1、第六节第六节 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用（必考，（必考，1道道，510分）分）玩转安徽玩转安徽10年中考真题年中考真题考点特训营考点特训营中考试题中的核心素养中考试题中的核心素养解直角三角形解直角三角形（仅（仅2012年考查）年考查）1(2012安徽安徽19题题10分分)如图，在如图，在ABC中，中，A30，B45，AC2.求求AB的长的长 第1题图1解：如解图，过点解：如解图，过点C作作CDAB于点于点D，在在RtACD中，中，A30，AC2 ，ADACcos302 3，CDACsin302 .(5分分)在在RtBCD中，中，B45，BDCD ，ABADBD3 .答：答：AB的
2、长为的长为3 .(10分分)第1题解图直角三角形的实际直角三角形的实际（必考必考，2019 年与垂径定理的应用结合考查年与垂径定理的应用结合考查）2(2017安徽安徽17题题8分分)如图，游客在点如图，游客在点A处坐缆车出发，沿处坐缆车出发，沿ABD的路线可至山的路线可至山顶顶D处假设处假设AB和和BD都是直线段，且都是直线段，且ABBD600m，75，45，求，求DE的长的长(参考数据：参考数据：sin750.97，cos750.26，1.41)第2题图22类型一类型一 直接解直角三角形直接解直角三角形（10 年年2考考）解：在解：在RtBDF中，由中，由sin 可得，可得，DFBDsin6
3、00sin45600 300 423(m)，(3分分)在在RtABC中，由中，由cos 可得，可得，BCABcos600cos756000.26156(m)，(6分分)DEDFEFDFBC300156579(m)答：答：DE的长约为的长约为579 m(8分分)【一题多解】如解图，连接【一题多解】如解图，连接AD，过点，过点B作作BGAD，垂足为，垂足为G，ABBD600(m)，AGGD AD，ABGDBG ABD，又又75，45，FBC90，ABD360754590150，ABG75，DABBAC15，DAE30，在在RtABG中，中，sinABG ，AGABsinABG600sin75600
4、0.97582(m)，在在RtDEA中，中，DAE30，DE ADAG582(m)答：答：DE的长约为的长约为582 m(8分分)第2题解图3(2011安徽安徽19题题10分分)如图，某高速公路建设中需要确定隧道如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度已的长度已知在离地面知在离地面1500 m高度高度C处的飞机上，测量人员测得正前方处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯两点处的俯角分别为角分别为60和和45，求隧道，求隧道AB的长的长(参考数据：参考数据：1.73)第3题图3解：由已知条件可知：解：由已知条件可知：COB为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，OBOC1500(m)，(
5、3分分)在在RtCOA中，中，ACO906030，OAOCtan301500 500 (m)，(7分分)ABOBOA1500500 15005001.73635(m)答：隧道答：隧道AB的长约为的长约为635 m.(10分分)4(2010安徽安徽16题题6分分)若河岸的两边平行，河宽为若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的处沿直线方向开往对岸的B处，处，AB与河岸的夹角是与河岸的夹角是60，船的速度为，船的速度为5米米/秒，秒，求船从求船从A处到处到B处约需时间几分处约需时间几分(参考数据：参考数据：1.7)第4题图3类型二类型二 作高构造直
6、角三角形作高构造直角三角形（10 年年6考考）一、解一个直角三角形一、解一个直角三角形有有AB ，(5分分)因而时间因而时间t 3.4(分钟分钟)答：船从答：船从A处到处到B处约需处约需3.4分钟分钟(6分分)解：如解图，过点解：如解图，过点B作作BC垂直于河岸，垂足为垂直于河岸，垂足为C，则在则在RtACB中，中，第4题解图5(2018安徽安徽19题题10分分)为了测量竖直旗杆为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得，使得B，E，D在在同一水平线上，如图所
7、示该小组在标杆的同一水平线上，如图所示该小组在标杆的F处通过平面镜处通过平面镜E恰好观测到旗杆恰好观测到旗杆顶顶A(此时此时AEBFED)，在，在F处测得旗杆顶处测得旗杆顶A的仰角为的仰角为39.3，平面镜，平面镜E的的俯角为俯角为45，FD1.8米，问旗杆米，问旗杆AB的高度约为多少米？的高度约为多少米？(结果保留整数结果保留整数)(参考数据：参考数据：tan39.30.82，tan84.310.02)第5题图解：如解图，过点解：如解图，过点F作作FGAB于点于点G，AGABGBABFDAB1.8，由题意知：由题意知：ABE和和FDE均为等腰直角三角形，均为等腰直角三角形，ABBE，DEFD
