1、1.1.了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式确定数列了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式确定数列的某一项的某一项.(.(重点重点)2.2.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.(.(难点难点)aan n 与与a an n有何区别？有何区别？提示：提示：数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号，如表示项的位置序号，如a an n表示这个数列的第表示这个数列的第n n项项.a.an n 与与a an n是不是不同的：同的：aan n 表示数列表示数列a a1 1，a a2 2，a
2、 a3 3，a an n，；这里；这里aan n 是数是数列的简记符号，并不表示一个集合列的简记符号，并不表示一个集合.数列与函数的关系数列与函数的关系数列数列 函数函数数列的通项公式就是相应函数的解析式，它揭示了数列数列的通项公式就是相应函数的解析式，它揭示了数列aan n 中第中第n n项项a an n与与n n之间的函数关系，一般用式子之间的函数关系，一般用式子a an n=f(n)=f(n)表示表示.N 推广，自变量任意化自变量特殊化，定义域为或它的有限子集数列的有关概念数列的有关概念 数列的项与项数的区别数列的项与项数的区别数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数数列的项是
3、指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于值，也就是相当于f(n)f(n)；而项数是指这个数在数列中的位；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于置序号，它是自变量的值，相当于f(n)f(n)中的中的n.n.数列是按一定数列是按一定“次序次序”排成的一列数，一个排成的一列数，一个数列不仅与组成数列的数列不仅与组成数列的“数数”有关，而且与这些数的排列有关，而且与这些数的排列顺序有关顺序有关.因此，如果组成数列的数相同而排列次序不同，因此，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列那么它们就是不同的数列.【例例1 1】下列说法哪些是正确的下列说法哪
4、些是正确的?哪些是错误的哪些是错误的?并说明理由并说明理由.(1)0,1,2,3,4(1)0,1,2,3,4是有穷数列是有穷数列;(2)(2)所有自然数能构成数列所有自然数能构成数列;(3)-3,-1,1,x,5,7,y,11(3)-3,-1,1,x,5,7,y,11是一个项数为是一个项数为8 8的数列的数列;(4)(4)数列数列1,2,3,4,1,2,3,4,，2n2n是无穷数列是无穷数列.【审题指导审题指导】解决本题的关键是正确掌握数列的有关概念和特解决本题的关键是正确掌握数列的有关概念和特点，逐项的分析判断正误点，逐项的分析判断正误.【规范解答规范解答】(1)1)错误错误.0,1,2,3
5、,4.0,1,2,3,4是集合是集合,不是数列不是数列.(2)(2)正确正确.如将所有自然数按从小到大的顺序排列如将所有自然数按从小到大的顺序排列.(3)(3)错误错误.当当x,yx,y代表数时为项数为代表数时为项数为8 8的数列的数列;当当x,yx,y中有一个不代中有一个不代表数时表数时,便不是数列便不是数列,这是因为数列必须是由一列数按一定的次这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成的序排列所组成的.(4)(4)错误错误.数列数列1,2,3,4,1,2,3,4,2n,2n,共有共有2n2n项项,是有穷数列是有穷数列.【变式训练变式训练】下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()(
6、)(A)(A)数列数列1,3,5,71,3,5,7可表示为可表示为1,3,5,71,3,5,7(B)(B)数列数列1,01,0，1 1，2 2与数列与数列2 2，1,0,11,0,1是相同数列是相同数列(C)(C)数列数列 的第的第k k项为项为1+1+(D)(D)数列数列0,2,4,6,80,2,4,6,8，可记作可记作2n2n【解析解析】选选C.C.解此题需对数列与集合的含义理解透彻，解此题需对数列与集合的含义理解透彻，A A项中项中1,3,5,71,3,5,7表示的是集合而不是数列，表示的是集合而不是数列，B B项中数列中的各元素项中数列中的各元素是有顺序的，所以是不同数列，是有顺序的，
7、所以是不同数列，D D项中的项中的2n2n并不能把前边的并不能把前边的数列体现出来数列体现出来.n1n1k 【误区警示误区警示】解决这类问题最容易出现的问题是对解决这类问题最容易出现的问题是对概念把握不准，似是而非，如选项概念把握不准，似是而非，如选项A A很多同学误选，所很多同学误选，所以解决这类问题需要扣住定义解决以解决这类问题需要扣住定义解决.探求数列的通项公式探求数列的通项公式 通项公式写法技巧通项公式写法技巧已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式，是一种常已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式，是一种常见的数列问题见的数列问题.解决这一问题时要注意以下几点：解决这一问题时要注意以
