(x)x315x233x6的单调减区间是的单调减区间是_解析：解析：f(x)3x230 x333(x1)(x11)f(x
17、)0，得，得1x0，即即a2a20，解得，解得a2或或a1.答案：答案：(，1)(2，)求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf解解:,112)()1(xxf令令 解得解得 列表列表:,0)(xf.121xx0f(x)()fx+单调递增单调递增单调递减单调递减)121,(),121(1212449所以所以,当当 时时,f(x)有极小值有极小值121x.2449)121(f练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf解解:,0273)()2(2xxf令解得解得 列表列表:.3,321xxx(,3)3
18、(3,3)3(3,+)00f(x)()fx+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以,当当 x=3 时时,f(x)有极大值有极大值 54;当当 x=3 时时,f(x)有极小值有极小值 54.求出所有导数为求出所有导数为0 0的点的点计算计算找出最值找出最值 求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最上的最大值与最小值大值与最小值.解解:.443xxy 令令 得得x=-1,0,1.0 y当当x变化时变化时,的变化情况如下表的变化情况如下表:yy,x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y 0 +0 0 +y13 4 5 4 13所以最
19、大值是所以最大值是13,最小值是最小值是4.例题运用例题运用例例3设函数设函数f(x)lnxpx1.(1)求函数求函数f(x)的极值点；的极值点；(2)当当p0时，若对任意的时，若对任意的x0，恒有恒有f(x)0，求求p的取值范围；的取值范围；例例3设函数设函数f(x)lnxpx1.(1)求函数求函数f(x)的极值点；的极值点；(2)当当p0时，若对任意的时，若对任意的x0，恒有恒有f(x)0，求求p的取值范围；的取值范围；例例2已知已知x3是函数是函数f(x)aln(x1)x210 x的一个极值点的一个极值点(1)求求a；(2)求函数求函数f(x)的单调区间的单调区间思路点拨思路点拨(1)由由f(3)0求求a的值，的值，(2)利用导数求函数单利用导数求函数单调性调性