8、1.8，FGDBDEBEAB1.8.在在RtAFG中，中，tanAFGtan39.3，即即 0.82，解得解得AB18.218(米米)答：旗杆答：旗杆AB的高度约为的高度约为18米米(10分分)第5题解图【一题多解】由题意知：【一题多解】由题意知：AEBFED45，AEF90，在在RtAEF中，中，AFE39.34584.3，tanAFEtan84.310.02，在在ABE和和FDE中，中，ABEFDE90，AEBFED，ABEFDE，10.02，AB10.02FD18.03618(米米)答：旗杆答：旗杆AB的高度约为的高度约为18米米(10分分)6(2013安徽安徽19题题10分分)如图，防
9、洪大堤的横断面是梯形如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中，其中ADBC，坡角坡角60，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角45，若，若原坡长原坡长AB20 m，求改造后的坡长，求改造后的坡长AE.(结果保留根号结果保留根号)第6题图二、解两个直角三角形二、解两个直角三角形辅助线在三角形外辅助线在三角形外(母子型母子型)解：如解图，过点解：如解图，过点A作作AFCE于点于点F，在在RtABF中，中，AB20 m，60，sinAFABsin20 10 (m)，(5分分)在在RtAEF中，中，45，AF10 m，sin答：改造后的坡长答：改
10、造后的坡长AE为为10 m(10分分)AE第6题解图7(2016安徽安徽19题题10分分)如图，河的两岸如图，河的两岸l1与与l2相互平行，相互平行，A、B是是l1上的两点，上的两点，C、D是是l2上的两点某人在点上的两点某人在点A处测得处测得CAB90，DAB30，再沿，再沿AB方向前方向前进进20米到达点米到达点E(点点E在线段在线段AB上上)，测得，测得DEB60，求，求C、D两点间的距离两点间的距离 第7题图解：解：DEB60，DAB30，ADE603030，DABADE，DEAE20(米米)，(3分分)如解图，过点如解图，过点D作作DFAB于点于点F，则，则EDF30，在在RtDEF
11、中，中，EF DE10(米米)，AFAEEF201030(米米)，(6分分)DFAB，CAB90，CADF，又又l1l2，四边形四边形CAFD是矩形，是矩形，CDAF30(米米)，答：答：C、D两点间的距离为两点间的距离为30米米(10分分)第7题解图8(2015安徽安徽18题题8分分)如图，平台如图，平台AB高为高为12米，在米，在B处测得楼房处测得楼房CD顶部点顶部点D的仰的仰角为角为45，底部点，底部点C的俯角为的俯角为30，求楼房，求楼房CD的高度的高度(参考数据：参考数据：1.7)第8题图辅助线在三角形内辅助线在三角形内(背对背型背对背型)3解：如解图，过点解：如解图，过点B作作BE
12、CD于点于点E，则，则CEAB12米，米，在在RtBCE中，中，BE (米米)，(3分分)在在RtBDE中，中，DBE45，DEBE12 (米米)，(6分分)CDCEDE1212 32.4(米米)答：楼房答：楼房CD的高度约为的高度约为32.4米米(8分分)第8题解图9(2014安徽安徽18题题8分分)如图，在同一平面内，两条平行高速公路如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和和l2间有一条间有一条“Z”型道路连通，其中型道路连通，其中AB段与高速公路段与高速公路l1成成30角，长为角，长为20 km；BC段与段与AB、CD段都段都垂直，长为垂直，长为10 km；CD段长为段长为30 km，
13、求两高速公路间的距离，求两高速公路间的距离(结果保留根号结果保留根号)第9题图其他其他 解：如解图，过点解：如解图，过点A作作AB的垂线交的垂线交DC延长线于点延长线于点E，过点过点E作作l1的垂线与的垂线与l1、l2分别交于点分别交于点H、F，则，则HFl2，由题意知由题意知ABBC，BCCD，AEAB，四边形四边形ABCE为矩形，为矩形，AEBC，ABEC，(2分分)DEDCCEDCAB50(km)，又又AB与与l1成成30角，角，EDF30，EAH60，在在RtDEF中，中，EFDEsin3050 25(km)，(5分分)在在RtAEH中，中，EHAEsin6010 (km)，HFEFH