8、下几点：(1)(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系；关系；(2)(2)如果关系不明显，可将之同时加上或减去一个数，或分如果关系不明显，可将之同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现出来，便于找通项公式；解、还原等，将规律呈现出来，便于找通项公式；(3)(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等；的平方数列、奇数列、偶数列等；(4)(4)符号用符号用(1)1)n n或或(1)1)n n1 1来调整；来调整；(5)(5)分式的分子、分母分
9、别找通项，同时，还要充分借助分式的分子、分母分别找通项，同时，还要充分借助分子、分母的关系分子、分母的关系.同一个数列的通项公式不一定是唯一的，如数同一个数列的通项公式不一定是唯一的，如数列列1 1，1 1，1,11,1，的通项公式可以写成的通项公式可以写成a an n(1)1)n n（nNnN+），也可以写成），也可以写成a an nsin(nNsin(nN)等等.2n1)2【例例2 2】已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式：式：(1)1,3,7,15,31(1)1,3,7,15,31，；(2)5,55,555,5 555(2)5,55,55
10、5,5 555，；(3)(3)；(4)(4)；(5)1,2,1,2,1,2(5)1,2,1,2,1,2，.1234513579,49162536，4 14 242,5 211 717，【审题指导审题指导】解决本题有三步，一是观察数列中各项的特点，解决本题有三步，一是观察数列中各项的特点，二是寻找项与序号之间的关系，三是根据以上两点写出一个合二是寻找项与序号之间的关系，三是根据以上两点写出一个合适的能够代表各项的通项公式适的能够代表各项的通项公式.【规范解答规范解答】(1)1)注意观察，发现各项分别加上注意观察，发现各项分别加上1 1，变为，变为2,4,8,2,4,8,16,3216,32，其通
11、项公式为，其通项公式为2 2n n，故原数列的一个通项公式为，故原数列的一个通项公式为a an n2 2n n1.1.(2)(2)各项乘各项乘 ，变为，变为9,99,9999,99,999，9 9999 999，各项加上，各项加上1 1，又，又变为变为10,100,1 00010,100,1 000，10 00010 000，而这一数列的通项公式为，而这一数列的通项公式为1010n n，可得原数列的一个通项公式为，可得原数列的一个通项公式为a an n (10(10n n1).1).5995(3)(3)观察所给数列的各项有这样几个特点：符号正负交替；观察所给数列的各项有这样几个特点：符号正负交
12、替；整数部分构成奇数数列；分母为从整数部分构成奇数数列；分母为从2 2开始的自然数的平开始的自然数的平方；分子构成自然数数列方；分子构成自然数数列.综合这些特点，写出表达式再综合这些特点，写出表达式再化简即可化简即可.由所给的几项可得由所给的几项可得a an n(1)1)n n(2n(2n1)1)，所以所以a an n(1)1)n n .2nn13222n3nn1n1(4)(4)数列的符号规律是数列的符号规律是(1)1)n n1 1，使各项分子为，使各项分子为4 4，变，变为为 ，再把各分母分别加，再把各分母分别加1 1，又变，又变为为 ，所以数列的一个通项公式是，所以数列的一个通项公式是a
13、an n .(5)(5)根据各项的特点，是隔项相等，所以可以写成分段根据各项的特点，是隔项相等，所以可以写成分段函数形式：函数形式：a an n44 4425 811，44 4436 912，n 1413n1 12（为奇数）（为偶数）【互动探究互动探究】本例中的第本例中的第(5)(5)个数列还有其他的通项公式吗？个数列还有其他的通项公式吗？【解析解析】可看成两个数列的合成：可看成两个数列的合成：1,1,1,11,1,1,1，与与0,1,0,10,1,0,1，所以，所以a an n1 1 ，即，即a an n .n112 n312【变式训练变式训练】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通根据数
14、列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式项公式.(1)-1(1)-1，7 7，-13-13，1919，；(2)(2)，2 2，8 8，；(3)(3)；(4)0,3,8,15,24(4)0,3,8,15,24，；(5)1(5)1，.1292252123412342345，1317113121【解析解析】(1)(1)符号问题可通过符号问题可通过(-1)(-1)n n或或(-1)(-1)n+1n+1表示，其各项的绝对表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值比前面的数的绝对值大值的排列规律为：后面的数的绝对值比前面的数的绝对值大6 6，故通项公式为故通项公式为a an n=(-1)=(-1)