14、E255 (km)答：两高速公路间的距离为答：两高速公路间的距离为(255 )km.(8分分)第9题解图10.(2019达州达州)渠县賨人谷是国家渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东享誉巴渠，被誉为川东“小九寨小九寨”端坐在观音崖旁的一块奇石似一只端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬啸天犬”，昂首向天，望穿古今一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出，昂首向天，望穿古今一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬啸天犬”上嘴尖与头顶的距离他们把蹲着的上嘴尖与头顶的距离他们把蹲着的“啸天犬啸
15、天犬”抽象成四边形抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部想法测出了尾部C看头顶看头顶B的仰角为的仰角为40，从前脚落地点，从前脚落地点D看上嘴尖看上嘴尖A的仰角刚好的仰角刚好60，CB5 m，CD2.7 m景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3 m于是，他们很快就算出了于是，他们很快就算出了AB的长，你也算算？的长，你也算算？(结果精确到结果精确到0.1 m，参考数据：，参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84，1.41，1.73)第10题图32解：如解图，过点解：如解图，过点B作作BFCE于点于点F，过点，过点A作作A
16、GBF于点于点G，则四边形则四边形AGFE为矩形为矩形在在RtADE中，中，ADE60，AE3，DE 1.73.在在RtBCF中，中，BCF40，BC5，sinBCF ，cosBCF ，BFBCsinBCF3.2，CFBCcosBCF3.85.EFCDDECF0.58，AGEF0.58.BGBFGFBFAE0.2.AB 0.6(m)答：答：AB的长约为的长约为0.6 m.第10题解图22AGBG AEtan060BFBC3CFBC【对接教材】沪科：九上第【对接教材】沪科：九上第23章章P111P139；人教：八下第十七章人教：八下第十七章P21P39；九下第二十八章；九下第二十八章P60P85
17、；北师：九下第一章北师：九下第一章P1P27 解直角三角形及其应用锐角三角函数直角三角形的边角关系解直角三角形的实际应用锐角三角函数的定义特殊角（30、45、60、）的三角函数值三边关系三角关系边角关系1.仰角、俯角2.坡度、坡角3.方向角正弦余弦正切sincostan精确度 在在 RtABC中中，C90，A为为ABC中的中的一锐角，则有：一锐角，则有：A的正弦：的正弦：sinA _ A的余弦：的余弦：cosA _A的正切：的正切：tanA _锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义考点考点精讲精讲ac锐角锐角三角三角函数函数bcab返回思维导图返回思维导图图表记忆法图表记忆法锐角锐角三角三角函数
18、函数规律记忆法规律记忆法30，45，60角的正弦值的分母都是角的正弦值的分母都是2，分子依次为分子依次为1，；30，45，60 角的余弦值是角的余弦值是60，45，30角的正弦值角的正弦值32322232121三角三角函数函数304560sin_cos_tan_1222333返回思维导图返回思维导图三边关系：三边关系：_（勾股定理）（勾股定理）三角关系：三角关系：ABC90 边角间关系：边角间关系：sinAcosB ；cosAsinB ；tanA ；tanB 面积关系：面积关系：SABC _ ch（h为斜边为斜边AB上的高上的高）直角三角形直角三角形的边角关系的边角关系acbcabba1222
19、2abc12ab返回思维导图返回思维导图解直角三解直角三角形的实角形的实际应用际应用概念概念图形图形定义定义仰角、仰角、俯角俯角视线在水平线上方的角叫仰角，视线在视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角水平线下方的角叫俯角坡度坡度（坡（坡比）、比）、坡角坡角坡面的垂直高度坡面的垂直高度 h与水平宽度与水平宽度l的比叫坡的比叫坡度（坡比），度（坡比），用字母用字母i表示；坡面与水平表示；坡面与水平面的夹角面的夹角 叫坡角，叫坡角，itan 方向角方向角如图，点如图，点 A、B、C分别位于点分别位于点O的北偏的北偏东东 30、南偏东、南偏东60、北偏西、北偏西 45（西北方（西北方向）向）hl返回思维导图返回思维导图精确度：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位，如精确度：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位，如3.136 精确到精确到0.1或精确到十分位或精确到十分位,是是3.1，精确到，精确到0.01或精确到百分位是或精确到百分位是3.14返回思维导图返回思维导图