15、n n(6n-5).(6n-5).(2)(2)统一分母为统一分母为2 2，则有：，则有：，因而有，因而有a an n .(3)(3)方法一：把各项的整数部分与分数部分拆开，得方法一：把各项的整数部分与分数部分拆开，得a an n=方法二：将数列中各项变形后得：方法二：将数列中各项变形后得：，即，即 ,，分别观察分，分别观察分子分母可知子分母可知a an n=.=.1242921622522n22nn2nnn1n132831542451 322 433 544 65n n2n1(4)(4)观察数列可知数列递增速度较快，有点像成平方的递增，观察数列可知数列递增速度较快，有点像成平方的递增，不妨用平
16、方数列对照看一看，即不妨用平方数列对照看一看，即1 12 2,2,22 2，3 32 2，4 42 2，5 52 2，很快发现很快发现a an nn n2 21.1.(5)(5)显然各项的分子均为显然各项的分子均为1 1，其关键在分母上，而分母的规，其关键在分母上，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,211,3,7,13,21，递增速度也有点像平方数列，不妨从平方数列的每一项减递增速度也有点像平方数列，不妨从平方数列的每一项减去对应项组成数列去对应项组成数列0,2,6,12,200,2,6,12,20，其规律也就明显了，其规律也就明显
17、了.a an n=.=.21nn1数列的通项公式的应用数列的通项公式的应用1.1.利用数列的通项公式求某项的方法利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第数列的通项公式给出了第n n项项a an n与它的位置序号与它的位置序号n n之间的关系之间的关系,只要用序号代替公式中的只要用序号代替公式中的n,n,就可以求出数列的相应项就可以求出数列的相应项.2.2.判断某数值是否为该数列的项的方法判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第先假定它是数列中的第n n项，然后列出关于项，然后列出关于n n的方程的方程.若方程若方程解为正整数则是数列的一项解为正整数则是数列的一项;若方
18、程无解或解不是正整数若方程无解或解不是正整数,则则不是该数列的一项不是该数列的一项.【例例3 3】数列数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n (nN(nN+).).(1)0(1)0和和1 1是不是数列是不是数列aan n 中的项？如果是，那么是第几项？中的项？如果是，那么是第几项？(2)(2)数列数列aan n 中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？是第几项？【审题指导审题指导】解答本题的关键是正确利用方程思想解答本题的关键是正确利用方程思想.第第(1)(1)问要研究问要研究a an n=0=0和和a an n=1=1是否有正整
19、数解，第是否有正整数解，第(2)(2)问要把握准问要把握准“连续连续”两字列方程两字列方程.2n21n2【规范解答规范解答】(1)(1)若若0 0是是aan n 中的第中的第n n项，则项，则 0 0，nNnN+，n n21.021.0是是aan n 中的第中的第2121项项.若若1 1是是aan n 中的第中的第n n项，则项，则 1 1，n n2 221n21n2 2，即，即n n2 221n21n2 20.0.方程方程n n2 221n21n2 20 0不存在正整数解，不存在正整数解，1 1不是不是aan n 中的项中的项.2n21n22n21n2(2)(2)假设假设aan n 中存在第
20、中存在第m m项与第项与第m m1 1项相等，即项相等，即a am ma am m1 1，则则解得解得m m10.10.数列数列aan n 中存在连续的两项第中存在连续的两项第1010项与第项与第1111项相等项相等.22m121 m1m21m22【变式训练变式训练】已知数列已知数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n=n(n+2)=n(n+2)，则，则220220是这个数列的是这个数列的()()(A)(A)第第1919项项 (B)(B)第第2020项项(C)(C)第第2121项项 (D)(D)第第2222项项 【解题提示解题提示】解答本题的关键是令解答本题的关键是令a an n=
21、220,=220,求出求出n n的正的正整数解整数解.【解析解析】选选B.B.令令a an n=(n+2)=220,=(n+2)=220,则解得则解得n=20n=20或或n=-22n=-22（舍），（舍），故故220220是这个数列的第是这个数列的第2020项，故选项，故选B.B.121n2观察归纳猜想求通项观察归纳猜想求通项 观察归纳猜想求通项的方法观察归纳猜想求通项的方法这是一种不完全归纳法这是一种不完全归纳法,需要认真分析每一个等式需要认真分析每一个等式,找出它找出它们之间的联系们之间的联系,观察它们的相同与不同观察它们的相同与不同,特别是第特别是第n n个式子与个式子与n n之间的关系
22、之间的关系,用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律由特殊到一般的思维规律.对于项的结构比较复杂的数列，对于项的结构比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来合起来.这样纵横联系这样纵横联系,得出结论得出结论.【例例】观察下列等式：观察下列等式：1 1 ，(1)(1)根据以上规律猜想并写出第根据以上规律猜想并写出第n n个等式；个等式；(2)(2)证明你写出的等式是否成立证明你写出的等式是否成立.【审题指导审题指导】解决本题首先观察各个式子的特点，分析它们之
23、解决本题首先观察各个式子的特点，分析它们之间的相同与不同，然后归纳间的相同与不同，然后归纳a an n与与n n的关系式，从而写出第的关系式，从而写出第n n个关个关系式系式.11022112133113244114355【规范解答规范解答】(1)(1)第第n n个等式为：个等式为：(2)(2)=成立成立.11nn1.n1n1221nn1 1nn1n1n1 2n111n1,n1n1n111nn1n1n1【变式备选变式备选】数列数列0.20.2，0.220.22，0.2220.222，0.222 20.222 2，0.222 220.222 22，的一个通项公式是的一个通项公式是_._.【解析解
24、析】所给数列所给数列0.20.2，0.220.22，0.2220.222，0.222 20.222 2，0.222 220.222 22，可以改写成可以改写成 0.9,0.9,0.99,0.99,0.999,0.999,0.999 9,0.999 9,0.999 99,0.999 99,可以看作可以看作 (1-0.1),(1-0.1),(1-0.01),(1-0.01),(1-0.001),(1-0.001),(1-0.000(1-0.000 1),1),(1-0.000 01)(1-0.000 01)，因此所给数列的通项公式为因此所给数列的通项公式为a an n=答案：答案：a an n=2
25、929292929292929292929n1(1).1029n1(1)10【典例典例】把把1,3,6,10,15,21,1,3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数，这是这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图如图).).则第则第7 7个三角形数是个三角形数是()()(A)27 (B)28 (C)29 (D)30(A)27 (B)28 (C)29 (D)30【审题指导审题指导】观察三角形数的增长规律，可以发现每一项观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个比它的前一项多的点数正好是
26、本身的序号，所以根据这个规律计算即可规律计算即可.【规范解答规范解答】选选B.B.根据三角形数的增长规律根据三角形数的增长规律1,3,6,10,15,1,3,6,10,15,21,21,可以发现从第二项起，每一项与前一项的差是这一项可以发现从第二项起，每一项与前一项的差是这一项本身的序号，即本身的序号，即a a2 2-a-a1 1=2,a=2,a3 3-a-a2 2=3,a=3,a4 4-a-a3 3=4=4，a an n-a-an-1n-1=n,=n,根据根据这个规律所以第七个三角形数是这个规律所以第七个三角形数是a a7 7=a=a6 6+7=28.+7=28.故选故选B.B.【误区警示误
27、区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：常见错误常见错误 错误原因错误原因 误认为是三误认为是三角形的个数角形的个数 把三角形数看做三角形的个数，导致在看图时把三角形数看做三角形的个数，导致在看图时发现三角形的个数是发现三角形的个数是0,1,2,30,1,2,3，发现没有答，发现没有答案，再重新审题，耽误时间案，再重新审题，耽误时间.事实上解决这类事实上解决这类新定义问题，首先需要审清题意新定义问题，首先需要审清题意.项数的规律项数的规律总结不出总结不出 发现发现1,3,6,10,15,21,1,3,6,10,15,21,的规律是两项之间差的规律是两项之
28、间差为为2,3,4,2,3,4,，不知道如何计算，其实很简单，不知道如何计算，其实很简单，题目问的是第题目问的是第7 7个三角形数，只要继续计算就个三角形数，只要继续计算就可以了，找通项公式较为麻烦可以了，找通项公式较为麻烦.【即时训练即时训练】图中由火柴棒拼成的一列图形中，第图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n n个图形个图形由由n n个正方形组成：个正方形组成：通过观察可以发现：第通过观察可以发现：第4 4个图形中，火柴棒有个图形中，火柴棒有_根，第根，第n n个个图形中，火柴棒有图形中，火柴棒有_根根.【解析解析】第第1 1个图形中，火柴棒有个图形中，火柴棒有4 4根；根；第第2 2个图形中，火柴棒有个图形中，火柴棒有4+34+3根；根；第第3 3个图形中，火柴棒有个图形中，火柴棒有4+3+3=4+34+3+3=4+32 2根；根；第第4 4个图形中，火柴棒有个图形中，火柴棒有4+3+3+3=4+34+3+3+3=4+33 3根；根；第第n n个图形中，火柴棒有个图形中，火柴棒有4+3(n-1)=3n+14+3(n-1)=3n+1根根.答案：答案：13 3n+113 3n+1
